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- 2021-05-08 发布
第
3
讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值与
范围问题
高考定位
圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一
，
主要以解答题形式考查
，
往往作为试卷的压轴题之一
，
一般以椭圆或抛物线为背景
，
试题难度较大
，
对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求
.
真 题 感 悟
(2016·
全国
Ⅰ
卷
)
设圆
x
2
＋
y
2
＋
2
x
－
15
＝
0
的圆心为
A
，直线
l
过点
B
(1
，
0)
且与
x
轴不重合，
l
交圆
A
于
C
，
D
两点，过
B
作
AC
的平行线交
AD
于点
E
.
(1)
证明
|
EA
|
＋
|
EB
|
为定值，并写出点
E
的轨迹方程；
(2)
设点
E
的轨迹为曲线
C
1
，直线
l
交
C
1
于
M
，
N
两点，过
B
且与
l
垂直的直线与圆
A
交于
P
，
Q
两点，求四边形
MPNQ
面积的取值范围
.
考
点
整
合
1.
由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：
y
－
y
0
＝
k
(
x
－
x
0
)
，则直线必过定点
(
x
0
，
y
0
)
；若得到了直线方程的斜截式：
y
＝
kx
＋
m
，则直线必过定点
(0
，
m
).
2.
解析几何中的定值问题是指某些几何量
(
线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等
)
的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值
.
3.
求解圆锥曲线中的范围问题的关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系
.
该问题主要有以下三种情况：
(1)
距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解
.
(2)
斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系
.
(3)
面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解
.
热点一 定点与定值问题
[
微题型
1]
定点的探究与证明
(1)
求椭圆
C
的标准方程；
(2)
若直线
l
：
y
＝
kx
＋
m
与椭圆
C
相交于
A
，
B
两点
(
A
，
B
不是左，右顶点
)
，且以
AB
为直径的圆过椭圆
C
的右顶点，求证：直线
l
过定点，并求出该定点的坐标
.
探究提高
(1)
动直线
l
过定点问题解法：设动直线方程
(
斜率存在
)
为
y
＝
kx
＋
t
，
由题设条件将
t
用
k
表示为
t
＝
mk
，
得
y
＝
k
(
x
＋
m
)
，
故动直线过定点
(
－
m
，
0).(2)
动曲线
C
过定点问题解法：引入参变量建立曲线
C
的方程
，
再根据其对参变量恒成立
，
令其系数等于零
，
得出定点
.
[
微题型
2]
定值的探究与证明
探究提高
定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定
“
定值
”
是多少
，
或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题
，
证明该式是恒定的
.
定值问题同证明问题类似
，
在求定值之前已知该值的结果
，
因此求解时应设参数
，
运用推理
，
到最后必定参数统消
，
定值显现
.
(1)
求椭圆
C
的方程；
(2)
设
P
是椭圆
C
上一点，直线
PA
与
y
轴交于点
M
，直线
PB
与
x
轴交于点
N
.
求证：
|
AN
|·|
BM
|
为定值
.
热点二 最值与范围问题
[
微题型
1]
求线段长度、面积
(
比
)
的最值
(1)
求椭圆
C
的方程；
(2)
设
P
是
E
上的动点，且位于第一象限，
E
在点
P
处的切线
l
与
C
交于不同的两点
A
，
B
，线段
AB
的中点为
D
.
直线
OD
与过
P
且垂直于
x
轴的直线交于点
M
.
探究提高
(1)
处理求最值的式子常用两种方式：
①
转化为函数图象的最值；
②
转化为能利用基本不等式求最值的形式
.(2)
若得到的函数式是分式形式
，
函数式的分子次数不低于分母时
，
可利用分离法求最值；若分子次数低于分母
，
则可分子、分母同除分子
，
利用基本不等式求最值
(
注意出现复杂的式子时可用换元法
).
[
微题型
2]
求几何量、某个参数的取值范围
(1)
当
t
＝
4
，
|
AM
|
＝
|
AN
|
时，求
△
AMN
的面积；
(2)
当
2|
AM
|
＝
|
AN
|
时，求
k
的取值范围
.
探究提高
解决范围问题的常用方法：
(1)
构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系
，
构建以待求量为元的不等式求解
.
(2)
构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数
，
再求其值域
.
(3)
数形结合法：利用待求量的几何意义
，
确定出极端位置后数形结合求解
.
1.
解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握：
(1)
从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关：
(2)
直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；
(3)
在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标
.
2.
圆锥曲线的范围问题的常见求法
(1)
几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)
代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：
①
利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②
利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；
③
利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
④
利用基本不等式求出参数的取值范围；
⑤
利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围
.