高考卷 普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（文科）全解全析 10页

2007 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学 （文科）全解全析 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页， 第Ⅱ卷 3 至 4 页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 参考公式： 如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式 ( ) ( ) ( )P A B P A P B   24πS R 如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 ( ) ( ) ( )P A B P A P B  球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 34 π3V R n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 ( ) (1 )k k n k n nP k C p p   一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．若集合 {13}A  ， ， {2 3 4}B  ，， ，则 A B  （ ） A．{1} B．{2} C．{3} D．{1 2 3 4}，，， 解析： A B  {1，3}∩{2，3，4}={3}，选 C 2．若函数 ( )y f x 的反函数．．．图象过点 (15)， ，则函数 ( )y f x 的图象必过点（ ） A． (51)， B． (15)， C． (11)， D． (5 5)， 解析：根据反函数定义知反函数图像过（1，5），则原函数图像过点（5，1），选 A 3．双曲线 2 2 116 9 x y  的焦点坐标为（ ） A． ( 7 0) ， ， ( 7 0)， B． (0 7)， ， (0 7)， C． ( 5 0) ， ， (5 0)， D． (0 5)， ， (0 5)， 解析：因为 a=4，b=3，所以 c=5，所以焦点坐标为 ( 5 0) ， ， (5 0)， ，选 C 4．若向量 a 与 b 不共线， 0a b ，且       a ac = a ba b ，则向量 a 与 c 的夹角为（ ） A．0 B． π 6 C． π 3 D． π 2 解析：因为 0)( 2 2        ba ba aaca ，所以向量 a 与 c 垂直，选 D 5．设等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，若 3 9S  ， 6 36S  ，则 7 8 9a a a   （ ） A．63 B．45 C．36 D．27 解析：由等差数列性质知 S3、S6-S3、S9-S6 成等差数列，即 9，27，S 成等差，所以 S=45， 选 B 6．若 m n， 是两条不同的直线，  ， ， 是三个不同的平面，则下列命题中的真命题．．．是 （ ） A．若 m    ， ，则 m  B．若 m  ， m ∥ ，则  C．若  ， ⊥ ，则   D．若 m   ， n   ，m n∥ ，则 ∥ 解析：由有关性质排除 A、C、D，选 B 7．若函数 ( )y f x 的图象按向量 a 平移后，得到函数 ( 1) 2y f x   的图象，则向量 a = （ ） A． (1 2)， B． (1 2)， C． (1 2)， D． ( 1 2) ， 解析：函数 ( 1) 2y f x   为 )1(2  xfy ，令 2,1 ''  yyxx 得平移公式，所 以向量 a = (1 2)， ，选 C 8．已知变量 x y， 满足约束条件 2 0 1 7 0 x y x x y       ≤ ， ≥ ， ≤ ， 则 y x 的取值范围是（ ） A． 9 65      ， B．  9 65       ， ， C．   3 6  ， ， D．[3 6]， 解析：画出可行域为一三角形，三顶点为（1，3）、（1，6）和（ 2 9,2 5 ）， y x 表示可行域 内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，当（x，y）=（1，6）时取最大值 6，当（x， y）=（ 2 9,2 5 ）时取最小值 5 9 ，选 A 9．函数 2 1 2 log ( 5 6)y x x   的单调增区间为（ ） A． 5 2      ， B． (3 ) ， C． 5 2     ， D． ( 2)， 解 析 ： 定 义 域 为 ( 2)， ∪ (3 ) ， ， 排 除 A 、 C ， 根 据 复 合 函 数 的 单 调 性 知 2 1 2 log ( 5 6)y x x   的单调增区间为 ( 2)， ，选 D 10．一个坛子里有编号为 1，2，…，12 的 12 个大小相同的球，其中 1 到 6 号球是红球，其 余的是黑球．若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 1 个球的号码是偶数的概率 为（ ） A． 1 22 B． 1 11 C． 3 22 D． 2 11 解析：从中任取两个球共有 662 12 C 种取法，其中取到的都是红球，且至少有 1 个球的号 码是偶数的取法有 122 3 2 6  CC 种取法，概率为 11 2 66 12  ，选 D 11．