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- 2021-05-08 发布
南宁三中2019-2020学年度下学期高二段考
理科数学试题
命题人：曹东林 罗佼佼 杨海棠 审题人：曹东林 罗佼佼 杨海棠
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．观察数列1，，，4，，，7，，……，则该数列的第11项等于（ ）
A．1111 B．11 C． D．
3．已知等差数列的前n项和为，若，则一定成立的是
A． B． C． D．
4．函数的图象在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知焦点在轴上的椭圆的长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
6．用数学归纳法证明时，由时的假设到证明时，等式左边应添加的式子是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在正方体中，，依次是和的中点，则异面直线与CF所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．0
8．如图，长方形的四个顶点为，，，，曲线经过点.现将一质点随机投入长方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，若存在使得，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．，
12．定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.函数的极小值是__________
14.已知函数定义域为R，，在上的导数满足，则不等式的解集为___________.
15.关于的不等式恒成立，实数的取值范围是__________.
16.已知双曲线的左、右焦点分别为，,过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为________
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题：共60分。
17.（12分）在中，内角所对的边分别为，已知．
（1）求角C的大小
（2）若，的面积为，求的周长．
18.（12分）已知正项等比数列满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和
[来源:Zxxk.Com]
19.（12分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，．是棱的中点．
（1）求证：面；
（2）求二面角的正弦值；
20．（12分）已知椭圆的离心率为，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设与圆O：相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求△AOB面积的最大值.
21.（12分）已知函数
（1）讨论当时，函数的单调性
（2）当对任意的恒成立,其中.求的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4极坐标与参数方程]（10分）已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设点，直线与曲线交于两点，求的值.
23.[选修4-5不等式选讲]（10分）已知函数
（1）解不等式；
（2）若不等式的解集为空集，求a的取值范围.
南宁三中2019-2020学年度下学期高二段考
理科数学试题参考答案
1．【答案】B
【解析】∵ ∴
∴的虚部为-1
2.【答案】C
【解析】由数列得出规律，按照1，，，…，是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，
由，所以该数列的第11项为．
3．【答案】B
【解析】因为，所以，.故选B．
4．【答案】A
【解析】当x=1时，f(1)=-2+0=-2，所以切点为（1,-2）,
由题得，
所以切线方程为,即：
5．【答案】A
【解析】由题意知，，∴，又，∴，则.
因为椭圆的焦点在轴上时，所以椭圆方程为.
6．【答案】B
【解析】因为当时，等式的左边是，所以当时，等式的左边是，多增加了
7．【答案】A
【解析】连接，则，
则（或其补角）为异面直线与所成角，
在中，设，则，，
由余弦定理得：，
即异面直线与所成角的余弦值为[来源:学*科*网Z*X*X*K]
8．【答案】C
【解析】由已知易得：，
由面积测度的几何概型：质点落在图中阴影区域的概率
9．【答案】D
【解析】圆的圆心为，
由题意可得，即，，，
则，当且仅当且即时取等号，故选：．
10．【答案】C
【解析】由题意，函数的定义域为，
且，所以函数为奇函数，排除A，B；
当时，函数，则，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，排除D．
11．【答案】D[来源:学§科§网]
【解析】根据题意，函数，其图象如图：
直线恒过定点
若存在使得，则函数的图象在直线下方有图象或有交点，则直线与函数的图象必定有交点
分析可得：当时，直线经过第一三四象限，与函数的图象必有交点，符合题意；
当时，直线经过第二三四象限，若直线与有交点，必然相交于第二象限
则有，即，变形可得
令，解得或（舍），则有，综合可得：的取值范围为
12．【答案】B
【解析】由题意：，
所以分别为的根，即为函数
的零点，
可解得：；
又因为：；
又因为：；所以：
13. 【答案】
【解析】，由得
函数在上为增函数，上为减函数，上为增函数，故在处有极小值，极小值为.
14.【答案】
【解析】构造函数，则，在上是增函数，且.又不等式可化为，即，∴.
15. 【答案】
【解析】在恒成立，即恒成立，即，
令，则，
当，即，解得，当，即，解得
所以在上为减函数，在上增函数，所以，
所以
16.【答案】
【解析】如图，设切点为，连接，过作于，是中点，，，，，故，在中，，即，故
17. 【解析】（1）由正弦定理，得，
因为，所以，故，又因为0＜C＜，所以
（2）由已知，得.又，所以.
由已知及余弦定理，得，所以，
从而.即，故a+b+c=，所以的周长为.
18. 【解析】（1）设等比数列的公比为，则，由可得，
，，即，，解得，.
（2） 由（1），
，
，
两式相减，得
，
因此，
19. 【解析】作SC的中点N，连接MN，DN，因为M,N分别为SB，SC的中点，
所以MN//BC，，
又AD//BC，所以MN//AD，MN=AD，故四边形AMND为平行四边形，AM//ND
又，AM不在平面SCD内，所以AM//平面SCD
（2）以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，C(2,1,0)，D(1,0,0)，M(0,1,1)，S(0,0,2)，则，，，
设平面的法向量是，则，即，
令，则，，．
设平面的法向量为，则，即，
令y1=-1，则x1=2，z1=3，,
设二面角的平面角大小为，则，即．
二面角的正弦值为．
，即点到平面距离为.
20．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（I）由题设：，解得
∴椭圆C的方程为
（Ⅱ）.设
1.当ABx轴时，
2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为
由已知，得
把代入椭圆方程消去y，
整理得,有
,
,
,[来源:学.科.网]
当且仅当，即时等号成立. 当时，
综上所述，从而△AOB面积的最大值为
21．（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）当时，，当为单调递增函数，，在为增函数
（2）由已知有,其中,.
.
令,其中,.
由得在上单调递增.
又,当时,,
故存在,使得.
当时,,,在上单调递减;
当时,,,在上单调递增.
故.
由得,,即.
则.
令,由,,解得.
因为在上单调递增,,所以.
故,即,解得
22．（1）直线普通方程：，曲线直角坐标方程：；（2）.
【解析】（1）由直线参数方程消去可得普通方程为：
曲线极坐标方程可化为：
则曲线的直角坐标方程为：，即
（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理可得：
设两点对应的参数分别为：，则，
23．(1) 或. (2)
【解析】(1)根据条件[来源:Z+xx+k.Com]
当时，
当时，
当时，
综上，的解集为或.
(2)由于可得的值域为.
又不等式的解集为空集，所以.