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- 2021-05-08 发布
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2019-2020学年度创新学校高一上期期中考试数学试卷
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题（本题满分60分，每小题5分，每小题有且只有一个正确选项）
1.设全集，，,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先确定集合U,再利用交集与补集运算即可
【详解】，则=
故选:C
【点睛】本题考查集合的运算，准确确定集合U是关键，是基础题
2.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
逐一判断选项中函数的奇偶性与单调性即可得结果.
【详解】中函数是奇函数，不是偶函数，
中是偶函数，且在上递增，
中，在上是减函数，故选B.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，意在考查对基本概念的掌握情况以及综合应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.
3.已知函数的定义域是，则的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
函数中的范围与中的范围一致，从而求解出函数的定义域。
【详解】解：因为定义域为，即，
所以，
故函数有，
解得，
即的定义域是，
故选D。
【点睛】本题考查了复合函数定义域的问题，不论函数如何复合，函数中输入值的范围不会产生变化，根据这一特性进行解题。
4.函数的零点所在的区间都是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由题设可知，所以函数的零点所在的区间是，故应选A。
考点：函数零点的判断方法及运用。
5.幂函数的图像经过点（2，4），则等于（ ）
A. 2 B. 8 C. 16 D. 64
【答案】C
【解析】
试题分析：设幂函数为，代入点得
考点：幂函数
6.函数y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（ ）
A. （0，1） B. （1，1） C. （2，0） D. （2，2）
【答案】D
【解析】
试题分析：根据a0=1（a≠0）时恒成立，我们令函数y=ax﹣2+1解析式中的指数部分为0，即可得到函数y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点的坐标．
解：∵当X=2时
y=ax﹣2+1=2恒成立
故函数y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（2，2）
故选D
考点：指数函数的单调性与特殊点．
7.下列各函数中，表示同一函数的是（ ）
A. 与（且） B. 与
C. 与 D. 与
【答案】A
【解析】
分析】
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．
【详解】对于A，函数y＝x（x∈R），与y＝logaax＝x（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．
对于B，函数yx+1（x≠1），与y＝x+1（x∈R）的定义域不同，不是同一函数；
对于C，函数，与（x∈R）的定义域相同，对应关系不同，不是同一函数；
对于D，（x>0）与（x≠0）定义域不同，不是同一函数；
故选：A．
【点睛】本题考查了同一函数的判定，正确理解函数的定义是关键．
8.已知二次函数y=x2﹣2ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. a≤2或a≥3 B. 2≤a≤3 C. a≤﹣3或a≥﹣2 D. ﹣3≤a≤﹣2
【答案】A
【解析】
试题分析：根据二次函数的对称轴为x=a，再分函数在区间（2，3）内是单调增函数、函数在区间（2，3）内是单调减函数两种情况，分别求得实数a的取值范围，从而得出结论．
解：由于二次函数y=x2﹣2ax+1的对称轴为x=a，
若y=x2﹣2ax+1在区间（2，3）内是单调增函数，则有a≤2．
若y=x2﹣2ax+1在区间（2，3）内是单调减函数，则有a≥3．
故选：A．
考点：二次函数的性质．
9.已知奇函数满足，当时，函数，则=( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数是奇函数得到f（﹣x）＝﹣f（x）和f（x+2）＝f（x）把则进行变形得到﹣f（），由∈（0，1）满足f（x）＝2x，求出即可．
【详解】函数f（x）满足f（x+2）＝f（x）和f（﹣x）＝﹣f（x）
则f（﹣log224）＝﹣f（log224）＝﹣f（log224﹣4）＝﹣f（），
因为∈（0，1）
∴﹣f（），
故选：A．
点睛】本题考查学生应用函数奇偶性的能力，函数的周期性的掌握能力，以及运用对数的运算性质能力．
10.若偶函数在上单调递减，，，，则、、满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由偶函数的性质得出函数在上单调递增，并比较出三个正数、、的大小关系，利用函数在区间上的单调性可得出、、的大小关系.
【详解】偶函数在上单调递减，函数在上单调递增，
，，，
，，故选：B.
【点睛】本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小关系，解题时要利用自变量的大小关系并结合函数的单调性来比较函数值的大小，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
11.函数（）的图象大致形状是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x＞0时，f（x）＝logax（0＜a＜1）是单调减函数，即可得出结论．
【详解】由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B、D；
x＞0时，f（x）＝logax（0＜a＜1）是单调减函数，排除A．
故选：C．
【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．
12.若函数在上为增函数，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数对称轴和单调性、一次函数单调性列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】由于函数在上递增，所以，解得.故选B.
【点睛】本小题主要考查分段函数的单调性，考查二次函数、一次函数的单调性，属于基础题.
二、填空题（20分，每小题5分）
13.函数的定义域是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用真数大于0列不等式求解
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查对数函数的定义域，考查解指数不等式，是基础题
14.函数 ，则____.
