浙江省2021届高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形第8节正弦定理和余弦定理及其应用含解析 19页

第8节　正弦定理和余弦定理及其应用 考试要求　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.正、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos__A；‎ b2＝c2＋a2－2cacos__B；‎ c2＝a2＋b2－2abcos__C 常见变形 ‎(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；‎ ‎(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；‎ ‎(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；‎ ‎(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A；‎ cos A＝；‎ cos B＝；‎ cos C＝ ‎2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. ‎ ‎3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：‎ A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin Ab a≤b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 ‎[常用结论与易错提醒]‎ ‎1.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角时，有时出现一解、两解或无解的情况，所以要进行分类讨论(此种类型也可利用余弦定理求解).‎ ‎2.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列说法的正误.‎ ‎(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(　　)‎ ‎(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　)‎ ‎(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(　　)‎ ‎(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.(　　)‎ ‎(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.(　　)‎ 解析　(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.‎ ‎(3)已知三角时不可求三边.‎ ‎(4)当b2＋c2－a2>0时，A为锐角，但B、C不一定为锐角，△ABC不一定为锐角三角形.‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√‎ ‎2.在△ABC中，内角C为钝角，sin C＝，AC＝5，AB＝3，则BC＝(　　)‎ A.2 B.3 ‎ C.5 D.10‎ 解析　由题意知cos C＝－，设BC＝x，由余弦定理得(3)2＝52＋x2－2×5x·，化简得x2＋8x－20＝0，解得x1＝2，x2＝－10(舍去)，所以BC＝2，故选A.‎ 答案　A ‎3.(必修5P10B2改编)在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________.‎ 解析　由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，‎ 即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，‎ 即A＝B或A＋B＝，‎ 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.‎ 答案　等腰三角形或直角三角形 ‎4.(2019·九江一模)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知cos2A－cos2B＋sin2C ‎＝sin Bsin C＝，且△ABC的面积为，则a的值为________.‎ 解析　△ABC中，由cos2A－cos2B＋sin2C＝sin Bsin C＝，‎ 得1－sin2A－(1－sin2B)＋sin2C＝sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，∴b2＋c2－a2＝bc，‎ 由余弦定理得cos A＝＝，‎ 又A∈(0，π)，∴A＝；‎ 由正弦定理＝＝，‎ ‎∴＝，即＝，‎ 化简得a2＝3bc；‎ 又△ABC的面积为S△ABC＝bcsin A＝，‎ ‎∴bc＝4，∴a2＝12，解得a＝2.‎ 答案　2 ‎5.(2019·杭州质检)设a，b，c分别为△ABC的三边长，若a＝3，b＝5，c＝7，则cos C＝________；△ABC的外接圆半径等于________.‎ 解析　由题意得cos C＝＝＝－，则sin C＝＝，则△ABC的外接圆的半径等于＝.‎ 答案　－　 ‎6.(2020·绍兴适应性考试)已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c.若cos A＝，b＝c，且△ABC的面积是，则b＝________，sin C＝________.‎ 解析　由cos A＝得sin A＝＝，则△ABC的面积为bcsin A＝b××＝，解得b＝，则c＝，由余弦定理得a＝＝＝c，所以sin A＝sin C＝.‎ 答案　　 考点一　利用正、余弦定理解三角形 ‎【例1】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)‎ A.4 B. ‎ C. D.2 ‎(2)(2020·杭州四中仿真)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，△ABC的面积为.且sin A＋sin C＝2sin B，则b的值为(　　)‎ A.4＋2 B.4－2 C.－1 D.＋1‎ ‎(3)(2019·浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上.若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.‎ 解析　(1)因为cos C＝2cos2－1＝2×－1＝－，所以由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝25＋1－2×5×1×＝32，所以AB＝4，故选A.‎ ‎(2)由题意得△ABC的面积为acsin B＝acsin 30°＝，解得ac＝6，又由sin A＋sin C＝2sin B结合正弦定理得a＋c＝2b，则由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－ac＝4b2－12－6，解得b＝＋1，故选D.‎ ‎(3)如图，易知sin C＝，cos C＝.‎ 在△BDC中，由正弦定理可得 ＝，‎ ‎∴BD＝＝＝.‎ 由∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝90°，‎ 可得cos ∠ABD＝cos(90°－∠CBD)＝sin ∠CBD ‎＝sin[π－(C＋∠BDC)]‎ ‎＝sin(C＋∠BDC)‎ ‎＝sin C·cos ∠BDC＋cos C·sin ∠BDC ‎＝×＋×＝.