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- 2021-05-08 发布
第二节 空间几何体的表面积与体积
[考纲传真] (教师用书独具)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．
(对应学生用书第106页)
[基础知识填充]
1．多面体的表(侧)面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
3.柱、锥、台和球的表面积和体积
名称
几何体
表面积
体积
柱体
(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体
(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝Sh
台体
(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3
[知识拓展] 几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
(3)棱长为a的正四面体，其高H＝a，则其外接球半径R＝H，内切球半径R＝H.
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( )
(2)锥体的体积等于底面面积与高之积．( )
(3)球的体积之比等于半径比的平方．( )
(4)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( )
(5)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( )
(6)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝a.( )
[答案](1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√
2．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D． cm
B [S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，
∴r＝2(cm)．]
3．(2016·全国卷Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．12π B．π
C．8π D．4π
A [设正方体棱长为a，则a3＝8，所以a＝2.
所以正方体的体对角线长为2，所以正方体外接球的半径为，所以球的表面积为4π·()2＝12π，故选A．]
4．(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图721所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
图721
A．＋1
B．＋3
C．＋1
D．＋3
A [由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，
∴该几何体的体积
V＝×π×12×3＋××××3＝＋1.
故选A．]
5．已知某几何体的三视图如图722所示，则该几何体的体积为________．
图722
π [由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个圆锥，其体积为π×22×2－π×22×2＝π.]
(对应学生用书第107页)
空间几何体的表面积
(1)(2018·石家庄一模)某几何体的三视图如图723所示(在网格线中，每个小正方形的边长为1)，则该几何体的表面积为( )
图723
A．48 B．54
C．64 D．60
(2)(2016·全国卷Ⅰ)如图724，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是( )
图724
A．17π B．18π C．20π D．28π
(1)D (2)A [(1)根据三视图还原直观图，如图所示，则该几何体的表面积S＝6×3＋×6×4＋2××3×5＋×6×5＝60，故选D．
(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的，得到的几何体如图．设球的半径为R，则πR3－×πR3＝π，解得R＝2.因此它的表面积为×4πR2＋πR2＝17π.故选A．]
[规律方法] 空间几何体表面积的求法
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.必须还原出直观图.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.
(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
[跟踪训练] (2018·合肥第一次质检)一个几何体的三视图如图725所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )
图725
A．48＋4π B．72＋4π
C．48＋6π D．72＋6π
D
[由三视图可得该几何体是棱长为4的正方体截去底面是边长为2的正方形、高为4的长方体，再补上个底面圆半径为2、高为4的圆柱，则该几何体的表面积为16×2＋2(12＋π)＋8×2＋×2π×2×4＝72＋6π，故选D．]
空间几何体的体积
(1)(2017·全国卷Ⅱ)如图726，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
图726
A．90π B．63π
C．42π D．36π
(2)(2018·深圳二调)一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图727所示，则该几何体的体积为( )
图727
A．24
B．48
C．72
D．96
(1)B (2)B [(1)法一：(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．
将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.
故选B．
法二：(估值法)由题意知，V圆柱＜V几何体＜V圆柱．又V圆柱＝π×32×10＝90π，所以45π＜V几何体＜90π.观察选项可知只有63π符合．故选B．
(2)由三视图知，该几何体是由长、宽、高分别为6,4,4的长方体被一个平面截去所剩下的部分，如图所示，其中C，G均为长方体对应边的中心，该平面恰好把长方体一分为二，则该几何体的体积为V＝×6×4×4＝48，故选B．]
[规律方法] 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的底面积和高，一般不需画直观图.
[跟踪训练] (1)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为( ) 【导学号：97190226】
A．3 B．
C．1 D．
(2)(2017·山东高考)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图728，则该几何体的体积为________．
图728
(1)C (2)2＋ [(1)由题意可知，AD⊥平面B1DC1，即AD为三棱锥AB1DC1的高，且AD＝×2＝，
易求得S△B1DC1＝×2×＝，
所以VAB1DC1＝××＝1.
(2)该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，
∴V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋.]
与球有关的切、接问题
(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4π B．
C．6π D．
B [由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切．设球的半径为R，∵△ABC的内切圆半径为＝2，∴R≤2.又2R≤3，∴R≤，
∴Vmax＝π＝π.故选B．]
1．若本例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积．
[解] 将直三棱柱补形为长方体ABECA1B1E1C1，
则球O是长方体ABECA1B1E1C1的外接球，
所以体对角线BC1的长为球O的直径．
因此2R＝＝13，
故S球＝4πR2＝169π.
2．若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．
[解] 如图，设球心为O，半径为r，
则在Rt△AFO中，(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝，
则球O的体积V球＝πr3＝π×＝.
[规律方法] 与球有关的切、接问题的求解方法
(1)与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.
(2)若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体①利用2R＝求R.
②确定球心位置，把半径放在直角三角形中求解.
(3)一条侧棱垂直底面的三棱锥问题：可补形成直三棱柱.
[跟踪训练] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
A．π B．
C． D．
(2)(2018·深圳二调)已知三棱锥SABC，△ABC是直角三角形，其斜边AB＝8，SC⊥平面ABC，SC＝6，则三棱锥的外接球的表面积为( )
【导学号：97190227】
A．64π B．68π
C．72π D．100π
(1)B (2)D [(1)设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，
由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，
r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．
∴r＝＝.
∴圆柱的体积为V＝πr2h＝π×1＝.
故选B．
(2)由于△ABC是直角三角形，则对应的截面圆的圆心为AB的中点，截面圆半径r＝4，且球心就在过截面圆的圆心且垂直于截面的直线上，且球心平面ABC的距离等于SC的一半，故三棱锥的外接球的半径R＝＝5，故三棱锥的外接球的表面积为S＝4πR2＝100π，故选D．]