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- 2021-05-08 发布
2019—2020学年高中毕业班阶段性测试（四）
理科数学
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，且，则（ ）
A．3 B．4 C． D．
4．函数在上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．2020年新型冠状病毒肺炎疫情发生后，党中央、国务院高度重视，及时做出防控部署，坚决打赢这场疫情战役下面是武汉某医院2月6号到15号每天新接收的发热病人数的统计图，下列叙述错误的是（ ）
A．从8号到10号，每天新接收的发热病人数逐渐增加
B．这10天中每天新接收的发热病人数的平均数是49.3
C．从这10天中随机选一天，这一天新接收的发热病人数小于35的概率是
D．这10天中每天新接收的发热病人数的中位数是45
6．关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移要个单位长度，此时所有点的坐标都满足，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率，过左焦点引一条渐近线的垂线，垂足为，的面积是2，则双曲线的实轴长为（ ）
A．4 B．2 C． D．1
10．已知正项等比数列满足，且，，，成等差数列，则的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
11．已知椭圆的左焦点是，左顶点为，直线交椭圆于，两点（在第一象限），直线与直线交于点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数的定义域为，且其图象关于坐标原点对称，当时，对（为的导函数），则使得成立的的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知，满足约束条件，则目标函数的最小值为______．
14．汉语文化博大精深，成语更是其中不可缺少的一部分．在某个猜成语的节目中，一个小选手需要从，，，四个不同的字中选出两个字填入所给的缺少两个字的四字成语中，使其组成一个正确的成语，假设这个小选手没见过这个成语，随意选了两个字，则他选且没选的概率为______．
15．设数列的前项和为，且．若存在正整数，使得不等式成立，则实数的取值范围是______．
16．在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱，为的中点，为直线上一点，且与，不重合，若异面直线与所成角为60°，则三棱锥的体积为______．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题
17．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，，的面积为35，求边．
18．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）设点为棱上靠近点的三等分点，连接，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
19．是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某地一景区2020年2月6日至15日每天的监测数据如茎叶图所示．
（Ⅰ）求这组数据的平均数，并求从这10天中随机抽取一天，空气质量为超标的概率；
（Ⅱ）环保部门计划从这10天中随机选取3天，作为该市空气质量的参考指标，记表示抽到“空气质量超标”的天数，求的分布列及数学期望．
20．已知直线与抛物线交于，两点，点为抛物线的焦点且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）过点作不垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，问：在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知函数，其中．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设在处存在极值，，若存在，使得（为的导函数），证明：．
（二）选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）在曲线上取一点（异于原点），直线绕原点逆时针旋转，交曲线于点，求的最大值．
23．[选修4-5：不等式选讲]
设函数．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
天一大联考
2019—2020学年高中毕业班阶段性测试（四）
理科数学（全国版）·答案
一、选择题
1.【答案】C
【命题意图】本题考查交集和补集的运算，考查计算能力．
【解析】或，，
∴．
2.【答案】A
【命题意图】本题考查复数的乘除运算，考查计算能力．
【解析】由，得，∴．
3.【答案】B
【命题意图】本题考查平而向量的坐标运算，考查计算能力．
【解析】因为，，所以，又，所以．
4.【答案】A
【命题意图】本题考查函数的性质及应用，考查学生的数形结合思想．
【解析】是偶函数，排除B，C；，排除D．故选A．
5.【答案】D
【命题意图】本题考查折线统计图，考查数据处理能力．
【解析】由图易知A的叙述正确；，故B的叙述正确；一共10个数据，小于35的数据有4个，故该数据小于35的概率是，故C的叙述止确；中位数是，故D错误．故选D．
6.【答案】D
【命题意图】本题考查不等式的解法、简易逻辑，考查推理能力与计算能力．
【解析】由题可知是不等式的解集的真子集.当时，不等式的解集为，故；当时，不等式的解集为或，故；当时，不等式的解集为或，故.综上所述，的取值范围是．
7.【答案】B
【命题意图】本题考查空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查空间中的平行关系的应用问题．
【解析】连接，，在四棱柱，中求即可，易求得，，在中，根据余弦定理可得
．
8.【答案】C
【命题意图】本题考查三角函数的恒等变换、函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，考查学生的运算能力和转化思想．
【解析】曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到
，所以令，得．当时，有，所以．
9.【答案】B
【命题意图】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查学生的计算能力．
【解析】若过双曲线左焦点引渐近线的垂线，则该垂线的斜率为，对应方程为．
由消去得，即点的纵坐标为，从而有的面积．
∵，∴，
则，，得，代入，得，，
∴双曲线的实轴长为2．
10.【答案】C
【命题意图】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的性质及求和公式，考查运算能力.