‎ 答案　(1)A　(2)D　(3)　 规律方法　已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时需判断其解的个数，用余弦定理时可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.‎ ‎【训练1】 (1)在△ABC中，已知A＝30°，AB＝2，BC＝，则cos∠ACB＝________，AC＝________.‎ ‎(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.‎ 解析　(1)根据正弦定理＝，可得sin∠ACB＝，故cos∠ACB＝，又因为cos A＝＝＝，所以AC＝＋.‎ ‎(2)在△ABC中，由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，由正弦定理得b＝＝.‎ 答案　(1)　＋　(2) 考点二　利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 变式迁移 ‎【例2】 (经典母题)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 解析　由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，‎ ‎∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.‎ ‎∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝.‎ ‎∴△ABC为直角三角形.‎ 答案　B ‎【变式迁移1】 (一题多解)将本例条件变为“若2sin Acos B＝sin C”，那么△ABC一定是(　　)‎ A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 解析　法一　由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因为－π2，故的取值范围为(2，＋∞).‎ ‎(3)设△ABC的外接圆的圆心为O，则由正弦定理得OA＝OB＝OC＝＝，又因为∠BOC＝2∠BAC＝，所以∠OBC＝(π－∠BOC)＝，则在△BOD中，由余弦定理得OD2＝BO2＋BD2－2BO·BDcos∠OBC＝()2＋22－2××2cos ＝1，所以OD＝1，则AD≤AO＋OD＝＋1，当且仅当A，O，D三点共线时等号成立，所以AD的最大值为＋1.‎ 答案　(1)　2　(2)60°　(2，＋∞)　(3)＋1‎ 基础巩固题组 一、选择题 ‎1.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝，a＝2，b＝，则B＝(　　)‎ A. B. C.或 D. 解析　∵A＝，a＝2，b＝，‎ ‎∴由正弦定理＝可得 sin B＝sin A＝×＝.‎ ‎∵A＝，∴B＝.‎ 答案　D ‎2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析　在△ABC中，由b＝c，得cos A＝＝，又a2＝2b2(1－sin A)，所以cos A＝sin A，‎ 即tan A＝1，又知A∈(0，π)，所以A＝，故选C.‎ 答案　C ‎3.(一题多解)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为，则C＝(　　)‎ A.30° B.45° ‎ C.60° D.75°‎ 解析　法一　∵S△ABC＝·AB·AC·sin A＝，‎ 即××1×sin A＝，∴sin A＝1，由A∈(0°，180°)，∴A＝90°，‎ ‎∴C＝60°.故选C.‎ 法二　由正弦定理得＝，即＝，‎ sin C＝，又C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°.‎ 当C＝120°时，A＝30°，‎ S△ABC＝≠(舍去).而当C＝60°时，A＝90°，‎ S△ABC＝，符合条件，故C＝60°.故选C.‎ 答案　C ‎4.(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析　根据题意及三角形的面积公式知absin C＝，所以sin C＝＝cos C，所以在△ABC中，C＝.‎ 答案　C ‎5.在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)‎ A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 解析　因为cos2＝，‎ 所以2cos2－1＝－1，所以cos B＝，‎ 所以＝，所以c2＝a2＋b2.‎ 所以△ABC为直角三角形.‎ 答案　B ‎6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＞b”是“cos 2A＜cos 2B”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　因为在△ABC中，a＞b⇔sin A＞sin B⇔sin2A＞sin2B⇔2sin2A＞2sin2B⇔1－2sin2A＜1－2sin2B⇔cos 2A＜cos 2B.所以“a＞b”是“cos 2A＜cos 2B”的充要条件.‎ 答案　C 二、填空题 ‎7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.‎ 解析　由正弦定理，得sin B＝＝＝，结合b0.‎ ‎∴当cos(β＋∠AOP)＝－1，即β＋∠AOP＝π时，阴影区域面积最大，为4β＋4sin β.‎ 故选B.‎ 法二　如图②，设圆心为O，连接OA，OB，OP，AB，则阴影区域被分成弓形AmB和△ABP.‎ ‎②‎ ‎∵∠APB＝β，∴∠AOB＝2β.‎ ‎∵弓形AmB的面积是定值，‎ ‎∴要使阴影区域面积最大，则只需△ABP面积最大.‎ ‎∵△ABP底边AB长固定，‎ ‎∴只要△ABP的底边AB上的高最大即可.‎ 由图可知，当AP＝BP时，满足条件，‎ 此时S阴影＝S扇形AOB＋S△AOP＋S△BOP ‎＝×2β·22＋2××22·sin ‎＝4β＋4sin β.‎ 这就是阴影区域面积的最大值.故选B.‎ 答案　B ‎15.若不等式ksin2B＋sin Asin C>19sin Bsin C对任意△ABC都成立，则实数k的最小值为________.‎ 解析　由正弦定理得kb2＋ac>19bc，即k>，‎ ‎∴k>，因为c0，则tan B＝≤＝，当且仅当tan A＝时等号成立，所以tan B的最大值为.‎ 答案　－3　 ‎17.(2019·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin ＝bsin A.‎ ‎(1)求B；‎ ‎(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围.‎ 解　(1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A.‎ 因为sin A≠0，所以sin＝sin B.‎ 由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，‎ 故cos＝2sincos.‎ 因为cos≠0，所以sin＝，所以B＝60°.‎ ‎(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.‎ 又由(1)知A＋C＝120°，‎ 故由正弦定理得a＝＝＝＋.‎ 由于△ABC为锐角三角形，故0°