北师版九年级数学下册-第二章检测题 6页

第二章检测题 (时间：120 分钟满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．(广西中考)将抛物线 y＝1 2x2 向左平移 2 个单位长度后，得到新抛物线的解析式为(B) A．y＝1 2(x－2)2B．y＝1 2(x＋2)2 C．y＝1 2x2＋2D．y＝1 2x2－2 2．关于二次函数 y＝－x2－2x＋1 的图象，下列判断正确的是(D) A．图象开口向上 B．对称轴是直线 x＝1 C．图象有最低点 D．顶点坐标为(－1，2) 3．(兰州中考)下表是一组二次函数 y＝x2＋3x－5 的自变量 x 与函数值 y 的对应值：那 么方程 x2＋3x－5＝0 的一个近似根是(C) x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16 A.1B．1.1C．1.2D．1.3 4．如果在二次函数的表达式 y＝ax2＋bx＋c 中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函 数的图象可能是(C) 5．若 A(－4，y1)，B(－3，y2)，C(1，y3)为二次函数 y＝x2－4x＋m 的图象上的三点， 则 y1，y2，y3 的大小关系是(B) A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2 6．已知二次函数 y＝ax2－4ax＋4，当 x 分别取 x1，x2 两个不同的值时，函数值相等， 则当 x 取 x1＋x2 时，y 的值为(C) A．6B．5C．4D．3 7．如图，Rt△AOB 中，AB⊥OB，且 AB＝OB＝3，设直线 x＝t 截此三角形所得阴影 部分的面积为 S，则 S 与 t 之间的函数关系的图象为下列选项中的(D) 8．(北京中考)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看 作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度 y(单位：m)与水平距离 x(单位：m)近似满 足函数关系 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图记录了某运动员起跳后的 x 与 y 的三组数据，根据 上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为(B) A．10mB．15mC．20mD．22.5m ,第 8 题图) ,第 9 题图) ,第 10 题 图) 9．在同一坐标系下，抛物线 y1＝－x2＋4x 和直线 y2＝2x 的图象如图所示，那么不等式 －x2＋4x＞2x 的解集是(B) A．x＜0B．0＜x＜2 C．x＞2D．x＜0 或 x＞2 10．(资阳中考)已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，OA＝OC，则由抛物线 的特征写出如下含有 a，b，c 三个字母的等式或不等式：①4ac－b2 4a ＝－1；②ac＋b＋1＝0； ③abc＞0；④a－b＋c＞0.其中正确的个数是(A) A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 二、填空题(每小题 3 分，共 18 分) 11．若 y＝xm2－2＋3x－2 是二次函数，则 m 的值是 2 或－2. 12.二次函数 y＝x(x－6)的图象的对称轴是直线 x＝3. 13．(孝感中考)如图，抛物线 y＝ax2 与直线 y＝bx＋c 的两个交点坐标分别为 A(－2， 4)，B(1，1)，则方程 ax2＝bx＋c 的解是 x1＝－2，x2＝1. ,第 13 题图) ,第 15 题图) ,第 16 题图) 14．已知抛物线 y＝ax2＋2ax＋c，那么点 P(－3，4)关于该抛物线的对称轴对称的点的 坐标是(1，4)． 15．(沈阳中考)如图，一块矩形土地 ABCD 由篱笆围着，并且由一条与 CD 边平行的篱 笆 EF 分开．