人教版 七年级下册寒假同步课程（培优版）10含参数不等式、不等式与方程．教师版 9页

1 内容 基本要求 略高要求 较高要求 不等式(组) 能根据具体问题中的大 小关系了解不等式的意 义． 能根据具体问题中的数量关系 列出不等式(组)． 不等式 的性质 理解不等式的基本性 质． 会利用不等式的性质比较两个 实数的大小． 解一元一次不 等式(组) 了解一元一次不等式 (组)的解的意义，会在数 轴上表示(确定)其解集． 会解一元一次不等式和由两个 一元一次不等式组成的不等式 组，并会根据条件求整数解． 能根据具体问题中的数量关 系列出一元一次不等式解决 简单问题． 板块一、不等式与方程 【例 1】 已知方程组 3 2 3 3 2 3 x y m x y m        的解满足 0x  ， 0y  ，试求 m 的取值范围 【解析】略 【答案】解方程组得 1 3 2 1 3 2 mx my     ，∵ 0x  ， 0y  ∴ 1 3 02 1 3 02 m m     ，解得 1 3m  ∴ m 的取值范围是 1 3m  【巩固】求使方程组 2 4 5 6 3 x y m x y m        的解， x 、 y 都是正数的 m 的取值范围？ 【解析】略 【答案】解方程组得 8 2 6 x m y m      ，∵ x 、 y 都是正数，∴ 8 0 2 6 0 m m      ，解得 3 8m  【巩固】在方程组 2 1 2 2 x y m x y       中，若未知数 x 、 y 满足 0x y  ，则 m 的取值范围为 【解析】略 【答案】 2 1 2 2 x y m x y       ① ② ，①+②得， 3( ) 3x y m   ，∴ 3 3 mx y   ∵ 0x y  ∴ 3 03 m  ，解得 3m  【巩固】已知 x 、 y 同时满足三个条件：① 3 2 4x y p   ；② 4 3 2x y p   ；③ x y 则 p 的取值范围 是 含参数不等式、不等式与方程 2 【解析】略 【答案】②  ①得 2 2 0x y p    ，∴ 1p  【例 2】 已知 x 、 y 、z 为三个非负有理数，且满足 3 2 5x y z   ， 2x y z   ，若 2S x y z   ，则 S 的最大值和最小值之和是多少？ 【解析】将 x 、 y 、 z 中的一个字母看做常数，解方程，然后将结果代入 2S x y z   进行消元 【答案】方法一、由 3 2 5 2 x y z x y z        解得， 1 3 4 1 x z y z      ， ∵ x 、 y 、 z 为三个非负有理数， ∴ 1 3 0 4 1 0 0 z z z        ，解得 10 3z  将 1 3 4 1 x z y z      代入 2S x y z   得， 3 3S z  ∵ 10 3z  ∴ 2 3S  ，∴ S 的最大值与最小值之和为5 方法二、根据题意得 3 2 5 2 2 x y z x y z x y z S            ，解得 2 15 4 3 3 3 x S Sy Sz           ，∵ x 、 y 、 z 都是非负数，∴ 2 0 15 4 03 3 03 S S S            ∴ 2 15 4 3 S S S      ∴ 2 3S  ，∴ S 的最大值与最小值之和为 5 【巩固】已知非负数 a 、b 、c 满足条件：3 2 4a b c   ，2 3 5a b c   ，设 5 4 7S a b c   的最小值为 m ， 最大值为 n ，求 m n 的值 【解析】略 【答案】 1 2 板块二、解含有参数的不等式 【例 3】 解关于 x 的不等式 2 112 3 x a xa    。 【解析】去分母，得3 3 6 6 4 2x a a x     移项，合并同类型得 9 8x a   ∴ 9 8x a   【答案】 9 8x a   【例 4】 讨论 ax b 的解集． 【解析】略 【答案】当 0a  时，解集为 bx a  ； 3 当 0a  时，解集为 bx a  ； 当 0a  时 若 0b  ，则解集为所有数； 若 0b  ，不等式无解． 