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- 2021-05-08 发布
第2练 复数与平面向量
[明晰考情] 1.命题角度：复数的四则运算和几何意义；以平面图形为背景，考查平面向量的线性运算、平面向量的数量积.2.题目难度：复数题目为低档难度，平面向量题目为中低档难度.
考点一 复数的概念与四则运算
要点重组 (1)复数：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部，i为虚数单位.若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数.
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(4)复数的模：向量的模r叫做复数 ＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作| |或|a＋bi|，即| |＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R).
(5)复数的四则运算类似于多项式的四则运算，复数除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数.
1.(2018·全国Ⅱ)等于( )
A.－－i B.－＋i
C.－－i D.－＋i
答案 D
解析 ＝＝＝
＝－＋i.
故选D.
2.已知a，b∈R，i是虚数单位.若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2等于( )
A.5－4i B.5＋4i
C.3－4i D.3＋4i
答案 D
解析 由已知得a＝2，b＝1，即a＋bi＝2＋i，
∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.故选D.
3.已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，
反过来(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，
则a2－b2＝0,2ab＝2，
解得a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1.
故“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要条件，
故选A.
4.复数 ＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则 的实部是 .
答案 5
解析 ＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i.故 的实部为5.
考点二 复数的几何意义
要点重组 (1)复数 ＝a＋bi复平面内的点 (a，b)(a，b∈R).
(2)复数 ＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
5.设a∈R，若(1＋3i)(1＋ai)∈R(i是虚数单位)，则a等于( )
A.3 B.－3 C. D.－
答案 B
解析 (1＋3i)(1＋ai)＝1＋ai＋3i－3a，
∵(1＋3i)(1＋ai)∈R，
∴虚部为0，则a＋3＝0，∴a＝－3.
6.(2018·株洲质检)设复数 满足(1＋i) ＝i，则| |等于( )
A. B.
C. D.2
答案 A
解析 由(1＋i) ＝i，
得 ＝＝＝＋i，
∴| |＝＝.
7.如图，在复平面内，复数 1， 2对应的向量分别是，，则| 1＋ 2|＝ .
答案 2
解析 由题意知， 1＝－2－i， 2＝i，
∴ 1＋ 2＝－2，
∴| 1＋ 2|＝2.
8.已知复数 ＝，则复数 在复平面内对应的点位于第 象限.
答案 二
解析 因为i4n＋k＝ik(n∈ )，且i＋i2＋i3＋i4＝0，
所以i＋i2＋i3＋…＋i2 019＝i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1，
所以 ＝＝＝－(1－i)＝－＋i，对应的点为，在第二象限.
考点三 平面向量的线性运算
方法技巧 (1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点，指向被减.
(2)已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s，t，使得＝s＋t，且s＋t＝1，s，t∈R.
(3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决.
9.(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于( )
A.－ B.－
C.＋ D.＋
答案 A
解析 作出示意图如图所示.
＝＋＝＋
＝×(＋)＋(－)＝－.
故选A.
10.如图，在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为( )
A. B. C.1 D.3
答案 B
解析 ∵＝，∴＝，
∴＝m＋＝m＋.
又B，N，P三点共线，∴m＋＝1，
∴m＝.
11.如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于( )
A.2 B.
C. D.
答案 D
解析 方法一 如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，
设正方形边长为1，＝，＝，＝(1,1).
∵＝λ＋μ＝λ＋μ＝，
∴解得故λ＋μ＝.
方法二 以，作为基底，
∵M，N分别为BC，CD的中点，
∴＝＋＝＋，
＝＋＝－，
∴＝λ＋μ＝＋，
又＝＋，
因此解得
所以λ＋μ＝.
12.若|a|＝1，|b|＝，且|a－2b|＝，则向量a与向量b夹角的大小是 .
答案
解析 由|a－2b|＝，得|a|2－4a·b＋4|b|2＝7，
∴1－4a·b＋4×3＝7，∴a·b＝.
∴cos〈a，b〉＝＝＝，又∵0≤〈a，b〉≤π，
∴〈a，b〉＝.
