【数学】2020届一轮复习（理）通用版4-2三角恒等变换作业 9页

‎4.2　三角恒等变换 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 三角函数的化简和求值 ‎(1)两角和与差的三角函数公式 ‎①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;‎ ‎②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式;‎ ‎③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.‎ ‎(2)简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆)‎ ‎2018课标Ⅲ,4,5分 三角函数 的求值 二倍角公式 ‎★★★‎ ‎2015课标Ⅰ,2,5分 三角函数的 求值和化简 两角和的正弦 公式、诱导公式 ‎2016课标Ⅱ,9,5分 三角函数的 求值和化简 二倍角的余弦 公式和诱导公式 分析解读　　1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点　三角函数的化简和求值 ‎1.(2018山西第一次模拟,3)已知tan α=3,则sin2α‎1+cos2α=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.-3 B.-‎1‎‎3‎ C.‎1‎‎3‎ D.3‎ 答案　D　‎ ‎2.(2017河北冀州第二次阶段性考试,8)(1+tan 18°)(1+tan 27°)的值是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎2‎ B.‎3‎ C.2 D.‎‎5‎ 答案　C　‎ ‎3.函数y=cos2x-‎π‎6‎+sin2x+‎π‎6‎-1是　(　　)‎ A.周期为π‎3‎的函数 B.周期为π‎2‎的函数 C.周期为π的函数 D.周期为2π的函数 答案　C　‎ ‎4.(2018湖南三湘名校教育联盟第三次联考,13)已知cosπ‎6‎‎-α=‎1‎‎4‎,则cos‎2π‎3‎‎+2α=　　　　. ‎ 答案　‎‎7‎‎8‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法　三角函数化简、求值的解题方法 ‎1.(2018福建福州3月模拟,4)‎3‎cos 15°-4sin215°cos 15°=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.1 D.‎‎2‎ 答案　D　‎ ‎2.(2018安徽江淮十校第三次(4月)联考,7)已知tanπ‎4‎‎-α=‎4‎‎3‎,则sin2π‎4‎‎+α=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎7‎‎25‎ B.‎9‎‎25‎ C.‎16‎‎25‎ D.‎‎24‎‎25‎ 答案　B　‎ ‎3.(2017河南百校联盟4月联考,8)已知α为第二象限角,且tan α+tanπ‎12‎=2tan αtanπ‎12‎-2,则sinα+‎‎5π‎6‎=(　　)‎ A.-‎10‎‎10‎ B.‎10‎‎10‎ C.-‎3‎‎10‎‎10‎ D.‎‎3‎‎10‎‎10‎ 答案　C　‎ ‎4.(2018湖北八校联考,10)已知3π≤θ≤4π,且‎1+cosθ‎2‎+‎1-cosθ‎2‎=‎6‎‎2‎,则θ=(　　)‎ A.‎10π‎3‎或‎11π‎3‎ B.‎37π‎12‎或‎47π‎12‎ ‎ C.‎13π‎4‎或‎15π‎4‎ D.‎19π‎6‎或‎23π‎6‎ 答案　D　‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 ‎1.(2018课标Ⅲ,4,5分)若sin α=‎1‎‎3‎,则cos 2α=(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎8‎‎9‎ B.‎7‎‎9‎ C.-‎7‎‎9‎ D.-‎‎8‎‎9‎ 答案　B　‎ ‎2.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cosπ‎4‎‎-α=‎3‎‎5‎,则sin 2α=(　　)‎ A.‎7‎‎25‎ B.‎1‎‎5‎ C.-‎1‎‎5‎ D.-‎‎7‎‎25‎ 答案　D　‎ ‎3.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°·sin 10°=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.