2018届二轮复习高考大题专项突破5课件（全国通用） 100页

高考大题专项突破五 　 直线 与圆锥曲线压轴大题 考情分析 必备知识 从近五年的高考试题来看 , 圆锥曲线问题在高考中属于必考内容 , 并且常常在同一份试卷上多题型考查 . 对圆锥曲线的考查在解答题部分主要体现以下考法 : 第一问一般是先求圆锥曲线的方程或离心率等较基础的知识 ; 第二问往往涉及定点、定值、最值、取值范围等探究性问题 , 解决此类问题的关键是通过联立方程来解决 . 考情分析 必备知识 1 . 直线与圆锥曲线的位置关系 (1) 从几何角度看 , 可分为三类 : 无公共点 , 仅有一个公共点及有两个相异的公共点 . (2) 从代数角度看 , 可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断 . 设直线 l 的方程为 Ax+By+C= 0, 圆锥曲线方程为 f ( x , y ) = 0 . ① 若 a= 0, 当圆锥曲线是双曲线时 , 直线 l 与双曲线的渐近线平行 ; 当圆锥曲线是抛物线时 , 直线 l 与抛物线的对称轴平行 ( 或重合 ) . ② 若 a ≠0, 设 Δ=b 2 - 4 ac. 当 Δ> 0 时 , 直线和圆锥曲线相交于不同两点 ; 当 Δ= 0 时 , 直线和圆锥曲线相切于一点 ; 当 Δ< 0 时 , 直线和圆锥曲线没有公共点 . 考情分析 必备知识 考情分析 必备知识 4 . 求解圆锥曲线标准方程的方法是 “ 先定型 , 后计算 ” (1) 定型 , 就是指定类型 , 也就是确定圆锥曲线的焦点位置 , 从而设出标准方程 . (2) 计算 , 就是利用待定系数法求出方程中的 a 2 , b 2 或 p. 另外 , 当焦点位置无法确定时 , 椭圆常设为 mx 2 +ny 2 = 1( m> 0, n> 0), 双曲线常设为 mx 2 -ny 2 = 1( mn> 0), 抛物线常设为 y 2 = 2 ax 或 x 2 = 2 ay ( a ≠0) . (3) 椭圆与双曲线的方程形式上可统一为 Ax 2 +By 2 = 1, 其中 A , B 是不相等的常数 , 当 A>B> 0 时 , 表示焦点在 y 轴上的椭圆 ; 当 B>A> 0 时 , 表示焦点在 x 轴上的椭圆 ; 当 AB< 0 时 , 表示双曲线 . 考情分析 必备知识 5 . 通径 : 过椭圆、双曲线、抛物线的焦点垂直于焦点所在坐标轴的弦称为通径 , 椭圆与双曲线的通径长为 , 过椭圆焦点的弦中通径最短 ; 抛物线通径长是 2 p , 过抛物线焦点的弦中通径最短 . 椭圆上点到焦点的最长距离为 a+c , 最短距离为 a-c. 6 . 定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量 , 那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等 , 这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点 , 就是要求的定点 . 解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等 , 根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量 . 考情分析 必备知识 - 8 - 题型一 题型二 题型三 题型一 　 求轨迹方程 突破策略一 　 直接法 例 1 (2017 湖南长沙一模 , 文 20) 已知过点 A (0,2) 的动圆恒与 x 轴相切 , 设切点为 B , AC 是该圆的直径 . (1) 求点 C 轨迹 E 的方程 ; (2) 当 AC 不在坐标轴上时 , 设直线 AC 与曲线 E 交于另一点 P , 该曲线在点 P 处的切线与直线 BC 交于 Q 点 , 求证 : △ PQC 恒为直角三角形 . 思路导引 (1) 利用 AC 是直径 , 所以 BA ⊥ BC , 或 C , B 均在坐标原点 , 由此求点 C 轨迹 E 的方程 . 