考点四 平面向量的数量积
方法技巧 (1)向量数量积的求法：定义法，几何法(利用数量积的几何意义)，坐标法.
(2)向量运算的两种基本方法：基向量法，坐标法.
13.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(b＋λa)⊥c，则λ的值为( )
A.－ B.－
C. D.
答案 A
解析 b＋λa＝(1,0)＋λ(1,2)＝(1＋λ，2λ)，又c＝(3,4)，且(b＋λa)⊥c，所以(b＋λa)·c＝0，即3(1＋λ)＋2λ×4＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－.
14.(2017·全国Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )
A.－2 B.－
C.－ D.－1
答案 B
解析 方法一 (解析法)
建立坐标系如图①所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(－1，0)，C(1,0).
图①
设P点的坐标为(x，y)，
则P＝(－x，－y)，
＝(－1－x，－y)，
＝(1－x，－y)，
∴·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)
＝2(x2＋y2－y)＝2
≥2×＝－.
当且仅当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－.
故选B.
方法二 (几何法)
如图②所示，＋＝2(D为BC的中点)，则·(＋)＝2·.
图②
要使·最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2·)min＝－2| |，
问题转化为求| |的最大值.
又当点P在线段AD上时，||＋||＝||＝2×＝，
∴| |≤2＝2＝，
∴[·(＋)]min＝(2·)min＝－2×＝－.
故选B.
15.(2016·全国Ⅲ)已知向量＝，＝，则∠ABC等于( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
答案 A
解析 ||＝1，||＝1，
cos∠ABC＝＝.
又∵0°≤∠ABC≤180°，
∴∠ABC＝30°.
16.在平面内，·＝·＝·＝6，动点P，M满足||＝2，＝，则||2的最大值是 .
答案 16
解析 由已知易得△ABC是等边三角形且边长为2.
设O是△ABC的中心，则||＝||＝||＝2.
以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系，
如图所示，
则A(2,0)，B(－1，－)，C(－1，).
设P(x，y)，由已知||＝2，
得(x－2)2＋y2＝4.∵＝，
∴M，∴＝，
∴||2＝，
它表示圆(x－2)2＋y2＝4上的点P(x，y)与点D(－1，－3)的距离的平方的，
∵||max＝＋2＝＋2＝8，
∴||＝＝16.
1.(2017·全国Ⅰ)设有下面四个命题：
p1：若复数 满足∈R，则 ∈R；
p2：若复数 满足 2∈R，则 ∈R；
p3：若复数 1， 2满足 1 2∈R，则 1＝2；
p4：若复数 ∈R，则∈R.
其中的真命题为( )
A.p1，p3 B.p1，p4 C.p2，p3 D.p2，p4
答案 B
解析 设 ＝a＋bi(a，b∈R)， 1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，
2＝a2＋b2i(a2，b2∈R).
对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0，即 ＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题；
对于p2，若 2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时， ＝a＋bi＝bi
∉R，所以p2为假命题；
对于p3，若 1 2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而 1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0D⇒/a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题；
对于p4，若 ∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题.故选B.
2.在△ABC中，有如下命题，其中正确的是 .(填序号)
①－＝；
②＋＋＝0；
③若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形；
④若·>0，则△ABC为锐角三角形.
答案 ②③
解析 在△ABC中，－＝，①错误；
若·>0，则B是钝角，△ABC是钝角三角形，④错误.
3.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 .
答案 ∪
解析 a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)，
由a·(a＋λb)>0，可得λ>－.
又a与a＋λb不共线，
∴λ≠0.
故λ>－且λ≠0.
解题秘籍 (1)复数的概念是考查的重点，虚数及纯虚数的意义要把握准确.
(2)复数的运算中除法运算是高考的热点，运算时要分母实数化(分子分母同乘以分母的共轭复数)，两个复数相等的条件在复数运算中经常用到.
(3)注意向量夹角的定义和范围.在△ABC中，和的夹角为π－B；向量a，b的夹角为锐角要和a·b>0区别开来(不要忽视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理).
