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- 2021-05-08 发布
安徽省六安中学2019-2020学年高二下学期期末考试（理）
总分：150分 时间：120分钟
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．命题“，使”的否定为( )
A．
B．
C．，
D．，
4．以下说法中正确的是（ ）
①，；
②若为真命题，则为真命题：
③是的充分不必要条件;
④“若，则”的逆否命题为真命题.
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
5．函数在点处的切线方程为( )
A． B． C． D．
6．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A．0.34 B．0.48 C．0.68 D．0.84
7．设，其中，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．把15人分成前、中、后三排,每排5人,则共有不同的排法种数为( )
A． B． C． D．
9．的展开式中x的系数等于（ ）
A．3 B．4 C． D．
10．小明的妈妈为小明煮了 5 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A为“取到的两个为同一种馅”，事件B为“取到的两个都是豆沙馅”，则 （ ） A． B． C． D．
11．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个不同区域（ABCDE）涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻区域颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为（ ）
A．360 B．400 C．420 D．480
12．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知的分布列
0
1
且，，则_______________.
14． 函数在上的单调递减，则实数的取值范围为___________.
15．已知命题p：∀x>0，2ax－lnx≥0.若命题p的否定是真命题，则实数a的取值范围是
_______________________．
16．已知能够被15整除,其中，则________________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知：，：，其中.
（1）若且为真，求的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18．（12分）已知圆的方程，从0，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数中选出3个不同的数，分别作圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径．问：
（1）经过原点的圆有多少个？（2）圆心在直线上的圆有多少个？
19．（12分）请你设计一个包装盒，如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，在上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设().
（1）某广告商要求包装盒的侧面积最大，试问应取何值？
（2）某厂商要求包装盒的容积最大，试问应取何值？
20．（12分）某大学宣传部组织了这样一个游戏项目：甲箱子里面有3个红球，2个白球，乙箱子里面有1个红球，2个白球，这些球除了颜色以外，完全相同．每次游戏需要从这两个箱子里面各随机摸出两个球.
（1）设在一次游戏中，摸出红球的个数为，求分布列.
（2）若在一次游戏中，摸出的红球不少于2个，则获奖.求一次游戏中，获奖的概率.
21．（12分）为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高二年级抽取了名男生和名女生的该学科成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定分以上为优分（含分）．
(1)（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；
优分
非优分
总计
男生
女生
总计
50
（ii）据列联表判断，能否在犯错误概率不超过的前提下认为“学科成绩与性别有关”？
(2)将频率视作概率，从高二年级该学科成绩中任意抽取名学生的成绩，求成绩为优分人数的分布列与数学期望．
参考公式：．
参考数据：
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
22．（12分）设函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，若函数没有零点，求的取值范围.
参考答案
1． D【详解】因，故在第四象限，应选D.
2． B【详解】由题意得，，所以z的虚部为.
3．B【详解】根据全称命题的否定是特称命题，知，使的否定为.
4．B【详解】①函数开口向上，，因此，，正确；
②为真命题，则其中一个为假命题或都是真命题，因此不一定为真命题，错误；
③由得或，因此，
但即是的充分不必要条件．正确；
④，原命题为假命题，因此它的逆否命题为假命题．错误．
5．C【详解】 ，∴，∴，又 ，
切线方程是：.
6．C【详解】因为随机变量服从正态分布，所以，
所以．
7．D【详解】
8．C【详解】把座位从1到15标上号，问题就转化为15人坐在15个座位上，共有种．
9．C【详解】
其中的展开式中含的项是，的展开式中没有含的项.
10．B【详解】由题意，P（A）==，P（AB）==，∴P（B|A）==，
11．C【详解】根据题意，5个区域依次为A、B、C、D、E, 如图，
分4步进行分析：
①对于区域A，有5种颜色可选，
②对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选;③对于区域C，与A、B区域相邻,有3种颜色可选;
④,对于区域D、E,若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，则区域D、E有种选择,
则不同的涂色方案有种;
12．A【详解】构造新函数,，当时.
所以在上单减，又，即.所以可得,此时，又为奇函数，所以在上的解集为：.故选A.
13．4【详解】,且
，即，解得，
14．【详解】解：因为，，所以，
因为函数在上的单调递减，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
因为在上单调递减，所以
所以，即
15． 【详解】命题的否定是：，，所以能成立，
令，则，令，得，并且可以得出在上单调增，在上单调减，所以的最大值也就是极大值为，所以，
故实数的取值范围是.
16．14【详解】解：由题可知，
所以，
而75能被15整除，要使能够被15整除，只需能被15整除即可，
所以，解得：.
17．17．（1）；（2）
【详解】由，解得，所以：，
又，且，解得，所以：.
（1） 当时，：，因为为真，
所以都为真，所以………………………………………………………5分
（2）因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，
因为：，：，所以，解得.………10分
18．(1)4；(2)38.
【详解】(1)圆经过原点，a、b、r满足，
满足该条件的a，b，r共有3，4，5与6，8，10两组，考虑a、b的顺序，有种情况，
所以符合题意的圆有.…………………………………………………………5分
(2) 圆心在直线x+y−10=0上，即满足a+b=10，
则满足条件的a、b有三组：0，10；3，7；4，6.
当a、b取10、0时，r有7种情况，
当a、b取3、7；4、6时，r不可取0，有6种情况，
考虑a、b的顺序，有种情况，所以满足题意的圆共有个.…12分
19．（1）（2）；高与底面边长的比值为
【详解】（1）设包装盒的底面边长为，高为，则由题意可得，，，所以，
∴当时，取得最大值…………………………………………………………………5分
（2）根据题意，由（1）有
∴由得，（舍）或.
∴当时；当时，
∴当时取得极大值，也是最大值.…………………………………………………12分
20．(1)见解析；(2)
【详解】（1）可以为0，1，2，3，………………………………………………………2分
，，
，，……7分
0
1
2
3
…………………………………………………………………………………………………9分
（2） （一次游戏获奖）.……………………………12分
21．（1）（i）列联表见解析；（ii）能在犯错误概率不超过的前提下认为该学科成绩与性别有关；（2）分布列见解析；
【详解】(1)（i）根据图示，将列联表补充完整如下：
优分
非优分
总计
男生
9
21
30
女生
11
9
20
总计
20
30
50
…………………………………………………………………………………………………2分
（ii）的观测值：
，
所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关； ………………5分
(2)由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此可将男女生成绩的优分频率视作概率；从高二年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数服从二项分布，，，…………………………7分
当，；当，；
当，；当，；
…………………………………………………………………………………………………9分
故的分布列为：
X
0
1
2
3
p
………………………………………………………………………………………………10分
数学期望.………………………………………………………………12分
22． 当时，的增区间是，当时，的增区间是，减区间是；
【详解】，，，
当时，，在区间上单调递增，
当时，令，解得；令，解得，
综上所述，当时，函数的增区间是，
当时，函数的增区间是，减区间是；………………………5分
依题意，函数没有零点，即无解，
由1知：当时，函数在区间上为增函数，区间上为减函数，
只需，解得．
实数a的取值范围为…………………………………………………………12分