人教版八年级数学上册专题训练(八)PPT 18页

第十三章　轴对称 人教版 专题训练(八)　特殊三角形中常见添加辅助线的方法 2 ．如图，在△ ABC 中， AC ＝ 2AB ， AD 平分∠ BAC 交 BC 于 点 D ， E 是 AD 上一点，且 EA ＝ EC ，求证： EB⊥AB. 3 ．如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， EF 交 AB 于点 E ，交 BC 于点 D ， 交 AC 的延长线于点 F ，且 BE ＝ CF. 求证： DE ＝ DF. 4 ． ( 教材 P 93 复习题 T 13 变式 ) 如图，△ ABC 是等边三角形， D 是 AC 上一点，延长 BC 至 E ，使 CE ＝ AD ，求证： DB ＝ DE. 证明：方法一：过点 D 作 DF∥BC 交 AB 于点 F ，证△ BDF≌△DEC 即可． 方法二：过点 D 作 DG∥AB 交 BC 于点 G ，证△ DBG≌△DEC 即可． 方法三：过点 D 作 DH⊥BE 于点 H ，设 CH ＝ x ， CE ＝ y ＝ AD ， 则 CD ＝ 2x ，∴ AC ＝ 2x ＋ y ＝ BC ，∴ BH ＝ x ＋ y ＝ HE ，∴ DB ＝ DE 5 ．如图，△ ABC 中， CA ＝ CB ，∠ ACB ＝ 108° ， BD 平分∠ ABC 交 AC 于点 D ，求证： AB ＝ AD ＋ BC. 证明：方法一： ( 截长法 ) ，如图①，在 AB 上截取 BE ＝ BC ， 连接 ED ，△ BCD≌△BED ， 易求∠ AED ＝∠ ADE ＝ 72° ，∴ AD ＝ AE ，∴ AB ＝ BE ＋ AE ＝ BC ＋ AD. 方法二： ( 补短法 ) ，如图②，延长 BC 至 F ，使 BF ＝ AB ，连接 FD ， 只证 AD ＝ DF ＝ CF 即可 6 ．如图，△ ABC 是边长为 3 的等边三角形，△ BDC 是等腰三角形， 且∠ BDC ＝ 120°. 以 D 为顶点作一个 60° 角， 使其两边分别交 AB 于点 M ，交 AC 于点 N ，连接 MN . (1) 求证： MN ＝ BM ＋ NC ； (2) 求△ AMN 的周长为多少？ 解： (1) 证明：∵△ BDC 是等腰三角形，且∠ BDC ＝ 120° ， ∴∠ BCD ＝∠ DBC ＝ 30°. ∵△ ABC 是边长为 3 的等边三角形， ∴∠ ABC ＝∠ BAC ＝∠ BCA ＝ 60° ， ∴∠ DBA ＝∠ DCA ＝ 90° ， 延长 AB 至点 F ，使 BF ＝ CN ，连接 DF ， ∵ BD ＝ CD ，∴△ BDF ≌△ CDN (SAS) ， ∴∠ BDF ＝∠ CDN ， DF ＝ DN . ∵∠ MDN ＝ 60° ，∴∠ BDM ＋∠ CDN ＝ 60° ， ∴∠ BDM ＋∠ BDF ＝ 60° ，∴∠ FDM ＝∠ MDN . 又∵ DM ＝ DM ，∴△ DMN ≌△ DMF (SAS). ∴ MN ＝ MF ＝ MB ＋ BF ＝ MB ＋ CN (2) 由 (1) 证得 MN ＝ MB ＋ CN ， ∴△ AMN 的周长为 AM ＋ AN ＋ MN ＝ AM ＋ MB ＋ CN ＋ AN ＝ AB ＋ AC ＝ 6 7 ．如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝ 2 ，∠ B ＝ 15° ，求 AB 边上的高． 8 ．如图，四边形 ABCD 中，∠ C ＝ 30° ，∠ B ＝ 90° ，∠ ADC ＝ 120°. 若 AB ＝ 2 ， CD ＝ 8 ，求 AD 的长． 解：如图，延长 CD ， BA ，相交于点 E. 在△ EBC 中，∵∠ B ＝ 90° ， ∠ C ＝ 30° ，∴∠ E ＝ 90° － 30° ＝ 60° ， CE ＝ 2BE. 又∵∠ ADC ＝ 120° ，∴∠ ADE ＝ 60°.∴△ADE 是等边三角形． 设 AD ＝ x ，则 DE ＝ AE ＝ x ，∴ CE ＝ 8 ＋ x ， BE ＝ 2 ＋ x ， ∴ 8 ＋ x ＝ 2(2 ＋ x) ，解得 x ＝ 4.∴AD 的长为 4 9 ．如图，在△ ABC 中， BA ＝ BC ，∠ ABC ＝ 120° ， 线段 AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D ，交 AB 于点 G ，且 AD ＝ 8 cm . 求： (1)∠ADG 的度数； (2) 线段 DC 的长度．