已知篱笆的总长为 900m(篱笆的厚度忽略不计)，当 AB＝150m 时，矩形土地 ABCD 的面积最大． 16．(湖州中考)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为 C， 与 x 轴的正半轴交于点 A，它的对称轴与抛物线 y＝ax2(a＞0)交于点 B.若四边形 ABOC 是正 方形，则 b 的值是－2. 三、解答题(共 72 分) 17．(6 分)函数 y＝(kx－1)(x－3)，当 k 为何值时，y 是 x 的一次函数？当 k 为何值时， y 是 x 的二次函数？ 解：∵y＝(kx－1)(x－3)＝kx2－3kx－x＋3＝kx2－(3k＋1)x＋3，∴k＝0 时，y 是 x 的一 次函数，k≠0 时，y 是 x 的二次函数 18．(6 分)已知抛物线 y＝mx2＋(m＋3)x＋3 的顶点在 x 轴上，求 m 的值． 解：∵y＝mx2＋(m＋3)x＋3 的顶点在 x 轴上，∴方程 mx2＋(m＋3)x＋3＝0 有两个相等 的实数根，∴Δ＝0，即(m＋3)2－12m＝0，解得 m＝3 19．(6 分)某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子 OA，O 恰为水面中心，安置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛 物线路径落下．在过 OA 的任一平面上，建立平面直角坐标系(如图)，水流喷出的高度 y(m) 与水平距离 x(m)之间的关系式是 y＝－x2＋2x＋3，求柱高 OA 及喷出的水流距柱子 OA 多 远时达到最大高度，最大高度是多少米？ 解：∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴当 x＝0 时，y＝3，即 OA＝3m，当 x＝1 时， y 取得最大值，此时 y＝4，即喷出的水流距柱子 OA 有 1m 时达到最大高度，最大高度是 4m 20．(6 分)已知二次函数 y＝(x－2)2－4. (1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； (2)根据图象，直接写出当 y＜0 时 x 的取值范围． 解：(1)列表如下：描点、连线图略 x … 0 1 2 3 4 … y … 0 －3 －4 －3 0 … (2)由图象可知：当 y＜0 时，x 的取值范围是 0＜x＜4 21．(8 分)已知在平面直角坐标系内，抛物线 y＝x2＋bx＋c 经过点 A(2，0)，B(0，6)． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线向下平移几个单位后经过点(4，0)？请通过计算说明． 解：(1)把 A(2，0)，B(0，6)代入 y＝x2＋bx＋c 得 4＋2b＋c＝0， c＝6， 解得 b＝－5， c＝6， 所以抛 物线的表达式为 y＝x2－5x＋6 (2)把 x＝4 代入 y＝x2－5x＋6，得 y＝16－20＋6＝2.故抛物 线向下平移 2 个单位后经过点(4，0) 22．(8 分)已知二次函数 y＝2x2－8x＋6. (1)把它化成 y＝a(x－h)2＋k 的形式为：____________； (2)直接写出抛物线的顶点坐标：____________，对称轴：________； (3)求该抛物线于坐标轴的交点坐标． 解：(1)y＝2(x－2)2－2 (2)(2，－2) x＝2 (3)∵y＝2x2－8x＋6，∴当 y＝0 时，2x2 －8x＋6＝0，解得 x1＝1，x2＝3，∴抛物线与 x 轴的交点坐标为(1，0)，(3，0)；当 x＝0 时， y＝6，∴抛物线与 y 轴的交点坐标为(0，6) 23．(10 分)(金华中考)如图，抛物线 y＝ax2＋bx(a＜0)过点 E(10，0)，矩形 ABCD 的边 AB 在线段 OE 上(点 A 在点 B 的左边)，点 C，D 在抛物线上．设 A(t，0)，当 t＝2 时，AD ＝4. (1)求抛物线的函数表达式； (2)当 t 为何值时，矩形 ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？ 