-‎3‎‎2‎ B.‎3‎‎2‎ C.-‎1‎‎2‎ D.‎‎1‎‎2‎ 答案　D　‎ B组　自主命题·省(区、市)卷题组　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ ‎1.(2015重庆,9,5分)若tan α=2tan π‎5‎,则cosα-‎‎3π‎10‎sinα-‎π‎5‎=(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 答案　C　‎ ‎2.(2017江苏,5,5分)若tanα-‎π‎4‎=‎1‎‎6‎,则tan α=　　　　. ‎ 答案　‎‎7‎‎5‎ ‎3.(2018江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tan α=‎4‎‎3‎,cos(α+β)=-‎5‎‎5‎.‎ ‎(1)求cos 2α的值;‎ ‎(2)求tan(α-β)的值.‎ 解析　本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差及二倍角的三角函数,‎ 考查运算求解能力.‎ ‎(1)因为tan α=‎4‎‎3‎,tan α=sinαcosα,所以sin α=‎4‎‎3‎cos α.‎ 因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=‎9‎‎25‎,‎ 所以cos 2α=2cos2α-1=-‎7‎‎25‎.‎ ‎(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).‎ 又因为cos(α+β)=-‎5‎‎5‎,‎ 所以sin(α+β)=‎1-cos‎2‎(α+β)‎=‎2‎‎5‎‎5‎,‎ 因此tan(α+β)=-2.‎ 因为tan α=‎4‎‎3‎,所以tan 2α=‎2tanα‎1-tan‎2‎α=-‎24‎‎7‎.‎ 因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=tan2α-tan(α+β)‎‎1+tan2αtan(α+β)‎= -‎ ‎‎ 2‎‎11‎.‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2014课标Ⅰ,8,5分,0.737)设α∈‎0,‎π‎2‎,β∈‎0,‎π‎2‎,且tan α=‎1+sinβcosβ,则(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.3α-β=π‎2‎ B.3α+β=π‎2‎ C.2α-β=π‎2‎ D.2α+β=‎π‎2‎ 答案　C　‎ ‎2.(2016四川,11,5分)cos2π‎8‎-sin2π‎8‎=　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎2‎ ‎3.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=　　　　,b=　　　　. ‎ 答案　‎2‎;1‎ ‎4.(2015四川,12,5分)sin 15°+sin 75°的值是　　　　. ‎ 答案　‎‎6‎‎2‎ ‎5.(2015江苏,8,5分)已知tan α=-2,tan(α+β)=‎1‎‎7‎,则tan β的值为　　　　. ‎ 答案　3‎ ‎6.(2014课标Ⅱ,14,5分,0.603)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φ·cos(x+φ)的最大值为　　　　. ‎ 答案　1‎ ‎7.(2014江苏,5,5分)已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为π‎3‎的交点,则φ的值是　　　　. ‎ 答案　‎π‎6‎ ‎8.(2013课标Ⅱ,15,5分,0.271)设θ为第二象限角,若tanθ+‎π‎4‎=‎1‎‎2‎,则sin θ+cos θ=　　　　. ‎ 答案　-‎‎ ‎‎10‎‎5‎ ‎9.(2016江苏,15,14分)在△ABC中,AC=6,cos B=‎4‎‎5‎,C=π‎4‎.‎ ‎(1)求AB的长;‎ ‎(2)求cosA-‎π‎6‎的值.‎ 解析　(1)因为cos B=‎4‎‎5‎,00‎是偶函数,‎ 则下列结论可能成立的是(　　)‎ A.α=π‎4‎,β=-π‎4‎ B.α=‎2π‎3‎,β=‎π‎6‎ C.α=π‎3‎,β=π‎6‎ D.α=‎5π‎6‎,β=‎‎2π‎3‎ 答案　C　‎ ‎3.