【巩固】解关于 x 的不等式 2 3mx  ＜ 3x n 【解析】略 【答案】由原不等式，得： (2 3)m x ＜ 3n  (1)当 2 3 0m   ，即 3 2m  时，其解集为 3 2 3 nx m   (2)当 2 3 0m   ，即 3 2m  时，其解集为 3 2 3 nx m   (3)当 2 3 0m   ，即 3 2m  时， 若 3 0n   ，即 3n  ，解集为所有数； 若 3 0n   ，即 3n  ，原不等式无解． 【巩固】解关于 x 的不等式： ( ) ( )a x a b x b   【解析】略 【答案】由原不等式得： ( ) ( )( )a b x a b a b    当 0a b  ，即得不等式解集为 x a b  ； 当 0a b  ，即得 0 0 ，不等式无解； 当 0a b  ，即得不等式解集为 x a b  ． 【巩固】分别就 a 得不同取值，讨论关于 x 的不等式  1 2a x x   的解的情况。 【解析】略 【答案】原不等式可化为：  1 2a x a   （1）当 1a  时，原不等式的解集为 2 1 ax a   ； （2）当 1a  时，原不等式化为 0 1x   ，不等式的解集为一切实数； （3）当 1a  时，元不等式的解集为 2 1 ax a   。 板块三、求参数的取值 【例 5】 关于 x 的不等式  1 2 2a x a   的解集是 2x   ，则系数 a （ ） A.是负数 B.是大于 1 的负数 C.是小于 1 的负数 D.是不存在的 【解析】无论 1 0a   或 1 0a   ，不等式的解集都不是 2x   。故选 D. 【答案】D 【例 6】 若不等式 ax a 的解集是 1x  ，则 a 的取值范围是______． 【解析】略 【答案】 0a  【巩固】已知关于 x 的不等式 2ax≥ 的解集在数轴上表示如图所示，则 a 的取值范围是__________。 4 【解析】根据题意有 0a  ，且 2 1a   ，故 2a   【答案】 2a   【巩固】已知关于 x 的不等式    3 4 1 9x a x    的解集是 1x  ，求 a 的值。 【解析】解这个不等式： 3 3 4 4 9x a x    3 4 3 4 9x x a    3 5x a   ∵解集是 1x  ，∴ 3 5 1a   ，解得 2a   。 【答案】 2a   【例 7】 已知 3x  是关于 x 的不等式 2 23 2 3 ax xx   的解，求 a 的取值范围。 【解析】将 3x  代入不等式，得 3 29 22 a   。解这个不等式，得 4a  。 【答案】 4a  【巩固】不等式 2 3 4mx x   的解集是 6 3x m   ，则 m 的取值范围是？ 【解析】由 2 3 4mx x   可得： ( 3) 6m x  ，要使此解集为 6 3x m   ，那么 3 0m   ，即 3m  【答案】 3m  【巩固】关于 x 的不等式 2 5x m   解集如右图所示，求 m 的值． 【解析】解原不等式解集为 5 2 mx   ，从图上可知其解集为 3x   ，所以 5 32 m    ，故 1m  ； 【答案】 1m  【巩固】若关于 x 的不等式 2( 1) 2 0a x a    的解集为 2x  ，求 a 的值． 【解析】 2( 1) 2a x a   ，因其解集为 2x  ，所以 2 1 0 2 21 a a a      ，解得 2 2 0a a  ，即 ( 2) 0a a   ， 所以 0a  或 2a  (舍去)． 【答案】 0a  【例 8】 已知关于 x 的不等式 (4 3 ) 2a b x b a   的解集为 4 9x  ，求 ax b 的解集． 【解析】根据题意可得： 4 3 0a b  且 2 4 4 3 9 b a a b   ，可得 6 5b a ， 0a  ， ax b 的解集为 5 6x  ． 5 【答案】 5 6x  【巩固】已知关于 x 的不等式 (2 ) 5 0a b x a b    的解集是 10 7x  ，解不等式3 5 0ax b  ． 【解析】∵ (2 ) 5a b x b a   的解集为 10 7x  ，可得 2 0a b  ，且 5 2 b ax a b   ，∴ 5 10 2 7 b a a b   ，解得 3 5b a ， ∴ 3 72 2 05 5 aa b a a     ，即 0a  ．