突破 1 　 直线与圆及圆锥曲线 - 9 - 题型一 题型二 题型三 - 10 - 题型一 题型二 题型三 - 11 - 题型一 题型二 题型三 解题心得 若动点运动的条件就是一些几何量的等量关系 , 则设出动点坐标 , 直接利用等量关系建立 x , y 之间的关系 F ( x , y ) = 0, 就得到轨迹方程 . - 12 - 题型一 题型二 题型三 对点训练 1 已知点 P (2,2), 圆 C : x 2 +y 2 - 8 y= 0, 过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A , B 两点 , 线段 AB 的中点为 M , O 为坐标原点 . (1) 求点 M 的轨迹方程 ; (2) 当 |OP|=|OM| 时 , 求 l 的方程及 △ POM 的面积 . - 13 - 题型一 题型二 题型三 - 14 - 题型一 题型二 题型三 突破策略二 　 相关点 法 (1) 求曲线 C 的方程 ; (2) 若动直线 l 2 : y=kx+m 与曲线 C 有且仅有一个公共点 , 过 F 1 ( - 1,0), F 2 (1,0) 两点分别作 F 1 P ⊥ l 2 , F 2 Q ⊥ l 2 , 垂足分别为 P , Q , 且记 d 1 为点 F 1 到直线 l 2 的距离 , d 2 为点 F 2 到直线 l 2 的距离 , d 3 为点 P 到点 Q 的距离 , 试探索 ( d 1 +d 2 )· d 3 是否存在最值 ? 若存在 , 请求出最值 . - 15 - 题型一 题型二 题型三 思路导引 (1) 设圆 C 1 : x 2 +y 2 =R 2 , 根据圆 C 1 与直线 l 1 相切 , 求出圆的方程为 x 2 +y 2 = 12, 由此利用相关点法能求出曲线 C 的方程 . (2) 将直线 l 2 : y=kx+m 代入曲线 C 的方程 3 x 2 + 4 y 2 = 12 中 , 得 (4 k 2 + 3) x 2 + 8 kmx+ 4 m 2 - 12 = 0, 由此利用根的判别式、根与系数的关系、直线方程、椭圆性质、弦长公式 , 结合已知条件能求出 ( d 1 +d 2 )· d 3 存在最大值 , 并能求出最大值 . - 16 - 题型一 题型二 题型三 - 17 - 题型一 题型二 题型三 - 18 - 题型一 题型二 题型三 - 19 - 题型一 题型二 题型三 解题心得 若动点 P 的运动是由另外某一点 Q 的运动引发的 , 而该点坐标满足某已知曲线方程 , 则可以设出 P ( x , y ), 用 ( x , y ) 表示出相关点 Q 的坐标 , 然后把点 Q 的坐标代入已知曲线方程 , 即可得到动点 P 的轨迹方程 . - 20 - 题型一 题型二 题型三 (1) 求曲线 C 的方程 ; (2) 直线 l 与直线 l 1 垂直且与曲线 C 交于 P , Q 两点 , 求 △ OPQ 面积的最大值 . - 21 - 题型一 题型二 题型三 - 22 - 题型一 题型二 题型三 - 23 - 题型一 题型二 题型三 - 24 - 题型一 题型二 题型三 突破策略三 　 定义法 例 3 已知圆 M :( x+ 1) 2 +y 2 = 1, 圆 N :( x- 1) 2 +y 2 = 9, 动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切 , 圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1) 求 C 的方程 ; (2) l 是与圆 P , 圆 M 都相切的一条直线 , l 与曲线 C 交于 A , B 两点 , 当圆 P 的半径最长时 , 求 |AB|. 思路导引 (1) 将圆的位置关系转化为圆心连线的关系 , 从而利用椭圆的定义求出轨迹方程 . (2) 在三个圆心构成的三角形中 , 由两边之差小于第三边得动圆的最大半径为 2, 此时动圆圆心在 x 轴上 , 由直线 l 与圆 P , 圆 M 都相切构成相似三角形 , 由相似比得直线 l 在 x 轴上的截距 , 利用直线 l 与圆 M 相切得 l 的斜率 , 联立直线与曲线 C 的方程 , 由弦长公式求出 |AB|. - 25 - 题型一 题型二 题型三 解 由已知得圆 M 的圆心为 M ( - 1,0), 半径 r 1 = 1 . 