【数学】2019届一轮复习人教B版　数形各显威，挑战离心率学案 11页

增分点 数形各显威，挑战离心率 离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是描述圆锥曲线形状的重要参数．圆锥曲线的离 心率的求法是一类常见题型，也是历年高考考查的热点．求解圆锥曲线的离心率的值或取 值范围，其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率 e 的等式或不等式 使问题获解． [典例] (2016·全国卷Ⅲ)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的左焦点， A，B 分别为 C 的左、右顶点．P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴．过点 A 的直线 l 与线段 PF 交 于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为( ) A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 4 [思路点拨] 本题以椭圆内点线的交错关系为条件，而结论是椭圆的离心率，思考目标自然是要得 到 a，b，c 满足的等量关系，那么方向不外乎两个：坐标关系或几何关系，抓住条件“直 线 BM 经过 OE 的中点”作为突破口适当转化，获得所需等式． [方法演示] 法一：数形结合法 如图，设直线 BM 与 y 轴的交点为 N，且点 N 的坐标为(0，m)，根据题意，点 N 是 OE 的中点，则 E(0,2m)，从而直线 AE 的方程为 x －a ＋ y 2m ＝1，因此点 M 的坐标为－c，2ma－c a . 又△OBN∽△FBM， 所以|FM| |ON| ＝|FB| |OB| ， 即 2ma－c a m ＝a＋c a ，解得c a ＝1 3 ，所以椭圆 C 的离心率为1 3. 法二：交点法 同法一得直线 AE 的方程为 x －a ＋ y 2m ＝1，直线 BN 的方程为x a ＋ y m ＝1.又因为直线 AE 与 直线 BN 交于点 M，且 PF⊥x 轴，可设 M(－c，n)．则 －c －a ＋ n 2m ＝1， －c a ＋n m ＝1， 消去 n，解得c a ＝ 1 3 ，所以椭圆 C 的离心率为1 3. 法三：三点共线法 同法一得直线 AE 的方程为 x －a ＋ y 2m ＝1，由题意可知 M －c，2m 1－c a ，N(0，m)， B(a,0)三点共线，则2m 1－c a －m －c ＝ m －a ，解得c a ＝1 3 ，所以椭圆 C 的离心率为1 3. 法四：方程法 设 M(－c，m)，则直线 AM 的方程为 y＝ m a－c(x＋a)，所以 E 0， ma a－c .直线 BM 的方程 为 y＝ m －c－a(x－a)，与 y 轴交于点 0， ma a＋c ，由题意知，2ma a＋c ＝ ma a－c ，即 a＋c＝2(a－c)， 解得c a ＝1 3 ，所以椭圆 C 的离心率为1 3. 法五：几何法 在△AOE 中，MF∥OE，所以MF OE ＝a－c a . 在△BFM 中，ON∥MF，所以 OE 2 MF ＝ a a＋c ，即OE MF ＝ 2a a＋c. 所以MF OE·OE MF ＝a－c a · 2a a＋c ＝1，即 a＋c＝2(a－c)，解得c a ＝1 3 ，所以椭圆 C 的离心率为1 3. [答案] A [解题师说] 1．本题的五种方法，体现出三个重要的数学解题策略. 找到关 键词确定解 题的突破口 “直线 AE 与直线 BM 相交于点 M”“线段 OE 的中点”“点 A，M，E 三点共线”“点 B，M，N 三点共线”．适当设置参数或设点的坐标或根据解 析几何知识解题 几何观 念 几何性质是解析几何的灵魂，从平面几何知识入手，寻找图形中的平行、 垂直关系，以及三角形的相似，然后转化为椭圆的元素 a，b，c 的齐次关系 式解题 方程思 椭圆(双曲线)离心率的问题，关键是寻找 a，b，c 的齐次关系式，进而求 想 得离心率．由于椭圆(双曲线)的元素 a，b，c 在图形、方程中具有一定的几何 意义，所以通常可借助坐标关系或几何关系来解决离心率的问题. 2．