陕西省延安市第一中学2020届高三上学期第二次质量检测数学（文）试题 Word版含解析 16页

市一中2019—2020学年度第一学期高三 第二次质量检测(文科)数学试题 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列出不等式，结合，可得集合B，根据补集的定义即可得结果.‎ ‎【详解】由，得或，‎ 又，所以，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的运算、函数的定义域及二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2.已知幂函数的图像过点，则方程的解是（ ）‎ A. 4 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用幂函数的图像过点，求出，再解方程，即可得到答案.‎ ‎【详解】依题意得，解得，所以，‎ 由得，解得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了求幂函数解析式，考查了由幂函数的函数值求自变量，属于基础题.‎ ‎3.把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数平移的规律可得平移后的图象对应的函数为，再由伸缩变换的性质可得最终图象所对应的函数为，即可得解.‎ ‎【详解】由题意将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度可得到函数的图象，‎ 再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了三角函数图象的变换，属于基础题.‎ ‎4.函数的零点所在的大致区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算区间端点处函数值，根据零点存在定理确定．‎ ‎【详解】，‎ ‎，所以在有零点．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查零点存在定理，属于基础题．‎ ‎5.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的几何意义，求得直线的斜率，即为倾斜角的正切值；结合同角三角函数关系式中齐次式的化简方法，即可得到最后的值．‎ ‎【详解】曲线，点的坐标为 ‎ 所以 ，在点处切线斜率 ，即 ‎ 所以分子分母同时除以 可得 所以选B ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义，三角函数式的化简求值，属于中档题．‎ ‎6.在中,内角的对边分别为，若，则 一定是(　　)‎ A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化简，利用特殊角的三角函数值得到A=B，即可确定出三角形为等腰三角形．‎ ‎【详解】将利用正弦定理化简得： sinAcosB=cosAsinB，‎ 变形得：sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）=0，‎ ‎∵A、B为三角形内角，‎ ‎∴A﹣B=0，即A=B，‎ 则△ABC为等腰三角形．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．‎ ‎7.若函数在区间上单调递增，则实数取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选D．‎ 考点：利用导数研究函数的单调性.‎ ‎8.函数的部分图象如图所示，则（ ）‎ A. 的图象关于点对称 B. 将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象 C. 函数在区间上单调递减 D. 的图象关于直线对称 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据“五点法”求解．可先求出函数解析式，然后判断各选项．‎ ‎【详解】，，，，又，∴，∴，‎ ‎，A错；‎ 将的图象向左平移个单位长度所得函数解析式为，B错；‎ 时，，应为增函数，C错；‎ 由得，，时，是对称轴，D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查由函数图象求三角函数解析式，考查三角函数的性质．掌握“五点法”是解题关键．‎ ‎9.函数的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过函数在处函数有意义，在处函数无意义，可排除A、D；通过判断当时，函数的单调性可排除C，即可得结果.‎ ‎【详解】当时，，函数有意义，可排除A；‎ 当时，，函数无意义，可排除D；‎ 又∵当时，函数单调递增，‎ 结合对数函数的单调性可得函数单调递增，可排除C；‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.‎ ‎10.在 △ABC中，已知角，，则角C=（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由正弦定理： 可得： ，‎ 则角C=或.‎ 本题选择D选项.‎ ‎11.设，且是第四象限角，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两角差的正弦公式求出的值，利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用半角公式可求出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 是第四象限角，，‎ 由半角公式得，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查半角公式的应用，同时也考查两角差的正弦公式以及同角三角函数基本关系在求值中的应用，利用半角公式进行计算是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎12.若关于的方程在区间上仅有一个实根，则实数的取值范围为（　　）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 原方程可化为,令,故函数在上递减,在上递增,画出函数的图像如下图所示,.由图可知,的取值范围为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数零点问题,求出参数的取值范围. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 解：4x-y-3=0与直线x+4y-8=0垂直的直线l与为：4x-y+m=0，‎ 即在某一点的导数为4，‎ 而y′=4x3，∴在（1，1）处导数为4，‎ 故方程为4x-y-3=0．