圆 N 的圆心为 N (1,0), 半径 r 2 = 3 . 设圆 P 的圆心为 P ( x , y ), 半径为 R. (1) 因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切 , 所以 |PM|+|PN|= ( R+r 1 ) + ( r 2 -R ) =r 1 +r 2 = 4 . - 26 - 题型一 题型二 题型三 - 27 - 题型一 题型二 题型三 解题心得 1 . 若动点的轨迹符合某已知曲线的定义 , 可直接设出相应的曲线方程 , 用待定系数法或题中所给几何条件确定相应系数 , 从而求出轨迹方程 . 2 . 涉及直线与圆的位置关系时 , 应多考虑圆的几何性质 , 利用几何法进行运算求解往往会减少运算量 . - 28 - 题型一 题型二 题型三 (1) 求轨迹 E 的方程 ; (2) 设点 A , B , C 在 E 上运动 , A 与 B 关于原点对称 , 且 |AC|=|BC| , 当 △ ABC 的面积最小时 , 求直线 AB 的方程 . - 29 - 题型一 题型二 题型三 - 30 - 题型一 题型二 题型三 - 31 - 题型一 题型二 题型三 题型二 　 直线和圆的综合 突破策略 　 几何法 例 4 已知抛物线 C : y 2 = 2 x , 过点 (2,0) 的直线 l 交 C 于 A , B 两点 , 圆 M 是以线段 AB 为直径的圆 . (1) 证明 : 坐标原点 O 在圆 M 上 ; (2) 设圆 M 过点 P (4, - 2), 求直线 l 与圆 M 的方程 . 思路导引 (1) 因为圆 M 是以 AB 为直径的圆 , 所以要证原点 O 在圆 M 上只需证 OA ⊥ OB ⇔ k OA · k OB =- 1; (2) 联立直线与抛物线的方程 ⇒ 线段 AB 中点坐标 ⇒ 圆心 M 的坐标 ( 含参数 ) ⇒ r=|OM| ; 圆 M 过点 P (4, - 2) ⇒ = 0 ⇒ 参数的值 ⇒ 直线 l 与圆 M 的方程 . - 32 - 题型一 题型二 题型三 - 33 - 题型一 题型二 题型三 - 34 - 题型一 题型二 题型三 解题心得 处理直线与圆的综合问题 , 要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用 , 如经常用到弦心距、半径、弦长的一半构成的直角三角形 , 利用圆的一些特殊几何性质解题 , 往往使问题简化 . - 35 - 题型一 题型二 题型三 对点训练 4 已知圆 O : x 2 +y 2 = 4, 点 , 以线段 AB 为直径的圆内切于圆 O , 记点 B 的轨迹为 Γ. (1) 求曲线 Γ 的方程 ; (2) 直线 AB 交圆 O 于 C , D 两点 , 当 B 为 CD 的中点时 , 求直线 AB 的方程 . - 36 - 题型一 题型二 题型三 - 37 - 题型一 题型二 题型三 - 38 - 题型一 题型二 题型三 题型三 　 直线与圆锥曲线的综合 突破策略 　 判别式法 例 5 在平面直角坐标系 xOy 中 , 已知椭圆 C 1 : ( a>b> 0) 的左焦点为 F 1 ( - 1,0), 且点 P (0,1) 在 C 1 上 . (1) 求椭圆 C 1 的方程 ; (2) 设直线 l 同时与椭圆 C 1 和抛物线 C 2 : y 2 = 4 x 相切 , 求直线 l 的方程 . 思路导引 (1) 由焦点坐标知 c= 1, 由点 P 在椭圆上知 b , 从而求得椭圆方程 . (2) 求直线方程即求直线方程中的斜率 k , 截距 m , 由 l 同时与椭圆 C 1 和抛物线 C 2 相切 , 联立两个方程组 , 由判别式等于 0 得出关于 k , m 的两个方程 , 解之得直线方程 . - 39 - 题型一 题型二 题型三 - 40 - 题型一 题型二 题型三 - 41 - 题型一 题型二 题型三 解题心得 1 . 