在求解圆锥曲线(椭圆和双曲线)的离心率问题时，要把握一个基本思想，就是充分 利用已知条件和挖掘隐含条件建立起 a 与 c 的关系式． [注意] 在求离心率的值时需建立等量关系式，在求离心率的范围时需建立不等量关系 式． [应用体验] 1．(2018·新疆模拟)已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点， 且∠F1PF2＝π 3 ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.4 3 3 B.2 3 3 C．3 D．2 解析：选 A 依题意，不妨设点 P 在双曲线的右支上，F1，F2 分别为其左、右焦点，设 椭圆与双曲线的离心率分别为 e1，e2，则有 e1＝ |F1F2| |PF1|＋|PF2| ，e2＝ |F1F2| |PF1|－|PF2| ，则1 e1 ＋1 e2 ＝ 2|PF1| |F1F2|.在△PF1F2 中，易知∠F1F2P∈ 0，2π 3 ， 由正弦定理得 |PF1| |F1F2| ＝sin∠F1F2P sin∠F1PF2 ＝ 2 3 sin∠F1F2P， 所以1 e1 ＋1 e2 ＝ 4 3 sin∠F1F2P≤ 4 3 ＝4 3 3 ，当且仅当 sin∠F1F2P＝1，即∠F1F2P＝π 2 时取等号，因此1 e1 ＋1 e2 的最大值是4 3 3 . 2．已知双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>1，b>0)的焦距为 2c，直线 l 过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0) 到直线 l 的距离与点(－1,0)到直线 l 的距离之和 s≥4 5c，则双曲线离心率的取值范围为 __________． 解析：设直线 l 的方程为x a ＋y b ＝1.由已知，点(1,0)到直线 l 的距离 d1 与点(－1,0)到直线 l 的距离 d2 之和 s＝d1＋d2＝ ba－1 a2＋b2 ＋ ba＋1 a2＋b2 ＝2ab c ≥4 5c，整理得 5a c2－a2≥2c2，即 5 e2－1≥2e2，所以 25e2－25≥4e4，即 4e4－25e2＋25≤0，解得5 4 ≤e2≤5， 5 2 ≤e≤ 5.故双 曲线离心率的取值范围为 5 2 ， 5. 答案：5 2 ， 5 一、选择题 1．直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的1 4 ，则 该椭圆的离心率为( ) A.1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 4 解析：选 B 不妨设直线 l 经过椭圆的一个顶点 B(0，b)和一个焦点 F(c,0)，则直线 l 的 方程为x c ＋y b ＝1，即 bx＋cy－bc＝0.由题意知 |－bc| b2＋c2 ＝1 4 ×2b，解得c a ＝1 2 ，即 e＝1 2. 2．(2016·全国卷Ⅱ)已知 F1，F2 是双曲线 E：x2 a2 －y2 b2 ＝1 的左、右焦点，点 M 在 E 上， MF1 与 x 轴垂直，sin∠MF2F1＝1 3 ，则 E 的离心率为( ) A. 2 B.3 2 C. 3 D．2 解析：选 A 法一：作出示意图如图所示，离心率 e＝c a ＝2c 2a ＝ |F1F2| |MF2|－|MF1| ，由正弦定 理得 e＝ |F1F2| |MF2|－|MF1| ＝ sin∠F1MF2 sin∠MF1F2－sin∠MF2F1 ＝ 2 2 3 1－1 3 ＝ 2. 法二：因为 MF1 与 x 轴垂直，所以|MF1|＝b2 a . 又 sin∠MF2F1＝1 3 ，所以|MF1| |MF2| ＝1 3 ，即|MF2|＝3|MF1|.由双曲线的定义得 2a＝|MF2|－ |MF1|＝2|MF1|＝2b2 a ，所以 b2＝a2，所以 c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率 e＝c a ＝ 2. 3．