【解析】设正项等比数列的公比为．由，且，，成等差数列，可得
，，即，解得，，则，，
，
当时，取得最小值．
11.【答案】D
【命题意图】本题考查椭圆的相关概念及直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力．
【解析】设椭圆的半焦距为.由题意知，.设，则由题意知.由，知线段的中点为，则，又因为点在直线上，故，即，整理得，，
∴椭圆的离心率．
12.【答案】C
【命题意图】本题考查导数在函数问题中的应用，考查学生的推理分析能力与计算能力．
【解析】令.由题可知为奇函数，∴也为奇函数．，
∵当时，，即.当时，，∴在上单调递减．
∵在上为奇函数，∴在上单调递减，且，
当时，，即，
当时，，当时．∵，
∴①当时，由，得，解得解集为；
②当时，则的解集为空集；
③当时，由，得，解得解集为．
综上所述，的取值范围为．
二、填空题
13.【答案】
【命题意图】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想．
【解析】由约束条件，作出可行域，如图中阴影部分所示，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，的最小值为．
14.【答案】
【命题意图】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力．
【解析】基本事件总数，选且没选包含的基本事件个数，则他选且没选的概率为．
15.【答案】
【命题意图】本题考查数列与函数的综合应用、数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．
【解析】由①，可得②.由②-①可得，即
，由可得，，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以，即，所以.设，则，当，即时，递增，当，即时，递减，故的最大值为.故，故实数的取值范围是．
16.【答案】
【命题意图】本题考查几何体体积的求法，考查运算能力和空间想象能力．
【解析】如图，设点为底面正方形的中心，取的中点，以为坐标原点，分别以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系.易知，，，，，，
设（且），则
，
由，整理得，解得（舍去），故且在射线上.设点到底面的距离为，点到底面的距离为，
∵，，∴，
∴．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合应用，考查运算求解能力.
【解析】（Ⅰ）∵，
∴由正弦定理可得，整理得，
∴，∴．
又，∴，∴，
又，∴．
（Ⅱ）∵，∴是边的中点，．
∵，∴，
∴，即，∴．
由余弦定理可得，
∴．
18.【命题意图】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查二面角的大小的求法，考查运算求解能力．
【解析】（Ⅰ）平面平面，，∴平面，∴．
∵，，∴平面．
∵平面，∴平面平面．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面，．
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，．
故，．
设平面的法向量，则
令，有故．
同理可得平面的一个法向量．
∵，
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
19.【命题意图】本题考查样本的数字特征及随机变量的分布列和数学期望等，考查学生的数据处理能力及运算能力．
【解析】（Ⅰ）这组数据的平均数为．
由茎叶图得10天中，“空气质量超标”的天数有4天，从这10天中随机抽取一天，空气质量超标的概率为．
（Ⅱ）“空气质量超标”的天数有4天，从这10天中随机选取3天，记表示抽到“空气质量超标”的天数，则的能取值为0，1，2，3，
则，，，，
∴的分布列为：
0
1
2
3
．
20.【命题意图】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系，考查学生的运算能力及分类讨论思想．
【解析】（Ⅰ）根据条件可得点的坐标为．
由可得．
设，，则，．
根据点，在抛物线上可得．
则，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知抛物线的方程为．
当直线的斜率不存在时，轴上的除外的任一点均满足使轴平分．
当斜率存在时，由题可设直线的方程为，，．
联立，消去得，∴，．
假设在轴上存在一点，使得轴平分，则，
∴，∴．
又，，∴．
把（*）式代入上式化简得，∴，
∴点．
综上可知，在轴上存在一点，使得轴总是平分．
21.【命题意图】本题主要考查导数的综合应用，考查学生的运算能力及转化思想．
【解析】（Ⅰ）由题可知．
当时，，在单调递增．
当时，令，得．
当时，，在（上单调递减；
当时，，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．
（Ⅱ）在处存在极值，由（Ⅰ）知，且，
∴，则．
∵，∴，．
要证，即证．
当时，．
．
令，
则．
∴在上单调递增．
又，∴当，，即．
∵，∴．
∵，∴．
而由知，
∵，由（Ⅰ）知在上单调递减，∴，∴，
即．
22.【命题意图】本题考查参数方程与极坐标方程的互化，考查计算能力．
【解析】（Ⅰ）由曲线的参数方程是（是参数），消去得：
曲线的普通方程为．
所以的做坐标方程为，即．
（Ⅱ）不妨设，，，
则．
当时，取得最大值，最大值为．
23．【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法及求参数的取值范围，考查计算能力．
【解析】（Ⅰ）当时，
当时，即，解得；
当时，即，解得；
当时，即，解得．
故不等式的解集为．
（Ⅱ）∵，
∴．
当，即或时，不等式显然成立；
当，即时，有，解得．
故的取值范围为．