判断直线与圆锥曲线的交点个数时 , 可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定 , 需注意利用判别式的前提是二次项系数不为 0 . 2 . 依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时 , 联立方程组并消元转化为一元方程 , 若二次项系数为 0, 则方程为一次方程 ; 若二次项系数不为 0, 则将方程解的个数转化为判别式与 0 的大小关系求解 . - 42 - 题型一 题型二 题型三 (1) 求椭圆 C 的方程 ; (2) 如图 , 若斜率为 k ( k ≠0) 的直线 l 与 x 轴、椭圆 C 相交于 A , M , N ( A 点在椭圆右顶点的右侧 ), 且 ∠ NF 2 F 1 = ∠ MF 2 A. 求证 : 直线 l 恒过定点 , 并求出斜率 k 的取值范围 . - 43 - 题型一 题型二 题型三 - 44 - 题型一 题型二 题型三 - 45 - 题型一 题型二 题型三 突破 2 　 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 题型一 　 圆锥曲线中的最值问题 突破策略 　 函数最值法 (1) 求直线 AP 斜率的取值范围 ; (2) 求 |PA| · |PQ| 的最大值 . - 46 - 题型一 题型二 题型三 (2) 以 AP 斜率 k 为自变量 , 表示出 |PA| , 联立直线 AP 与 BQ 的方程用 k 表示出点 Q 的横坐标 , 从而用 k 表示出 |PQ| , 得到 |PA| · |PQ| 是关于 k 的函数 , 用函数求最值的方法求出最大值 . - 47 - 题型一 题型二 题型三 - 48 - 题型一 题型二 题型三 - 49 - 题型一 题型二 题型三 解题心得 圆锥曲线中的有关平面几何图形面积的最值问题 , 通过某一变量表示出图形的面积的函数表达式 , 转化为函数的最值问题 , 然后求导确定函数单调性求最值 , 或利用均值不等式 , 或利用式子的几何意义求最值 . - 50 - 题型一 题型二 题型三 对点训练 1 (2017 山西临汾三模 , 文 20) 已知抛物线 y 2 = 8 x 与垂直 x 轴的直线 l 相交于 A , B 两点 , 圆 C : x 2 +y 2 = 1 分别与 x 轴正、负半轴相交于点 P , N , 且直线 AP 与 BN 交于点 M. (1) 求证 : 点 M 恒在抛物线上 ; (2) 求 △ AMN 面积的最小值 . - 51 - 题型一 题型二 题型三 - 52 - 题型一 题型二 题型三 题型二 　 圆锥曲线中的范围问题 ( 多维探究 ) 突破策略一 　 条件转化法 (1) 求椭圆 E 的方程 ; (2) 设过点 P 的动直线 l 与 E 相交于 M , N 两点 , 当坐标原点 O 位于以 MN 为直径的圆外时 , 求直线 l 斜率的取值范围 . - 53 - 题型一 题型二 题型三 - 54 - 题型一 题型二 题型三 - 55 - 题型一 题型二 题型三 - 56 - 题型一 题型二 题型三 解题心得 求某一量的取值范围 , 要看清与这个量有关的条件有几个 , 有几个条件就可转化为几个关于这个量的不等式 , 解不等式取交集得结论 . - 57 - 题型一 题型二 题型三 对点训练 2 如图 , 动点 M 与两定点 A ( - 1,0), B (2,0) 构成 △ MAB , 且 ∠ MBA = 2 ∠ MAB. 设动点 M 的轨迹为 C. (1) 求轨迹 C 的方程 ; (2) 设直线 y=- 2 x+m 与 y 轴相交于点 P , 与轨迹 C 相交于点 Q , R , 且 |PQ|<|PR| , 求 的 取值范围 . - 58 - 题型一 题型二 题型三 - 59 - 题型一 题型二 题型三 - 60 - 题型一 题型二 题型三 - 61 - 题型一 题型二 题型三 突破策略二 　 构造函数 法 - 62 - 题型一 题型二 题型三 - 63 - 题型一 题型二 题型三 解题心得 在求直线与圆锥曲线的综合问题中 , 求与直线或与圆锥曲线有关的某个量 d 的取值范围问题 , 依据已知条件建立关于 d 