1.设i是虚数单位，则复数i3－等于( )
A.－i B.－3i
C.i D.3i
答案 C
解析 i3－＝－i－＝－i＋2i＝i.故选C.
2.已知＝b＋i(a，b∈R)，则a＋b等于( )
A.－1 B.1
C.－2 D.2
答案 B
解析 方法一 由已知可得a＋2i＝(b＋i)i，即a＋2i＝bi－1.
由复数相等可得所以a＋b＝1.
方法二 ＝2－ai＝b＋i，由复数相等可得解得所以a＋b＝1.
3.设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 B
解析 ＝＝＝－1＋i，由复数的几何意义知，－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.
4.(2018·安庆模拟)在△ABC中，点D是边BC上任意一点， M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得＝λ＋μ，则λ＋μ等于( )
A. B.－
C.2 D.－2
答案 B
解析 因为点D在边BC上，所以存在t∈R，
使得＝t＝t.
因为M是线段AD的中点，所以＝(＋)＝＝－(t＋1)＋t.
又＝λ＋μ，
所以λ＝－(t＋1)，μ＝t，所以λ＋μ＝－.
5.“复数 ＝在复平面内对应的点在第三象限”是“a≥0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 D
解析 由题意得 ＝a－3i，
若 在复平面内对应的点在第三象限，则a<0，
故选D.
6.(2018·通州期末)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若＋＋＝0，且||＝||，则·等于( )
A. B.
C.3 D.2
答案 C
解析 ∵＋＋＝0，∴＝－，故点O是BC的中点，且△ABC为直角三角形，
又△ABC的外接圆的半径为1，||＝||，∴BC＝2，AB＝1，CA＝，∠BCA＝30°，
∴·＝| |·cos 30°＝×2×＝3.
7.已知a>0，＝2，则a等于( )
A.2 B. C. D.1
答案 B
解析 ＝＝＝2，
即a2＝3.
又∵a>0，
∴a＝.
8.(2018·梧州模拟)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝，若向量m满足|m－2－|＝3，则|m|的最大值与最小值的和为( )
A.7 B.8
C.9 D.10
答案 D
解析 由AB＝2，AC＝3，BC＝，得BC2＝AB2＋AC2，即∠A为直角.以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(2,0)，C(0,3)，设m的终点坐标为(x，y)，∵|m－2－|＝3，∴(x－4)2＋(y－3)2＝9，故|m|的最大值与最小值分别为圆(x－4)2＋(y－3)2＝9上的点到原点距离的最大值和最小值，故最大值为5＋3＝8，最小值为5－3＝2，即最大值与最小值之和为10，
故选D.
9.已知 1＝3＋4i， 2＝t＋i，且 1·2是实数，则实数t＝ .
答案
解析 ∵ 2＝t＋i，∴2＝t－i，
∴ 1·2＝(3＋4i)(t－i)＝3t－3i＋4ti－4i2
＝(3t＋4)＋(4t－3)i.
又∵ 1·2是实数，∴4t－3＝0，即t＝.
10.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积之比为 .
答案
解析 设AB的中点为D，
由5＝＋3，
得3－3＝2－2，
即3＝2.
故C，M，D三点共线，
如图所示，＝，
也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，
则△ABM与△ABC的面积之比为.
11.已知 ＝1＋i，则－ 2的共轭复数是 .
答案 1＋3i
解析 ∵ ＝1＋i，
∴－ 2＝－(1＋i)2＝－2i
＝1－i－2i＝1－3i，
∴－ 2的共轭复数是1＋3i.
12.(2018·瓦房店模拟)直线ax＋y－2＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，若·＝－2，则a＝ .
答案 ±
解析 圆心到直线的距离是d＝ .又圆的半径是2,
由·＝－2，得| |·cos∠ACB＝－2，解得cos∠ACB＝－，
∵0≤∠ACB≤π，
∴∠ACB＝，
∴cos ＝＝＝，∴a＝±.