‎ ‎14.已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=_______.‎ ‎【答案】－8‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】答案：－8. 解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为第四象限角．‎ ‎15.设函数则满足的的取值范围是_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的定义分类解不等式．‎ ‎【详解】时，，，，∴，‎ 时，，，，所以，‎ 综上，原不等式的解集为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数，解题关键是根据自变量的不同取值，选用不同的表达式计算．象本题解不等式时要分类讨论．‎ ‎16.已知，且，则_______________，角_______________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求得，从而得，再由正切的二倍角公式可得，由已知求出，利用两角差的余弦公式求得，从而可角．‎ ‎【详解】∵，，∴，∴，‎ 所以．‎ 又，所以，∴，‎ ‎∴，‎ 所以．‎ 故答案为：；．‎ ‎【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和与差的余弦公式、正切的二倍角公式．三角函数中求角，一般先确定这个角的范围，然后在这个范围内选取函数值唯一的函数，求出此函数值，有时可能需要根据过程中的函数值进一步缩小角的范围，以便唯一地确定所求角．‎ 三、解答题(共70分)‎ ‎17.已知.‎ ‎（1）化简；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据诱导公式化简可得答案；‎ ‎（2）将两边平方可得，再将通分可得答案.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎（2）‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了利用诱导公式化简，考查了平方关系式，属于基础题.‎ ‎18.已知函数，.‎ ‎（1）判断函数的奇偶性，并予以证明.‎ ‎（2）求使不等式成立的的取值集合.‎ ‎【答案】（1）函数为奇函数，证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得函数的定义域，说明其关于原点对称，再根据奇偶性的定义判断出函数为奇函数.‎ ‎（2）将原不等式转化为，根据对数函数的单调性列不等式，解不等式求的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）函数为奇函数，以下予以证明：‎ 设，‎ 则函数的定义域为，关于原点对称.‎ ‎∴函数为奇函数.‎ 即函数为上的奇函数.‎ ‎（2）‎ 即.又.‎ ‎∴不等式成立的的取值集合为.‎ ‎【点睛】本题主要考查探究函数奇偶性的方法，考查利用对数函数的单调性解不等式，属于基础题.‎ ‎19.已知中，内角所对的边长分别是，.‎ ‎(Ⅰ)求；‎ ‎(Ⅱ)若且，求面积.‎ ‎【答案】(Ⅰ)； (Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)结合余弦定理和题中条件，可得，再利用三角形中角的范围确定．(Ⅱ)将，与联立解方程可得，进而代入面积公式．‎ ‎【详解】(Ⅰ)中，‎ 由可知，，‎ 根据余弦定理，‎ 又，故.‎ ‎(Ⅱ)由及，得，…(1)‎ 又由已知条件…(2)‎ 联立(1)(2)，可解得,(或计算出)，‎ 故面积为 ‎【点睛】用余弦定理解三角形时，要灵活运用，可以把平方项放在等号的一端，乘积项放在另一端，再结合余弦定理去求解．‎ ‎20.‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）写出函数的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）设，的最小值是，最大值是，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）‎ 为所求 ‎（2）‎ 考点：三角函数的性质 点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题．‎ ‎21.已知函数在处取得极值．‎ 确定a的值；‎ 若，讨论的单调性．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）在和内为减函数，在和内为增函数．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）对求导得，‎ 因为在处取得极值，所以，‎ 即，解得；‎ ‎（2）由（1）得，，‎ 故 ‎，‎ 令，解得或，‎ 当时，，故为减函数，‎ 当时，，故为增函数，‎ 当时， ，故为减函数，‎ 当时，，故为增函数，‎ 综上所知：和是函数单调减区间，‎ 和是函数的单调增区间.‎ ‎22.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，两个坐标系取相等的长度单位.‎ 已知圆的参数方程为（为参数），直线的直角坐标方程为.‎ ‎（1）求圆的普通方程和直线的极坐标方程；‎ ‎（2）设圆和直线交于两点，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由圆的参数方程加消去参数，即可得到圆的普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得直线的极坐标方程；‎ ‎（2）由（1）得圆的圆心坐标和半径，求得圆心到直线的距离及圆的弦长，利用三角形的面积公式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）由圆的参数方程（为参数）可化为（为参数），‎ 平方相加消去参数，可得圆的普通方程为，‎ 由，代入直线，‎ 可得直线的极坐标方程为.‎ ‎（2）由（1）知圆的圆心为，半径为1，‎ 则圆心到直线的距离为，‎ 由圆的弦长公式，可得，‎ 所以的面积为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了参数方程与普通方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及直线与圆的位置关系的应用，着重考查推理与运算能力.‎