解：(1)设 y＝－1 4x2＋5 2x (2)由抛物线的对称性得 BE＝OA＝t，∴AB＝10－2t，当 x＝ t 时，AD＝－1 4t2＋5 2t，∴矩形 ABCD 的周长＝2(AB＋AD)＝2[(10－2t)＋(－1 4t2＋5 2t)]＝－1 2t2 ＋t＋20＝－1 2(t－1)2＋41 2 ，∵－1 2 ＜0，∴当 t＝1 时，矩形 ABCD 的周长有最大值，最大值 为41 2 24．(10 分)某超市销售一种商品，成本每千克 40 元，规定每千克售价不低于成本，且 不高于 80 元，经市场调查，每天的销售量 y(千克)与每千克售价 x(元)满足一次函数关系， 部分数据如下表： 售价 x(元/千克) 50 60 70 销售量 y(千克) 100 80 60 (1)求 y 与 x 之间的函数表达式； (2)设商品每天的总利润为 W(元)，求 W 与 x 之间的函数表达式(利润＝收入－成本)； 并求出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？ 解：(1)设 y＝kx＋b，将(50，100)，(60，80)代入得 50k＋b＝100， 60k＋b＝80， 解得 k＝－2， b＝200. ∴y ＝－2x＋200 (40≤x≤80) (2)W＝(x－40)(－2x＋200)＝－2x2＋280x－8000＝－2(x－70)2 ＋1800，∴当 x＝70 时，W 取得最大值为 1800，答：W 与 x 之间的函数表达式为 W＝－2x2 ＋280x－8000，售价为 70 元时获得最大利润，最大利润是 1800 元 25．(12 分)(达州中考)如图，抛物线经过原点 O(0，0)，点 A(1，1)，点 B(7 2 ，0)． (1)求抛物线解析式； (2)连接 OA，过点 A 作 AC⊥OA 交抛物线于 C，连接 OC，求△AOC 的面积； (3)点 M 是 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 OM，过点 M 作 MN⊥OM 交 x 轴于点 N. 问：是否存在点 M，使以点 O，M，N 为顶点的三角形与(2)中的△AOC 相似，若存在，求 出点 M 的坐标；若不存在，说明理由． 解：(1)y＝－2 5x2＋7 5x (2)延长 CA 交 y 轴于 D，如图 1，∵A(1，1)，∴OA＝ 2，∠DOA＝45°，∴△AOD 为等腰直角三角形，∵OA⊥AC，∴OD＝ 2OA＝2，∴D(0，2)，易得直线 AD 的解析式为 y＝－x＋2，解方程组 y＝－x＋2， y＝－2 5x2＋7 5x，得 x＝1， y＝1 或 x＝5， y＝－3， 则 C(5，－3)，∴S△AOC＝S△COD － S △ AOD ＝ 1 2 × 2 × 5 － 1 2 × 2 × 1 ＝ 4 (3) 存 在 ． 如 图 2 ， 作 MH ⊥ x 轴 于 H ， AC ＝ （5－1）2＋（－3－1）2＝4 2，OA＝ 2，设 M(x，－2 5x2＋7 5x)(x＞0)，∵∠OHM＝∠OAC， ∴当OH OA ＝MH AC 时，△OHM∽△OAC，即 x 2 ＝ |－2 5x2＋7 5x| 4 2 ，解方程－2 5x2＋7 5x＝4x 得 x1＝0(舍 去)，x2＝－13 2 (舍去)，解方程－2 5x2＋7 5x＝－4x 得 x1＝0(舍去)，x2＝27 2 ，此时 M 点坐标为(27 2 ， －54)；当OH AC ＝MH OA 时，△OHM∽△CAO，即 x 4 2 ＝ |－2 5x2＋7 5x| 2 ，解方程－2 5x2＋7 5x＝1 4x 得 x1 ＝0(舍去)，x2＝23 8 ，此时 M 点的坐标为(23 8 ，23 32)，解方程－2 5x2＋7 5x＝－1 4x 得 x1＝0(舍去)， x2＝33 8 ，此时 M 点的坐标为(33 8 ，－33 32)；∵MN⊥OM，∴∠OMN＝90°，∴∠MON＝∠HOM， ∴△OMH∽△ONM，∴当 M 点的坐标为(27 2 ，－54)或(23 8 ，23 32)或(33 8 ，－33 32)时，以点 O，M， N 为顶点的三角形与(2)中的△AOC 相似