∴不等式3 5 0ax b  的解集为 5 13 bx a     ． 【答案】 1x   【巩固】若不等式 ( ) (2 3 ) 0a b x a b    的解集为 1 3x   ，求不等式 ( 3 ) ( 2 ) 0a b x b a    的解集． 【解析】原的解集为 1 3x   可得 0a b  ，且 3 2 1 3 b a a b    ， 2 0a b  ，代入所求不等式，解得 3x   ． 【答案】 3x   板块四、解含参数不等式组 【例 9】 求关于 x 的不等式组 0 1 2 2 3 x a x x x       ① ② 的解集。 【解析】略 【答案】解①得 x a ，由②得 1x  。 应分情况讨论： ⑴当 1a ≤ 时，原不等式组无解。 ⑵当 1a  时，原不等式组的解集为1 x a  。 【巩固】解关于 x 的不等式组： 2 3 2 6 2( 1) 11 x a x x x        【解析】略 【答案】原不等式组可化为 3 2 3 x a x     ， 当 3 2 3a   ，即 1 3a  时，不等式组的解集为 3 2x a  ； 当 3 2 3a   ，即 1 3a  时，不等式组的解集为 3x  ． 板块五、根据不等式组解集的情况确定参数的取值 【例 10】 不等式组 9 5 1 1 x x x m       的解集是 2x  ，求 m 的取值范围． 【解析】解原不等式组可得 2 1 x x m     ，又其解集为 2x  ，所以 1 2m   ，即 1m  ． 【答案】 1m  6 【巩固】已知不等式组 9 5 1 1 x x x m       的解集是 2x  ，求 m 的取值范围． 【解析】先将 m 看作常数，分别解不等式的解，再根据不等式组的解集求出 m 的取值范围． 由不等式 9 5 1x x   得： 2x  ． 又因为不等式组 9 5 1 1 x x x m       的解集是 2x  ，所以： 2x  与 1x m  的公共部分是： 2x  ，所 以： 1 2m   ． 即： m ≤1 所以： m 的取值范围是 m ≤1． 【答案】 m ≤1 【巩固】已知关于 x 的不等式组 2 1 x x x a       的解集为 1 2x   ，求 a 取值范围． 【解析】略． 【答案】 1a   【例 11】 已知不等式组 2 3 7 2 6 3 3 5 x a b b x a        ⑴若它的解集是 4 23x  ，求 a b， 的取值范围。 ⑵若 a b ，且上述不等式无解，求 a 的取值范围。 【解析】⑴分别解两个关于 x 的不等式，得 3 7 2 2 5 6 3 3 a bx bx        ，因为已知不等式组的解集是 4 23x  ， 所以 3 7 2 232 5 6 3 43 a b a b       ，解这个方程组，得 3 5 a b    。 ⑵将 b a 代入，分别解两个不等式，得 5 1 3 3 x a ax     。 根据题意，应有 35 1 3 aa  ≤ 。解这个不等式，得 3 7a ≤ 。 【答案】⑴ 3 5 a b    ；⑵ 3 7a ≤ 【巩固】关于 x 的不等式组 2 5 53 3 2 x x x x a       只有 5 个整数解，求 a 的取值范围． 【解析】解方程组得 20 3 2 x a x     ，此不等式组只有 5 个整数解，所以14 3 2 15a   ，即 116 2a    【答案】 116 2a    【巩固】已知关于 x 的不等式组 0 3 2 0 x a x      的整数解共有 6 个，则 a 的取值范围是 ． 7 【解析】不等式组解集为： 3 2a x  ，不等式 3 2x  的 6 个整数解为：1，0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，故 5 4a  ≤ ． 【答案】 5 4a  ≤ 【例 12】 试确定 c 的范围，使不等式组         5 7 3 2 55 1 11.5 1 0.5 2 12 2 xx x c x c x x             ⑴只有一个整数解； ⑵没有整数解． 