设 p q， 是两个命题： 2 5 1:| | 3 0 : 06 6p x q x x    ， ，则 p 是 q 的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：p： ),3()3,(   ，q： ),2 1()3 1,(   ，结合数轴知 p 是 q 的充分而不必要 条件，选 A 12．将数字 1，2，3，4，5，6 拼成一列，记第i 个数为 i (i 1 2 6)a  ，， ， ，若 1 1a  ， 3 3a  ， 5 5a  ， 1 3 5a a a  ，则不同的排列方法种数为（ ） A．18 B．30 C．36 D．48 解析：分两步：（1）先排 531 ,, aaa ， 1a =2，有 2 种； 1a =3 有 2 种； 1a =4 有 1 种，共有 5 种；（2）再排 642 ,, aaa ，共有 63 3 A 种，故不同的排列方法种数为 5×6=30，选 B 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分． 13．已知函数 ( )y f x 为奇函数，若 (3) (2) 1f f  ，则 ( 2) ( 3)f f    ． 解析：由函数 ( )y f x 为奇函数得 ( 2) ( 3)f f    (3) (2) 1f f  ，填 1 14． 4 1( ) xx x  展开式中含 x 的整数次幂的项的系数之和为 （用数字作答）． 解析： 2 4 8 8 481 )1()(    r rrrr r xC x xCT ，当 r=0，4，8 时为含 x 的整数次幂的项，所以 展开式中含 x 的整数次幂的项的系数之和为 728 8 4 8 0 8  CCC ，填 72 15．若一个底面边长为 6 2 ，棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球 的体积为 ． 解析：根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径，由 12)6()6()2( 222 R 得 R= 3 ，球体积为  343 4 3 R 16．设椭圆 2 2 125 16 x y  上一点 P 到左准线的距离为 10， F 是该椭圆的左焦点，若点 M 满 足 1 ( )2OM OP OF    ，则| |OM  ． 解析：椭圆 2 2 125 16 x y  左准线为 3 25x ，左焦点为（-3，0），P（ )3 28,3 5  ，由已知 M 为 PF 中点，M（ )3 24,3 2  ，所以| |OM  2)3 24()3 2( 22  三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分） 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管 1000 支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位： 小时）进行了统计，统计结果如下表所示： 分组 [500 ， 900) [900 ， 1100) [1100 ， 1300) [1300 ， 1500) [1500 ， 1700) [1700 ， 1900) [1900 ，  ) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 （I）将各组的频率填入表中； （II）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足 1500 小时的频率； （III）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管 3 支，若将上述频率作为概率，试求至少有 2 支灯管的使用寿命不足 1500 小时的概率． 本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识，考查使用统 计的有关知识解决实际问题的能力． （I）解： 分组 [500 ， 900) [900 ， 1100) [1100 ， 1300) [1300 ， 1500) [1500 ， 1700) [1700 ， 1900) [1900 ，  ) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042 ···········································································································4 分 （II）解：由（I）可得 0.048 0.121 0.208 0.223 0.6    ，所以灯管使用寿命不足 1500 小时的频率为 0.6．·························································································· 8 分 （III）解：由（II）知，1 支灯管使用寿命不足 1500 小时的概率 0.6P  ，根据在 n 次独立 重复试验中事件恰好发生 k 次的概率公式可得 2 2 3 3 3 3(2) (3) C 0.6 0.4 0.6 0.648P P     ． 所以至少有 2 支灯管的使用寿命不足 1500 小时的概率是 0.648．····························· 12 分 18．