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- 2021-05-08 发布
章末检测卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列运算正确的是( )
A．(ax2－bx＋c)′＝a(x2)′＋b(－x)′
B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－(2)′(x2)′
C．(cos xsin x)′＝(sin x)′cos x－(cos x)′sin x
D.′＝
答案 A
解析 (sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，B错；
(cos xsin x)′＝(sin x)′cos x＋(cos x)′sin x，C错；
′＝，D错．
2．某质点沿直线运动的位移方程为f(x)＝－2x2＋1，那么该质点从x＝1到x＝2的平均速度为( )
A．－4 B．－5 C．－6 D．－7
答案 C
解析 ＝
＝＝－6.
3．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 D
解析 令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－.
由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.
又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2，∴a＝3.
4．已知二次函数f(x)的图像如图所示，则其导函数f′(x)的图像大致形状是( )
答案 B
解析 由图像知f(x)＝ax2＋c (a<0)，
∴f′(x)＝2ax (a<0)，故选B.
5．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
答案 A
解析 切线l的斜率k＝4，设y＝x4的切点的坐标为(x0，y0)，则k＝4x＝4，∴x0＝1，∴切点为(1,1)，
即y－1＝4(x－1)，∴4x－y－3＝0.
6．若对于任意的x，都有f′(x)＝4x3，且f(1)＝－1，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝－x4 B．f(x)＝x4－2x
C．f(x)＝x4－2 D．f(x)＝x4＋2
答案 C
7．已知函数f(x)＝2x3＋＋cos x，则f′(x)等于( )
A．6x2＋x－－sin x B．2x2＋x－－sin x
C．6x2＋x－＋sin x D．6x2＋x－－sin x
答案 D
8．已知曲线f(x)＝2ax2＋1过点P(，3)，则该曲线在点P处的切线方程为( )
A．y＝－4x－1 B．y＝4x－1
C．y＝4x－11 D．y＝－4x＋7
答案 B
解析 f′(x)＝4ax，又f()＝3，
∴3＝2a2＋1，∴a＝1，∴f′(x)＝4x，f′(1)＝4.
∴曲线f(x)在点P处的切线方程为y－3＝4(x－1)，
即y＝4x－1.
9．过点(－1,0)作抛物线y＝x2＋x＋1的切线，则其中一条切线为( )
A．2x＋y＋2＝0 B．3x－y＋3＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
答案 D
解析 y′＝2x＋1，设所求切线的切点为(x0，x＋x0＋1)．
则＝2x0＋1，∴x0＝0或x0＝－2.
当x0＝0时，曲线y＝x2＋x＋1在点(0,1)处的切线斜率为1，方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.当x0＝－2时，切线方程为3x＋y＋3＝0.
10．设曲线y＝xn＋1(n∈N＋)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·x3·…·xn等于( )
A. B. C. D．1
答案 B
解析 由y＝xn＋1，有y′＝(n＋1)xn，
即当x＝1时，y′＝n＋1，
∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，有xn＝，
∴x1·x2·…·xn＝···…·＝.
11．已知曲线f(x)＝的一条切线斜率为，则切点的横坐标为( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
答案 A
解析 由导数的定义知f′(x0)＝x0，
由x0＝，得x0＝1.
12．已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)的值等于( )
A．1 B. C．3 D．0
答案 C
解析 由已知切点在切线上，所以f(1)＝＋2＝，切点处的导数为切线斜率，所以f′(1)＝，
所以f(1)＋f′(1)＝3.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.
答案 －1
解析 ∵y′＝k＋，∴y′|x＝1＝k＋1＝0，∴k＝－1.
14．若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标为－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为______．
答案 4
解析 ∵y′＝2x－1，∴当x＝－2时，y′＝－5.
又P(－2,6＋c)，∴＝－5.∴c＝4.
15．设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a、b、c是两两不等的常数)，则＋＋＝________.
答案 0
解析 ∵f′(x)＝(x－b)(x－c)＋(x－a)(x－c)＋(x－a)·(x－b)，
∴f′(a)＝(a－b)(a－c)，同理f′(b)＝(b－a)(b－c)，
f′(c)＝(c－a)(c－b)，代入原式中得值为0.
16．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程是__________．
答案 y＝3x－11
解析 y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，
当x＝－1时，(y′)min＝3，
又y＝f(－1)＝－1＋3－6－10＝－14，
切点坐标为(－1，－14)，斜率k＝3，
所求切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即y＝3x－11.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)利用导数定义求函数y＝x2＋ax＋b(a、b为常数)的导数．
解 Δy＝[(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b]－(x2＋ax＋b)＝2x·Δx＋(Δx)2＋a·Δx＝(2x＋a)·Δx＋(Δx)2，
＝＝(2x＋a)＋Δx，
＝ (2x＋a＋Δx)＝2x＋a，∴y′＝2x＋a.
18．(12分)求下列函数的导数：
(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(－2)2；
(3)y＝x－sin cos ；(4)y＝.
解 (1)方法一 y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.
方法二 ∵y＝(2x2＋3)(3x－1)
＝6x3－2x2＋9x－3，
∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.
(2)∵y＝(－2)2＝x－4＋4，
∴y′＝x′－(4)′＋4′＝1－4·x－＝1－2x－.
(3)∵y＝x－sin cos ＝x－sin x，
∴y′＝x′－(sin x)′＝1－cos x.
(4)y′＝()′＝[(1－2x2)－]′
＝－(1－2x2)－·(1－2x2)′＝2x(1－2x2)－
＝.
19．(12分)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的表达式．
解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.
又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2.
∴f(x)＝x2＋2x＋c.
又方程f(x)＝0有两个相等实根，
∴判别式Δ＝4－4c＝0，
即c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.
20．(12分)求满足下列条件的f(x)的解析式：
(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；
(2)f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.
解 (1)依题意，可设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
由f(0)＝3，得d＝3，由f′(0)＝0，得c＝0.
由f′(1)＝－3，f′(2)＝0，
可建立方程组
解得
∴f(x)＝x3－3x2＋3.
(2)由f′(x)为一次函数，知f(x)为二次函数．
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.
将f(x)，f′(x)代入方程得
x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，
即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0.
要使方程对任意x都成立，则需要a＝b，b＝2c，c＝1.
解得a＝2，b＝2，c＝1.
∴f(x)＝2x2＋2x＋1.
21．(12分)已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：f(x)＝x3－2x2＋3相切．求a的值和切点的坐标．
解 设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，
∵f′(x)＝3x2－4x.
由题意可知k＝4，即3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2.
∴切点坐标为或(2,3)，
当切点为时，有＝4×＋a，
解得a＝.
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，解得a＝－5.
∴a＝，切点为或a＝－5，切点为(2,3)．
22．(12分)已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30.求g(4)．
解 ∵f(2x＋1)＝4g(x)，
∴4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d.
∴
由f′(x)＝g′(x)，得2x＋a＝2x＋c，∴a＝c.③
由f(5)＝30，得25＋5a＋b＝30.④
∴由①③可得a＝c＝2.
由④得b＝－5，再由②得d＝－.
∴g(x)＝x2＋2x－.
∴g(4)＝16＋8－＝.