【解析】⑴解不等式①得 1.7x  ，解不等式②得 x c ．(1)要使不等式组只有一个整数解，则不等式的解 集为 1.7 x c   ，且这个惟一的整数必为 1 ，故 1 0c  ≤ ． ⑵要使不等式组没有整数解，则 1c ≤ ． 【答案】⑴ 1 0c  ≤ ；⑵ 1c ≤ 课堂检测 1． 如果不等式 12 02x a  的正整数解是1、 2 、3、 4 ，求 a 的取值范围 【答案】16 20a  2． 已知关于 x 的不等式 ( 2) 10a x a   的解集是 3x  ，求 a 的值 【答案】 4a  3． 已知 212 (3 ) 0x x y a     ，且 0y  ，则 a 的取值范围是多少 【答案】 36a  4． 如果方程组 3 2 1 2 3 4 3 x y a x y a        的解满足 x y ，求 a 的取值范围 【答案】 5 4a  5． 如果不等式3 0x m  的正整数解有且仅有 3个，求 m 的取值范围 【答案】 9 12m  6． 已知不等式 (2 ) 3 4 0a b x a b    的解为 4 9x  ，求不等式 ( 4 ) 2 3 0a b x a b    的解 【答案】 1 4x   课后作业 8 【习题 1】已知 12( 3) (2 1)3a a   ，求关于 x 的不等式 ( 4) 5 a x x a   的解集． 【解析】由 12( 3) (2 1)3a a   解得 17 4a  ，故有 5 0a   ， 所以解关于 x 的不等式 ( 4) 5 a x x a   可得 5 ax a    ． 【答案】 5 ax a    【习题 2】关于 x 的不等式 2 1x a ≤ 的解集如图所示，则 a 的取值是( ) A．0 B． 3 C． 2 D． 1 【解析】略 【答案】D 【习题 3】如果关于 x 的不等式 ( 1) 5a x a   和 2 4x  的解集相同，求 a 的值． 【解析】 ( 1) 5a x a   的解集为 2x  ，所以 1 0 5 21 a a a      ，所以 7a  ． 【答案】 7a  【习题 4】已知关于 x 的不等式组 2 1 x x x a       无解集，求 a 取值范围． 【解析】略． 【答案】 2a  【习题 5】常数 a 取何值时，不等式组   1 1 12 2 3 1 1[ 2 1 ] 24 2 3 0 x x x a             ≥ ，有解？ 【解析】求出前两个不等式的公共解集为 7 42 x ≤ 。 要使第三个不等式的解集 x a 与 7 42 x ≤ 有公共部分，则需 7 2a  【答案】 7 2a  【习题 6】已知关于 x 的不等式组 0 3 2 1 x a x       的整数解共有 5 个，求 a 的取值范围． 【解析】原不等式组化为 2 x a x    ，其整数解共有5 个，所以 4 3a    ． 9 【答案】 4 3a    【习题 7】当 k 为何值时，关于 x 的方程 3( 2) 9x kx   分别有(1)正数解，(2)负数解，(3)不小于 1 的解． 【解析】由3( 2) 9x kx   可得： (3 ) 3k x  ，若 3 0k  ，则 3 3x k   ， (1) 3 03x k   ，即得 3k  ， (2) 3 03x k   ，即得 3k  ， (3) 3 13x k   ，则 3 0k  ，且3 0k  ，即 3k  ，于是可得 3 3 k  ，可得 0k  ，即 0 3k  ． 【答案】(1) 3k  (2) 3k  ， (3) 0 3k  ． 【习题 8】当 k 为何值时，关于 x 的方程 5( ) 3 2x k x k    分别有：(1)正数解，(2)负数解，(3)不大于 1 的解． 【解析】由原方程得 2 4 2x k  ， 2 1x k  ． (1)要使方程有正数解，则必须 2 1 0k   ，即 1 2k   时，方程有正数解． (2)要使方程有负数解，则必须 2 1 0k   ，即 1 2k   时，方程有负数解． (3)要使方程的解不大于 1，则必须 2 1 1k   ，即 0k  时，方程有不大于 1 的解． 【答案】(1) 1 2k   ． (2) 1 2k   ． (3) 0k  ．