（本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 90ACB   ， AC BC a  ， D E， 分别为棱 AB BC， 的中点， M 为棱 1AA 上的点，二面角 M DE A  为30 ． （I）证明： 1 1 1A B C D ； （II）求 MA 的长，并求点 C 到平面 MDE 的距离． 1A 1C 1B C B A M D E 本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能 力． （I）证明：连结CD ， 三棱柱 1 1 1ABC A B C 是直三棱柱，  1CC  平面 ABC ，  CD 为 1C D 在平面 ABC 内的射影．  ABC△ 中， AC BC ， D 为 AB 中点，  AB CD ，  1AB C D ．  1 1A B AB∥ ，  1 1 1A B C D ． 1A 1C 1B C B A M D E F G （II）解法一：过点 A 作CE 的平行线， 交 ED 的延长线于 F ，连结 MF ．  D E， 分别为 AB BC， 的中点， DE AC ⊥ ． 又 AF CE∥ ，CE AC⊥ ．  AF DE⊥ ．  MA⊥平面 ABC ，  AF 为 MF 在平面 ABC 内的射影．  MF DE⊥ ． MFA 为二面角 M DE A  的平面角， 30MFA   ． 在 Rt MAF△ 中， 1 2 2 aAF BC  ， 30MFA   ， 3 6AM a  ． 作 AG MF⊥ ，垂足为G ， MF DE ⊥ ， AF DE⊥ ，  DE ⊥平面 DMF ， 平面 MDE ⊥平面 AMF ，  AG⊥平面 MDE ． 在 Rt GAF△ 中， 30GFA   ， 2 aAF  ，  4 aAG  ，即 A 到平面 MDE 的距离为 4 a ．  CA DE∥ ，  CA∥平面 MDE ，  C 到平面 MDE 的距离与 A 到平面 MDE 的距离相等，为 4 a ． 解法二：过点 A 作CE 的平行线，交 ED 的延长线于 F ，连接 MF ．  D E， 分别为 AB BC， 的中点，  DE AC∥ ． 又 AF CE∥ ，CE DE  AF DE⊥ ．  MA⊥平面 ABC ，  AF 是 MF 在平面 ABC 内的射影，  MF DE⊥ ．  MFA 为二面角 M DE A  的平面角， 30MFA   ． 在 Rt MAF△ 中， 1 2 2 aAF BC  ， 30MFA   ，  3 6AM a ．···························································································· 8 分 设C 到平面 MDE 的距离为 h ，  M CDE C MDEV V  ．  1 1 3 3CDE MDES MA S h  △ 21 2 8CDE aS CE DE △ ， 3 6MA a ， 21 1 3 2 2 cos30 12MDE AFS DE MF DE a   △ ，  2 21 3 1 3 3 8 6 3 12 a a a h     ，  4 ah  ，即C 到平面 MDE 的距离为 4 a ．························································ 12 分 19．（本小题满分 12 分） 已知函数 2π π( ) sin sin 2cos6 6 2 xf x x x x                R， （其中 0  ） （I）求函数 ( )f x 的值域； （II）若函数 ( )y f x 的图象与直线 1y   的两个相邻交点间的距离为 π 2 ，求函数 ( )y f x 的单调增区间． 本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函 数有关知识的能力．满分 12 分． （I）解： 3 1 3 1( ) sin cos sin cos (cos 1)2 2 2 2f x x x x x x          3 12 sin cos 12 2x x        π2sin 16x      ．····················································································· 5 分 由 π1 sin 16x     ≤ ≤ ，得 π3 2sin 1 16x      ≤ ≤ ， 可知函数 ( )f x 的值域为[ 31] ， ．········································································ 7 分 （II）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知， ( )y f x 的周期为 π ，又由 0  ，得 2π π  ，即得 2  ．···················································································· 9 分 于是有 π( ) 2sin 2 16f x x      ，再由 π π π2 π 2 2 π ( )2 6 2k x k k    Z≤ ≤ ，解得 π ππ π ( )6 3k x k k   Z≤ ≤ ． 所以 ( )y f x 的单调增区间为 π ππ π6 3k k     ， ( )k Z ····································· 12 分 20．