九年级上册青岛版数学课件3-1圆的对称性（1） 22页

3.1圆的对称性（1） 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用 它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点） 3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点） 学习目标 你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？ 在折的过程中你有何发现？ 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴． 导入新课 讲授新课 （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？你能找到多少条对称轴？ （2）你是怎么得出结论的？ 圆的对称性： 圆是轴对称图形，每一条直 径所在的直线都是它的对称 轴. 用折叠的方法 ●O 说一说 圆的对称轴 问题：如图,AB是⊙ O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你 能发现图中有那些相等的线段和劣弧? 为什么? 线段: AE=BE 弧: AC=BC, AD=BD⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由如下： 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的 两个半圆重合，点A与点B重合，AE 与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．⌒ ⌒⌒ ⌒ ·O A B D E C 垂径定理 u垂径定理 ·O A B C D E 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒AD =BD. u推导格式： 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种 语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. 归纳总结 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不 是，请说明为什么？ 是 不是，因为 没有垂直 是 不是，因为CD 没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E Ø垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 归纳总结 例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙ O的半径为10cm, OE=6cm,则AB= cm. ·O A BE解析：连接OA，∵ OE⊥AB， ∴ AB=2AE=16cm. 16 ∴ 2 2 2 210 6 8 AE OA OE     cm. 典例精析 例2 如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB 于D，DC＝2cm，求半径OC的长. ·O A B E C D 解：连接OA，∵ CE⊥AB于D， ∴ 1 1 8 4(cm)2 2AD AB    设OC=xcm，则OD=x-2,根据 勾股定理，得 解得 x=5， 即半径OC的长为5cm. x2=42+(x-2)2， 例3：已知：⊙ O中弦AB∥CD, 求证：AC＝BD. ⌒ ⌒ . M C D A B O N 证明：作直径MN⊥AB. ∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则AM＝BM，CM＝DM （垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） AM－CM＝BM－DM ∴AC＝BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心 距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为 应用垂径定理创造条件. 归纳总结 试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入 中赵州桥主桥拱半径的问题吗? 垂径定理的实际应用 解：如图，用AB表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足 为D，与弧AB交于点C，则D是 AB的中点，C是弧AB的中点， CD就是拱高. ∴ AB=37m，CD=7.23m. 解得R≈27.3（m）. 即主桥拱半径约为27.3m. =18.52+(R-7.23)2 ∴ AD= AB=18.5m， OD=OC-CD=R-7.23. 2 2 2OA AD OD Q ， 练一练：如图a、b,一弓形弦长为 　 cm，弓形所在 的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿. 64 C D C B O A DO A B 图a 图b 2cm或12cm 在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d （圆心到弦的距离），弓形高h的计算题 时，常常通过连半径或作弦心距构造直角 三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. 涉及垂径定理时辅助线的添加方法 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r 之间有以下关系： 弓形中重要数量关系 A B C D O h r d 2 2 2 2 ar d       d+h=r O A BC · 归纳总结 1.已知⊙ O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为 3cm，则此圆的半径为 .5cm 2.⊙ O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦 AC= . 10 3 cm 3.（分类讨论题）已知⊙ O的半径为10cm，弦MN∥ EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离 为 .14cm或2cm 当堂练习 4.如图，在⊙ O中，AB、AC为互相垂直且相等的两 条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形． D ·O A B C E 证明： ∴四边形ADOE为矩形， 又　∵AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形. 5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么 关系？为什么？ 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE. ∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD. . A C D B O E 注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作 垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法． 6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧 CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂 足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 解:连接OC. ● O C D E F ┗ ,CDOE  1 1 600 300(m).2 2CF CD     2 2 2 ,OC CF OF   22 2300 90 .R R   设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m. 根据勾股定理，得 解得R=545. ∴这段弯路的半径约为545m. 拓展提升： 如图，⊙ O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动 点，那么OP长的取值范围 .3cm≤OP≤5cm BA O P 垂 径 定 理 内 容 辅助线 垂直于弦的直径平分弦以 及弦所对的两条弧. 两 条 辅 助 线 ： 连半径，作弦心距 构造Rt△利用勾股定 理计算或建立方程. 基本图形及 变 式 图 形 课堂小结