的函数表达式 , 转化为求函数值的取值范围问题 , 然后利用函数的方法或解不等式的方法求出 d 的取值范围 . - 64 - 题型一 题型二 题型三 对点训练 3 如图 , 设抛物线 y 2 = 2 px ( p> 0) 的焦点为 F , 抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于 |AF|- 1 . (1) 求 p 的值 ; (2) 若直线 AF 交抛物线于另一点 B , 过点 B 与 x 轴平行的直线和过点 F 与 AB 垂直的直线交于点 N , AN 与 x 轴交于点 M. 求点 M 的横坐标的取值范围 . - 65 - 题型一 题型二 题型三 - 66 - 题型一 题型二 题型三 所以 m< 0 或 m> 2 . 经检验 , m< 0 或 m> 2 满足题意 . 综上 , 点 M 的横坐标的取值范围是 ( -∞ ,0) ∪ (2, +∞ ) . - 67 - 题型一 题型二 题型三 题型三 　 圆锥曲线中的证明问题 突破策略 　 转化法 思路导引 (1) A 是椭圆的左顶点及 MA ⊥ NA ⇒ AM 的倾斜角 为 ⇒ AM 的方程再代入椭圆方程 ⇒ y M ⇒ △ AMN 的面积 . (2) MA ⊥ NA ⇒ k MA · k NA =- 1 ⇒ 用 k 表示出两条直线方程 , 分别与椭圆联立 , 用 k 表示出 |AM| 与 |AN| ,2 |AM|=|AN| ⇒ f ( k ) = 0 ⇒ k 是函数 f ( t ) 的零点 , 对 f ( t ) 求导确定 f ( t ) 在 (0, +∞ ) 内单调递增 , 再由零点存在性定理求出 k 的取值范围 . - 68 - 题型一 题型二 题型三 - 69 - 题型一 题型二 题型三 - 70 - 题型一 题型二 题型三 解题心得 圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广 , 但无论证明什么 , 其常用方法有直接法和转化法 , 对于转化法 , 先是对已知条件进行化简 , 根据化简后的情况 , 将证明的问题转化为另一问题 . - 71 - 题型一 题型二 题型三 对点训练 4 (2017 贵州贵阳二模 , 文 20) 已知椭圆 C ( a> 0) 的焦点在 x 轴上 , 且椭圆 C 的焦距为 2 . (1) 求椭圆 C 的标准方程 ; (2) 过点 R (4,0) 的直线 l 与椭圆 C 交于两点 P , Q , 过点 P 作 PN ⊥ x 轴且与椭圆 C 交于另一点 N , F 为椭圆 C 的右焦点 , 求证 : 三点 N , F , Q 在同一条直线上 . - 72 - 题型一 题型二 题型三 - 73 - 题型一 题型二 题型三 - 74 - 题型一 题型二 题型三 突破 3 　 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题 题型一 　 圆锥曲线中的定点问题 ( 多维探究 ) 突破策略一 　 直接法 (1) 求动点 P 的轨迹 C 的方程 ; (2) 过点 F (1,0) 作互相垂直的两条直线交轨迹 C 于点 G , H , M , N , 且 E 1 , E 2 分别是 GH , MN 的中点 . 求证 : 直线 E 1 E 2 恒过定点 . - 75 - 题型一 题型二 题型三 - 76 - 题型一 题型二 题型三 - 77 - 题型一 题型二 题型三 - 78 - 题型一 题型二 题型三 (1) 求椭圆 E 的方程 ; (2) 设椭圆 E 的右顶点为 A , 不过点 A 的直线 l 与椭圆 E 相交于 P , Q 两点 , 若以 PQ 为直径的圆经过点 A , 求证 : 直线 l 过定点 , 并求出该定点坐标 . - 79 - 题型一 题型二 题型三 - 80 - 题型一 题型二 题型三 - 81 - 题型一 题型二 题型三 - 82 - 题型一 题型二 题型三 - 83 - 题型一 题型二 题型三 解题心得 证明直线或曲线过某一定点 ( 定点坐标已知 ), 可把要证明的结论当条件 , 逆推上去 , 若得到使已知条件成立的结论 , 则证明了直线或曲线过定点 . - 84 - 题型一 题型二 题型三 - 85 - 题型一 题型二 题型三 - 86 - 题型一 题型二 题型三 - 87 - 题型一 题型二 题型三 题型二 　 圆锥曲线中的定值问题 突破策略 　 直接法 例 3 (2017 全国 Ⅲ , 文 20) 在直角坐标系 xOy 中 , 曲线 y=x 2 +mx- 2 与 x 轴交于 A , B 两点 , 点 C 的坐标为 (0,1) . 