（本小题满分 12 分） 已知数列{ }na ，{ }nb 满足 1 2a  ， 1 1b  ，且 1 1 1 1 3 1 14 4 1 3 14 4 n n n n n n a a b b a b             （ 2n≥ ） （I）令 n n nc a b  ，求数列{ }nc 的通项公式； （II）求数列{ }na 的通项公式及前 n 项和公式 nS ． 本小题主要考查等差数列，等比数列等基础知识，考查基本运算能力． （Ｉ）解：由题设得 1 1( ) 2( 2)n n n na b a b n     ≥ ，即 1 2n nc c   （ 2n≥ ） 易知{ }nc 是首项为 1 1 3a b  ，公差为２的等差数列，通项公式为 2 1nc n  ．··································································································4 分 （II）解：由题设得 1 1 1 ( )( 2)2n n n na b a b n    ≥ ，令 n n nd a b  ，则 1 1 ( 2)2n nd d n ≥ ． 易知{ }nd 是首项为 1 1 1a b  ，公比为 1 2 的等比数列，通项公式为 1 1 2n nd  ．··································································································· 8 分 由 1 2 1 1 2 n n n n n a b n a b       ， 解得 1 1 2 2n na n   ，··························································································10 分 求和得 21 12 2n n nS n     ．········································································ 12 分 21．（本小题满分 14 分） 已知正三角形 OAB 的三个顶点都在抛物线 2 2y x 上，其中 O 为坐标原点，设圆 C 是 OAB△ 的内接圆（点C 为圆心） （I）求圆C 的方程； （II）设圆 M 的方程为 2 2( 4 7cos ) ( 7sin ) 1x y      ，过圆 M 上任意一点 P 分别作 圆C 的两条切线 PE PF， ，切点为 E F， ，求CE CF  ， 的最大值和最小值． 本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解 析几何知识解决问题的能力．满分 14 分． （I）解法一：设 A B， 两点坐标分别为 2 1 12 y y     ， ， 2 2 22 y y     ， ，由题设知 2 2 22 2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2 1 2( )2 2 2 2 y y y yy y y y                      ． 解得 2 2 1 2 12y y  ， 所以 (6 2 3)A ， ， (6 2 3)B ， 或 (6 2 3)A ， ， (6 2 3)B ， ． 设圆心C 的坐标为 ( 0)r， ，则 2 6 43r    ，所以圆C 的方程为 2 2( 4) 16x y   ．························································································ 4 分 解法二：设 A B， 两点坐标分别为 1 1( )x y， ， 2 2( )x y， ，由题设知 2 2 2 2 1 1 2 2x y x y   ． 又因为 2 1 12y x ， 2 2 22y x ，可得 2 2 1 1 2 22 2x x x x   ．即 1 2 1 2( )( 2) 0x x x x    ． 由 1 0x  ， 2 0x  ，可知 1 2x x ，故 A B， 两点关于 x 轴对称，所以圆心C 在 x 轴上． 设C 点的坐标为 ( 0)r， ，则 A 点坐标为 3 3 2 2r r       ， ，于是有 2 3 322 2r r        ，解得 4r  ， 所以圆C 的方程为 2 2( 4) 16x y   ．······························································· 4 分 （II）解：设 2ECF a  ，则 2| | | | cos2 16cos2 32cos 16CE CF CE CF             ．···································8 分 在 Rt PCE△ 中， 4cos | | | | x PC PC    ，由圆的几何性质得 | | | | 1 7PC MC  ≤ 1 8  ，| | | | 1 7 1 6PC MC    ≥ ， 所以 1 2cos2 3 ≤ ≤ ，由此可得 168 9CE CF   ≤ ≤ ． 则CE CF    的最大值为 16 9  ，最小值为 8 ． 22．（本小题满分 12 分） 已知函数 3 2 2( ) 9 cos 48 cos 18sinf x x x x      ， ( ) ( )g x f x ，且对任意的实数t 均有 (1 cos ) 0g t ≥ ， (3 sin ) 0g t ≤ ． （I）求函数 ( )f x 的解析式； （II）若对任意的 [ 26 6]m  ， ，恒有 2( ) 11f x x mx ≥ ，求 x 的取值范围．