三维设计广东文人教版2014高考数学第一轮复习考案 椭圆及其标准方程 文 3页

第十章 圆锥曲线 第63课 椭圆及其标准方程 ‎1．（2019哈尔滨质检）设、分别是椭圆的左、右焦点，是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的横坐标为（ ）‎ A．1 B． C． D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵ ，∴ ，，‎ ‎ 设，∵，∴ ，‎ 即 ， ∴ ．‎ 又 ∵ ，∴，‎ 解得 ，∵，∴．‎ ‎2．（2019莱芜质检）若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上任意一点，则最小值为（ ）‎ ‎ A． 　　 B． 　 C． 　 D．‎ ‎【答案】A ‎ ‎【解析】由已知可得，设，则 ‎∴时，取得最小值．‎ ‎3．（2019上海闸北质检）椭圆的左、右焦点分别是，，过的直线与椭圆相交于，两点，且，，成等差数列．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若直线的斜率为1，且点在椭圆上，求椭圆的方程．‎ ‎【解析】（1）由题设，得， ‎ 由椭圆定义，‎ ‎（2）由点在椭圆上，‎ 可设椭圆的方程为，‎ 设，，，‎ 由，得，（*）‎ 则 ‎∴， 解得，‎ ‎∴椭圆的方程为． ‎ ‎4．已知、分别是椭圆的左右两个焦点，为坐标原点，点在椭圆上，线段与轴的交点为线段的中点．‎ ‎ （1）求椭圆的标准方程；‎ ‎ （2）点是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于，求的值．‎ ‎【解析】（1）∵点为线段的中点，‎ ‎∴是的中位线，‎ 又，∴，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴椭圆的标准方程为． ‎ ‎ （2）∵点在椭圆上，、是椭圆的两个焦点，‎ 在，由正弦定理，， ‎ ‎5．（2019北京石景山一模）已知椭圆（）右顶点到右焦点的距离为，短轴长为．‎ ‎（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）过左焦点的直线与椭圆分别交于、两点，若线段的长为，求直线的方程．‎ ‎【解析】（1）由题意得 ，解得． ‎ ‎ ∴椭圆方程为． ‎ ‎ （2）当直线与轴垂直时，，‎ ‎ 此时不符合题意故舍掉； ‎ 当直线与轴不垂直时，‎ 设直线的方程为：，‎ ‎ 由，得 ． ‎ ‎ 设 ，则 ， ‎ 由， ‎ ‎∴直线，或． ‎ ‎6． (2019揭阳联考) 如图，在中，，，以、为焦点的椭圆恰好过的中点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过椭圆的右顶点作直线与圆相交于、两点，试探究点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧吗？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由.‎ ‎【解析】（1）∵，∴‎ 又，∴，‎ ‎∴椭圆的标准方程为 ‎ ‎（2）椭圆的右顶点，圆圆心为，半径.‎ 假设点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧，则，‎ 圆心到直线的距离. ‎ 当直线斜率不存在时，的方程为，‎ 此时圆心到直线的距离（符合），‎ 当直线斜率存在时，‎ 设的方程为，即，‎ ‎∴圆心到直线的距离 ‎，无解. ‎ 综上：点M、N能将圆分割成弧长比值为 的两段弧，此时方程为. ‎