当 m 变化时 , 解答下列问题 : (1) 能否出现 AC ⊥ BC 的情况 ? 说明理由 ; (2) 证明过 A , B , C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 . 思路导引 (1) 先假设能出现 AC ⊥ BC , 然后验证直线 AC , BC 的斜率之积是否为 - 1, 从而得结论 . (2) 设 A ( x 1 ,0), B ( x 2 ,0), 点 C 的坐标已知 , 由 A , B , C 三点 ⇒ AB , BC 的中垂线方程 ⇒ 圆心坐标及圆半径 ⇒ 圆在 y 轴上的弦长 . - 88 - 题型一 题型二 题型三 - 89 - 题型一 题型二 题型三 解题心得 证明某一量为定值 , 一般方法是用一个参数表示出这个量 , 通过化简消去参数 , 得出定值 , 从而得证 . - 90 - 题型一 题型二 题型三 - 91 - 题型一 题型二 题型三 (1) 解 由已知 A , B 在椭圆上 , 可得 |AF 1 |+|AF 2 |=|BF 1 |+|BF 2 |= 2 a , 又 △ ABF 1 的周长为 8, 所以 |AF 1 |+|AF 2 |+|BF 1 |+|BF 2 |= 4 a= 8, 即 a= 2 . 由椭圆的对称性可得 , △ AF 1 F 2 为正三角形当且仅当 A 为椭圆短轴顶点 , 则 a= 2 c , 即 c= 1, b 2 =a 2 -c 2 = 3, - 92 - 题型一 题型二 题型三 - 93 - 题型一 题型二 题型三 题型三 　 圆锥曲线中的存在性问题 突破策略 　 肯定顺推法 (1) 求椭圆的方程 ; (2) 椭圆左、右焦点分别为 F 1 , F 2 , 过 F 2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A , B , 则 △ F 1 AB 的内切圆的面积是否存在最大值 ? 若存在 , 求出这个最大值及此时的直线方程 ; 若不存在 , 请说明理由 . - 94 - 题型一 题型二 题型三 思路导引 (1) 设椭圆方程 , 由题意列关于 a , b , c 的方程组求解 a , b , c 的值 , 则椭圆方程可求 . (2) 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 不妨令 y 1 > 0, y 2 < 0, 设 △ F 1 AB 的内切圆的半径为 R , 则 △ F 1 AB 的周长 = 4 a= 8, 因此 最大 , R 就最大 . 设直线 l 的方程为 x=my+ 1, 与椭圆方程联立 , 从而可表示 △ F 1 AB 的面积 , 利用换元法 , 借助于导数 , 即可求得结论 . - 95 - 题型一 题型二 题型三 - 96 - 题型一 题型二 题型三 - 97 - 题型一 题型二 题型三 解题心得 存在性问题通常用 “ 肯定顺推法 ”, 将不确定性问题明朗化 , 其步骤为假设满足条件的元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在 , 用待定系数法设出 , 列出关于待定系数的方程 ( 组 ), 若方程 ( 组 ) 有实数解 , 则元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在 ; 否则 , 元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 不存在 . - 98 - 题型一 题型二 题型三 - 99 - 题型一 题型二 题型三 - 100 - 题型一 题型二 题型三