(2019届江西九江高三第一次十校联考,8)已知cosα-‎π‎12‎=‎3‎‎5‎,计算sin‎5π‎3‎‎-2α的值为(　　)‎ A.-‎7‎‎25‎ B.‎7‎‎25‎ C.‎24‎‎25‎ D.-‎‎24‎‎25‎ 答案　B　‎ ‎4.(2019届安徽黄山11月“八校联考”,4)已知sinπ‎6‎‎+α=cosπ‎6‎‎-α,则cos 2α=(　　)‎ A.1 B.‎1‎‎2‎ C.0 D.-1‎ 答案　C　‎ ‎5.(2019届广东深圳实验,珠海一中等六校第一次联考,8)已知A是函数f(x)=sin‎2 018x+‎π‎6‎+cos‎2 018x-‎π‎3‎的最大值,若存在实数x1,x2对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则A·|x1-x2|的最小值为(　　)‎ A.π‎2 018‎ B.π‎1 009‎ C.‎2π‎1 009‎ D.‎π‎4 036‎ 答案　B　‎ ‎6.(2018山西长治二模,6)已知sin α=‎10‎‎10‎,α∈‎0,‎π‎2‎,则cos‎2α+‎π‎6‎的值为(　　)‎ A.‎4‎3‎-3‎‎10‎ B.‎4‎3‎+3‎‎10‎ C.‎4-3‎‎3‎‎10‎ D.‎‎3‎3‎-4‎‎10‎ 答案　A　‎ ‎7.(2018广东揭阳二模,5)已知f(x)=sin x-cos x,实数α满足f '(α)=3f(α),则tan 2α=(　　)‎ A.-‎4‎‎3‎ B.-‎3‎‎4‎ C.‎3‎‎4‎ D.‎‎4‎‎3‎ 答案　A　‎ ‎8.(2017湖北新联考四模,6)sin10°‎‎1-‎3‎tan10°‎=(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎1‎‎4‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎3‎‎2‎‎ ‎ D.1‎ 答案　A　‎ ‎9.(2018河北、河南两省重点中学4月联考,8)已知atan α+b=(a-btan α)tan β,且α+π‎6‎与β的终边相同,则ba的值为(　　)‎ A.‎2‎‎3‎ B.‎3‎‎3‎ C.‎2‎‎2‎‎3‎ D.‎‎3‎‎4‎ 答案　B　‎ ‎10.(2017湖南邵阳二模,9)若tanπ‎12‎cos‎5π‎12‎=sin‎5π‎12‎-msinπ‎12‎,则实数m的值为(　　)‎ A.2‎3‎ B.‎3‎ C.2 D.3‎ 答案　A　‎ 二、填空题(共5分)‎ ‎11.(2018湖南G10教育联盟4月联考,16)已知cosπ‎2‎‎+α=3sinα+‎‎7π‎6‎,则tanπ‎12‎‎+α=　　　　. ‎ 答案　2‎3‎-4‎ 三、解答题(共10分)‎ ‎12.(2018山东桓台第二中学4月月考,16)已知函数f(x)=a+2cos‎2‎x‎2‎cos(x+θ)为奇函数,且fπ‎2‎=0,其中a∈R,θ∈(0,π).‎ ‎(1)求a,θ的值;‎ ‎(2)若α∈π‎2‎‎,π, fα‎2‎‎+‎π‎8‎+‎2‎‎5‎cosα+‎π‎4‎cos 2α=0,求cos α-sin α的值.‎ 解析　(1)因为f(x)=a+2cos‎2‎x‎2‎cos(x+θ)是奇函数,‎ 所以a+2cos‎2‎x‎2‎cos(x+θ)=-a+2cos‎2‎x‎2‎cos(-x+θ),‎ 化简、整理得,cos xcos θ=0,则有cos θ=0,‎ 由θ∈(0,π),得θ=π‎2‎,‎ 所以f(x)=-sin x·a+2cos‎2‎x‎2‎.‎ 由fπ‎2‎=0,得-(a+1)=0,即a=-1.‎ ‎(2)由(1)知f(x)=-‎1‎‎2‎sin 2x,‎ fα‎2‎‎+‎π‎8‎+‎2‎‎5‎cosα+‎π‎4‎cos 2α=0⇒sinα+‎π‎4‎=‎4‎‎5‎cosα+‎π‎4‎cos 2α,‎ 因为cos 2α=sin‎2α+‎π‎2‎=sin‎2‎α+‎π‎4‎=2sinα+‎π‎4‎cosα+‎π‎4‎,‎ 所以sinα+‎π‎4‎=‎8‎‎5‎cos2α+‎π‎4‎sinα+‎π‎4‎.‎ 又α∈π‎2‎‎,π,所以sinα+‎π‎4‎=0或cos2α+‎π‎4‎=‎5‎‎8‎.‎ ‎①由sinα+‎π‎4‎=0⇒α=‎3π‎4‎,‎ 所以cos α-sin α=cos‎3π‎4‎-sin‎3π‎4‎=-‎2‎;‎ ‎②由cos2α+‎π‎4‎=‎5‎‎8‎,‎3π‎4‎<α+π‎4‎<‎5π‎4‎,‎ 得cosα+‎π‎4‎=-‎5‎‎2‎‎2‎⇒‎1‎‎2‎(cos α-sin α)=-‎‎5‎‎2‎‎2‎ ‎⇒cos α-sin α=-‎5‎‎2‎.‎ 综上,cos α-sin α=-‎2‎或cos α-sin α=-‎ ‎‎5‎‎2‎.‎