(2018·宝鸡质检)已知双曲线 C：mx2＋ny2＝1(mn<0)的一条渐近线与圆 x2＋y2－6x －2y＋9＝0 相切，则 C 的离心率等于( ) A.5 3 B.5 4 C.5 3 或25 16 D.5 3 或5 4 解析：选 D 当 m<0，n>0 时，圆 x2＋y2－6x－2y＋9＝0 的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2 ＝1，则圆心为 M(3,1)，半径 R＝1，由 mx2＋ny2＝1，得y2 1 n － x2 －1 m ＝1，则双曲线的焦点在 y 轴上，对应的一条渐近线方程为 y＝±a bx，设双曲线的一条渐近线为 y＝a bx，即 ax－by＝0. ∵一条渐近线与圆 x2＋y2－6x－2y＋9＝0 相切，∴圆心到直线的距离 d＝ |3a－b| a2＋b2 ＝1，即|3a －b|＝c，平方得 9a2－6ab＋b2＝c2＝a2＋b2，所以 8a2－6ab＝0，即 4a－3b＝0，b＝4 3a，平 方得 b2＝16 9 a2＝c2－a2，所以 c2＝25 9 a2，c＝5 3a，故离心率 e＝c a ＝5 3 ；当 m>0，n<0 时，双曲 线的渐近线为 y＝±b ax， 设双曲线的一条渐近线方程为 y＝b ax，即 bx－ay＝0， ∴ |3b－a| a2＋b2 ＝1， 即 9b2－6ab＋a2＝c2＝a2＋b2， ∴8b2－6ab＝0，即 4b＝3a，平方得 16b2＝9a2，即 16(c2－a2)＝9a2， 可得 e＝5 4. 综上，e＝5 3 或5 4. 4．(2018·广西三市第一次联考)已知双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别 为 F1(－c,0)，F2(c,0)，P 是双曲线 C 右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，若直线 PF1 与圆 x2＋y2 ＝a2 相切，则双曲线的离心率为( ) A.4 3 B.5 3 C．2 D．3 解析：选 B 取线段 PF1 的中点为 A，连接 AF2，又|PF2|＝|F1F2|，则 AF2⊥PF1.∵直线 PF1 与圆 x2＋y2＝a2 相切，∴|AF2|＝2a.∵|PA|＝1 2|PF1|＝a＋c，∴4c2＝(a＋c)2＋4a2，化简得 (3c－5a)(a＋c)＝0，则双曲线的离心率为5 3. 5．已知 F1，F2 分别是椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点(异于左、 右顶点)，过点 P 作∠F1PF2 的角平分线交 x 轴于点 M，若 2|PM|2＝|PF1|·|PF2|，则该椭圆的 离心率为( ) A.1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 3 3 解析：选 B 记∠PF1F2＝2α，∠PF2F1＝2β，则有∠F1MP＝2β＋π－2α＋2β 2 ＝π 2 ＋(β －α)，sin∠F1MP＝cos(α－β)＝sin∠F2MP，则椭圆的离心率 e＝2c 2a ＝ sin2α＋2β sin 2α＋sin 2β ＝ 2sinα＋βcosα＋β 2sinα＋βcosα－β ＝cosα＋β cosα－β.由已知得2|PM| |PF1| ＝|PF2| |PM| ，即 2sin 2α cosα－β ＝cosα－β sin 2β ，2sin 2αsin 2β＝cos2(α－β)，cos(2α－2β)－cos(2α＋2β)＝cos2(α－β)，即[2cos2(α－β)－1]－[2cos2(α＋ β)－1]＝cos2(α－β)，cos2(α－β)＝2cos2(α＋β)，cosα＋β cosα－β ＝ 2 2 ＝e，所以该椭圆的离心率 e ＝ 2 2 . 6．(2018·云南 11 校跨区调研)设双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的左焦点为 F，直线 4x－3y＋20＝0 过点 F 且与 C 在第二象限的交点为 P，O 为原点，若|OP|＝|OF|，则 C 的离 心率为( ) A．5 B. 5 C.5 3 D.5 4 解析：选 A 依题意得 F(－5,0)，|OP|＝|OF|＝5，tan∠PFO＝4 3 ，cos∠PFO＝3 5 ，|PF| ＝2|OF|cos∠PFO＝6.记双曲线的右焦点为 F2 ，则有|FF2|＝10.在△PFF2 中，|PF2|＝ |PF|2＋|FF2|2－2|PF|·|FF2|·cos∠PFF2＝8.