2021届高考数学一轮复习第三章三角函数与解三角形第4讲简单的三角恒等变换课件 42页

第 4 讲　简单的三角恒等变换 课标要求 考情风向标 1. 能从两角差的余弦公式导出两角和 与差的正弦、余弦、正切公式，二倍 角的正弦、余弦、正切公式，了解它 们的内在联系 . 2. 能运用上述公式进行简单的恒等变 换 ( 包括引导导出积化和差、和差化积、 半角公式，但不要求记忆 ) 客观题要注意诱导公 式、同角关系式及齐次 式的应用，解答题要注 意三角变换与图象性质 的整合、三角变换与解 斜三角形的整合等 1. 转化思想 (1) 转化思想是三角变换的基本思想，包括角的变换、函数 名的变换、和积变换、次数变换等 . 三角函数公式中次数和角的关系：次降角升；次升角降 . (2) 常用的升次公式有： 1 ＋ sin 2 α ＝ (sin α ＋ cos α ) 2 ； 1 － sin 2 α ＝ (sin α － cos α ) 2 ； 1 ＋ cos 2 α ＝ 2cos 2 α ； 1 － cos 2 α ＝ 2sin 2 α . 2. 三角函数公式的三大作用 (1) 三角函数式的化简 . (2) 三角函数式的求值 . (3) 三角函数式的证明 . 3. 求三角函数最值的常用方法 (1) 配方法 .(2) 化为一个角的三角函数 .(3) 数形结合法 .(4) 换 元法 .(5) 基本不等式法 . 4. 辅助角公式的应用 (2) 用辅助角公式变形三角函数式时： ① 遇两角和或差的三角函数，要先展开再重组； ② 遇高次时，要先降幂； ③ 熟记以下常用结论： B C 3.(2017 年新课标 Ⅱ ) 函数 f ( x ) ＝ 2cos x ＋ sin x 的最大值为 ________. 1 4. (2016 年浙江 ) 已知 2cos 2 x ＋ sin 2 x ＝ A sin( ωx ＋ φ ) ＋ b ( A >0) ， 则 A ＝_______， b ＝_______. 考点 1 三角函数式的化简与求值 考向 1 化简 答案： 1 (2) (2018 年新课标 Ⅰ) 已知函数 f ( x ) ＝ 2cos 2 x － sin 2 x ＋ 2 ，则 ( ) A. f ( x ) 的最小正周期为 π ，最大值为 3 B. f ( x ) 的最小正周期为 π ，最大值为 4 C. f ( x ) 的最小正周期为 2π ，最大值为 3 D. f ( x ) 的最小正周期为 2π ，最大值为 4 答案： B 考向 2 求值 答案： A 【 规律方法 】 三角恒等变换要注意几个方面： (1) 变角：将 复角变为单角，尽量化成同名函 数； (2) 次数：化高次为低次， 化多项式为单项式，化 无理式为有理式； (3) 正用、逆用、变形 用公式，在化简时，有公式就直接运用公式 . 化简的要求： ① 能求出值的应求出值； ② 尽量使三角函数种数最少； ③ 尽量使项数最少； ④ 尽量使分母不含三角函数； ⑤ 尽量使被开方数不含三角函数 . 考点 2 辅助角公式的应用 【 规律方法 】 利用三角恒等变换把 f ( x ) 化成 A sin( ωx ＋ φ ) 的 形式，再求出其单调增区间，根据题意 子集 . 为该区 间的 (2)(2019 年浙江 ) 设函数 f ( x ) ＝ sin x ， x ∈ R . ① 已知 θ ∈[0,2π) ，函数 f ( x ＋ θ ) 是偶函数，求 θ 的值； 思维点拨： ① 由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定 θ 的值； ② 首先整理函数的解析式为 y ＝ a sin( ωx ＋ φ ) ＋ b 的形式，然 后确定其值域即可 . 【 规律方法 】 本题主要考查的是降幂公式、辅助角公式、 三角函数的最小正周期和三角函数的最值，属于中档题 . 解本题 需要掌握的知识点是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小 【 跟踪训练 】 答案： 1 2. 设当 x ＝ θ 时，函数 f ( x ) ＝ sin x － 2cos x 取得最大值，则 cos θ ＝ ___________. 难点突破 ⊙ 三角不等式中的恒成立问题 【 规律方法 】 不等式恒成立问题，要想办法转化为求最大 值、最小值问题 . 而求三角函数在某区间的最值 ( 范围 ) 时，不要 只代两端点，要注意结合图象 . 【 跟踪训练 】 答案： D 1. 化简要求： (1) 能求值的要求出值； (2) 使三角函数种数尽 量少； (3) 使项数尽量少； (4) 尽量使分母不含三角函数； (5) 尽量 使被开方数不含三角函数 . 2.将二元问题转化为一元问题的常用方法有两种：一是代 入法，二是代换法 . 最常用的代换就是三角代换 . 形如条件 x 2 ＋ y 2 ＝1，通常设 x ＝cos θ ， y ＝sin θ .在解析几何中常用三角代换， 将二元转化为一元问题.向量、解析几何、实际应用等中的旋转 问题也常引入 角变量，转化为三角函数问题 .利用三角函数的有 界性，可以求函数的定义域、值域等.