【答案】4
【解析】
【分析】
利用分段函数的性质求解．
【详解】∵函数f（x），
∴f（﹣2）＝﹣2（﹣2+1）＝2，
f[f（﹣2）]＝f（2）＝22＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
15.已知，则 （请用a,b表示结果）
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用换底公式以及对数的运算性质,求解即可.
【详解】因为，
所以.
故答案为:.
【点睛】本题考查对数的运算性质,考查计算能力，属于基础题.
16.给出下列结论：
①已知函数是定义在上的奇函数，若，则；
②函数单调递减区间是；
③已知函数是奇函数，当时，，则当时，；
④若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则对任意实数都有.
则正确结论的序号是_______________________（请将所有正确结论的序号填在横线上）．
【答案】①③
【解析】
①正确，根据函数是奇函数，可得 ，而，所以 ；②错，根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为；③ 正确，奇函数关于原点对称，所以可根据的解析式，求得 的解析式；④，根据对数函数的定义域，不能是任意实数，而需，由，所以正确的序号是①③.
【点睛】本题以多项选择题的形式考查函数的某些性质，综合性比较高，选项②错的比较多，涉及复合函数单调区间的问题，谨记“同增异减”，同时函数的定义域，定义域是比较容易忽视的问题，做题时要重视.
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.计算下列各式的值：
；
．
【答案】（1）4；（2）5
【解析】
【分析】
（1）根据指数的运算，计算，即可。（2）根据对数的运算性质，计算，即可。
【详解】原式；
原式．
【点睛】考查了指数运算，考查了对数运算，关键记忆住公式，即可，难度中等。
18.已知全集，集合，.
（Ⅰ）若，求,；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）首先确定当时的集合，再根据集合的并集、交集、补集求出即可；（Ⅱ）由，即集合包含于，可在数轴上表示出集合，确定出即可得出.
试题解析：
（Ⅰ），
3分
5分
8分
（Ⅱ）12分
14分
考点：1、集合的运算；2、集合的关系.
19.小明同学在解决二次函数问题时遇到了巨大的挑战，汗如雨下，他所遇到问题的条件是：二次函数满足，且.
（1）你能帮他把函数解析式求出来吗？
（2）他在区间上画出的图象，发现在区间上的图象恒在一条直线的图象上方，但是他确定不了的取值范围，你能帮帮他吗？
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求解析式即可
（2）问题转化在上恒成立，分离参数，求解二次函数最值即可求解
【详解】（1）由题，由，得，，所以.
（2）依题意，在上恒成立，即，，设，在为单调减函数，所以，所以.
【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，考查恒成立问题，其中分离参数是常见方法，是基础题
20.某产品生产厂家根据以往销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为g（x）（万元），其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）（万元）满足假设该产品产销平衡，试根据上述资料分析：
（Ⅰ）要使工厂有盈利，产量x应控制在什么范围内；
（Ⅱ）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
（Ⅲ）当盈利最多时，求每台产品的售价．
【答案】（1）要使工厂有盈利，产量x应控制在100台到820台内．（2）当工厂生产400台产品时，可使盈利最多为3.6万元．（3）盈利最多时，每台产品售价为240元．
【解析】
试题分析：（1）由题意，设利润函数为 解 即可；（2）分别求各段上的最大值，比较大小从而求最高盈利；（3）当 时， (万元)， （万元∕百台），从而得结果.
试题解析：
解：（Ⅰ）由题意，得g（x）=x+2，
设利润函数为f（x），
则f（x）=R（x）﹣g（x）=，
由f（x）＞0，解得1＜x≤5或5＜x＜8.2，
即1＜x＜8.2，
故要使工厂有盈利，产量x应控制在100台到820台内．
（Ⅱ）当0≤x≤5时，f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，
即当x=4时有最大值3.6；
当x＞5时，f（x）＜8.2﹣5=3.2．
故当工厂生产400台产品时，可使盈利最多为3.6万元．
（Ⅲ）当x=4时，
R（4）=9.6（万元），=2.4（万元/百台），
故盈利最多时，每台产品的售价为240元．
【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)
21.已知，．
（1）当是偶函数，求实数的值；
（2）设，若函数存在零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）1；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由偶函数的性质可得，即，变形可得，从而可得结果；（2）若，则，有零点等价于方程有根，利用指数函数与对数函数的单调性求得函数的值域，从而可得结论．
【详解】（1）根据题意，，
若为偶函数，则，
即，
变形可得：，
即，则.
（2）若，则，
若函数存在零点，则方程有根，
，
又由，则，则，
若方程有根，必有，
即的取值范围为．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，函数的零点以及指数函数与对数函数的性质，属于中档题．已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
22.已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）利用定义判断函数的单调性；
（3）若对任意,不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；（2）增函数； (3)
【解析】
【详解】（1）
（2）由（1）知
（3）
为增函数
当且仅当时等号成立，