由双曲线的定义得 a＝1 2(|PF2|－|PF|)＝1，则 C 的 离心率为 e＝c a ＝5. 7．已知双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为 A，若双曲线右支上存在两点 B，C 使得△ABC 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围为( ) A．(1,2) B．(2，＋∞) C．(1， 2) D．( 2，＋∞) 解析：选 C 如图，由△ABC 为等腰直角三角形，所以∠BAx＝45°. 设其中一条渐近线与 x 轴的夹角为θ，则θ＜45°，即 tan θ＜1. 又其渐近线的方程为 y＝b ax， 则b a ＜1，又 e＝ 1＋b2 a2 ， 所以 1＜e＜ 2， 故双曲线的离心率 e 的取值范围为(1， 2)． 8．(2018·广东五校协作体诊断)已知点 F1，F2 分别是双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的左、 右焦点，过 F2 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 M，N 两点，若MF1 ―→ ·NF1 ―→ >0，则该双曲线 的离心率 e 的取值范围是( ) A．( 2， 2＋1) B．(1， 2＋1) C．(1， 3) D．( 3，＋∞) 解析：选 B 设 F1(－c,0)，F2(c,0)，依题意可得c2 a2 －y2 b2 ＝1，所以 y＝±b2 a ，不妨设 M c，b2 a ， N c，－b2 a ，则MF1 ―→ ·NF1 ―→＝－2c，－b2 a · －2c，b2 a ＝4c2－b4 a2>0，得到 4a2c2－(c2－a2)2>0，即 a4＋c4－6a2c2<0，故 e4－6e2＋1<0，解得 3－2 21，故 10，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、 左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率 e 的取值范围是 ( ) A. 1， 5 2 B. 5 2 ，＋∞ C. 1，5 4 D. 5 4 ，＋∞ 解析：选 B 依题意，注意到题中的双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1 的渐近线方程为 y＝±b ax，且“右” 区域是由不等式组 y－b ax 所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有 1<2b a ，即b a>1 2 ， 因此题中的双曲线的离心率 e＝ 1＋ b a 2∈ 5 2 ，＋∞ . 10.过椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的左顶点 A 且斜率为 k 的直线交椭 圆 C 于另一点 B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F.若1 30，b>0)的右焦点且垂直于 x 轴的直线 与双曲线交于 A，B 两点，与双曲线的渐近线交于 C，D 两点，若|AB|≥3 5|CD|，则双曲线离 心率的取值范围为( ) A.5 3 ，＋∞ B.5 4 ，＋∞ C．1，5 3 D．1，5 4 解析：选 B 将 x＝c 代入x2 a2 －y2 b2 ＝1 得 y＝±b2 a ，不妨取 A c，b2 a ，B c，－b2 a ，所以|AB| ＝2b2 a .将 x＝c 代入双曲线的渐近线方程 y＝±b ax，得 y＝±bc a ，不妨取 C c，bc a ，D c，－bc a ， 所以|CD|＝2bc a .因为|AB|≥3 5|CD|，所以2b2 a ≥3 5 ×2bc a ，即 b≥3 5c，则 b2≥ 9 25c2，即 c2－a2≥ 9 25c2， 即 16 25c2≥a2，所以 e2≥25 16 ，所以 e≥5 4. 二、填空题 13.(2018·洛阳第一次统考)设椭圆 E：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的右焦点为 F，右顶点为 A.B，C 是椭圆 E 上关于原点对称的两点(B，C 均不在 x 轴上)，若直线 BF 平分线段 AC，则 E 的离心率为________． 解析：法一：设 AC 的中点为 M(x0，y0)，依题意得点 A(a,0)，C(2x0－a,2y0)，B(a－2x0， －2y0)，F(c,0)，其中 y0≠0.由 B，F，M 三点共线得 kBF＝kBM， 2y0 c－a＋2x0 ＝ 3y0 3x0－a ≠0，化 简得 a＝3c，因此椭圆 E 的离心率为1 3. 法二：连接 AB，记 AC 的中点为 M，B(x0，y0)，C(－x0，－y0)，则在△ABC 中，AO， BM 为中线，其交点 F 是△ABC 的重心．又 F(c,0)，由重心坐标公式得 c＝x0－x0＋a 3 ，化简 得 a＝3c，因此椭圆 E 的离心率为1 3. 答案：1 3 14．(2018·湖北部分重点高中联考)已知双曲线 C2 与椭圆 C1：x2 4 ＋y2 3 ＝1 具有相同的焦 点，则两条曲线相交的四个交点形成的四边形面积最大时双曲线 C2 的离心率为__________． 解析：设双曲线的方程为x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)，由题意知 a2＋b2＝4－3＝1，由 x2 4 ＋y2 3 ＝1， x2 a2 －y2 b2 ＝1， 解得交点的坐标满足 x2＝4a2， y2＝31－a2， 由椭圆和双曲线关于坐标轴对称 知，以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积 S＝4|xy|＝4 4a2 · 31－a2＝ 8 3· a2· 1－a2≤8 3·a2＋1－a2 2 ＝4 3，当且仅当 a2＝1－a2，即 a2＝1 2 时，取等号，此时双 曲线的方程为x2 1 2 －y2 1 2 ＝1，离心率 e＝ 2. 答案： 2 15．已知点 A(3,4)在椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)上，则当椭圆的中心到直线 x＝ a2 a2－b2 的距 离最小时，椭圆的离心率为__________． 解析：因为点 A(3,4)是椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)上的点，所以 9 a2 ＋16 b2 ＝1，所以 b2＝ 16a2 a2－9. 因为 a>b>0，所以 1＝ 9 a2 ＋16 b2> 9 a2 ＋16 a2 ＝25 a2 ，从而 a2>25. 设椭圆的中心到直线 x＝ a2 a2－b2 的距离为 d，则 d＝ a2 a2－b2 ＝ a4 a2－ 16a2 a2－9 ＝ a2 1－ 16 a2－9 ＝ a2a2－9 a2－25 ＝ a2－25＋ 400 a2－25 ＋41≥ 2 400＋41＝9， 当且仅当 a2－25＝ 400 a2－25 ，即 a2＝45 时，等号成立，此时 b2＝20，c2＝25，于是离心 率 e＝c a ＝ 25 45 ＝ 5 3 5 ＝ 5 3 . 答案： 5 3 16．已知抛物线 y＝1 4x2 的准线过双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的虚轴的一个端点， 且双曲线 C 与直线 l：x＋y＝1 相交于两点 A，B.则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围为 ________． 解析：抛物线 y＝1 4x2 化为 x2＝4y，所以准线为 y＝－1，所以双曲线 C：x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0， b>0)的虚轴的一个端点为(0，－1)，即 b＝1， 所以双曲线 C：x2 a2 －y2＝1(a>0)． 联立 x2－a2y2－a2＝0， x＋y＝1， 消去 y，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0. ∵与双曲线交于两点 A，B， ∴ 1－a2≠0， 4a4＋8a21－a2>0 ⇒0 1＋1 2 ＝ 6 2 ，且 e＝ 1＋ 1 a2 ≠ 2， ∴e 的取值范围为 6 2 ， 2 ∪( 2，＋∞)． 答案： 6 2 ， 2 ∪( 2，＋∞)