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- 2021-05-08 发布
高一数学6月阶段考试题
一、选择题（本大题共10小题，共50分）
1.已知复数z＝(m2－m－6)＋(m2＋2m－8)i(i为虚数单位),若z<6,则实数m＝（ ）
A. 2 B. 2或－4 C. 4 D. －2或4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据虚数不能比较大小与z<6可知为实数,故虚部为0,进而求得的值,再根据z<6
【详解】因为z<6,故为实数,故,即,解得或.
当时成立；当时, 不满足.故.
故选：A
【点睛】本题主要考查了复数的性质以及根据参数的类型求解参数的问题,属于基础题.
2.一个学校高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数为：
A. 100 B. 80 C. 60 D. 40
【答案】A
【解析】
【分析】
根据分层抽样的方法，得到高三学生抽取的人数为，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，学校高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，采用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，所以高三学生抽取的人数为人，故选A．
【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
3.已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，故选B.
考点：本题考查平面向量的坐标运算，属于容易题.
4. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：从甲乙等名学生中随机选出人，基本事件的总数为，甲被选中包含的基本事件的个数，所以甲被选中的概率，故选B．
考点：古典概型及其概率的计算．
5.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A. “至少有一个黑球”与“都是黑球” B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D. “至少有一个黑球”与“都是红球”
【答案】C
【解析】
分析：利用对立事件、互斥事件的定义求解．
详解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，
在A中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
在B中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；
在C中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，
但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C正确；
在D中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故D错误．
故答案为：C
点睛：（1）本题主要考查互斥事件和对立事件的定义，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)互斥事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，对立事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，且在一次试验中，必有一个发生的两个事件.注意理解它们的区别和联系.
6.已知等边的边长为1，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用向量的数量积公式解答，注意向量的夹角与三角形的内角的关系．
【详解】解：因为三角形是等边三角形，边长为1，各内角为，
所以.
故选：D．
【点睛】本题考查了向量的数量积公式的运用；需要注意的是：向量的夹角与三角形内角相等或者互补．
7.如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，则梯形OABC的面积为（ ）
A. 2S B. S C. 2S D. S
【答案】C
【解析】
【分析】
根据，可得梯形OABC的面积.
【详解】由，可得梯形OABC的面积.
故选：.
【点睛】本题考查斜二测画法，属于基础题,
8.在中.已知是延长线上一点.点为线段中点.若.且.则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
通过利用向量的三角形法则,以及向量共线,由,,,求解,结合条件,即可求得答案.
【详解】,,,
可得:
由
故选:A.
【点睛】本题主要考查了向量的三角形法则,解题关键是掌握向量的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
9.如图，三棱锥中，，，M，N分别为，的中点，则异面直线与所成角余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
取中点,连接,即可得,则将异面直线与所成角转化为 与所成的角,再利用解三角形的方法求解夹角余弦值即可.
【详解】
取中点,连接,又因为为中点,故,故与所成角即为与所成的角.由题得,又为的中点, ,,所以,.
故,又.
又,故
所以异面直线与所成角余弦值为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了利用空间直线夹角的问题,需要根据题意利用平行转换异面角为三角形中的角度再计算,属于基础题.
10.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱的表面积为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：由四棱锥的体积是三棱柱体积的，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．
详解：四棱锥的体积是三棱柱体积的，，当且仅当时，取等号．
∴．
故选C．
点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．
二、填空题（本大题共5小题，共20分）
11.计算复数_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
12.已知一组数据4.7，6.1，4.2，5.0，5.3，5.5，则该组数据的第25百分位数是________．
【答案】4.7
【解析】
【分析】
把这组数据按从小到大的顺序排列，根据第p百分位数的定义可得答案.
【详解】把这组数据按从小到大的顺序排列，可得：4.2，4.7，5.0，5.3，5.5，6.1共6个数据，
由 ，所以这组数据的第25百分位数是第2项，即4.7.
故答案为：4.7.
【点睛】本题考查第p百分位数的定义，属于基础题.
13.已知向量，，则向量的坐标是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用，代入点坐标，即可．
【详解】
【点睛】本道题考查了向量加减法运算，代入点坐标，即可．
14.如图，点在正方形所在的平面外，，则与所成角的度数为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
以D为坐标原点，DA所在的直线为轴，DC所在的直线为轴，DP所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，令，求得，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】如图所示，以D为坐标原点，DA所在的直线为轴，DC所在的直线为轴，DP所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，
因为点P在正方形ABCD所在平面外，平面，
令，所以，
所以,
所以，所以，
即异面直线PA与BD所成的角为
【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角的求解，其中解答中根据几何体的结构特征建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15.给出下列命题：
①如果a，b是两条直线，且a//b，那么a平行于经过b的任何平面；
②如果直线a和平面α满足a//α，那么直线a与平面α内的任何直线都平行；
③如果直线a，b和平面α满足a//α，b//α，那么a//b．
其中错误命题的序号是___________．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【分析】
对命题逐个分析，可得答案.命题（1），a，b可能在同一个平面内，故（1）错误；命题（2），直线a与平面α内的直线可能异面，故（2）错误；命题（3），a，b可能相交或异面，故（3）错误，即得答案.
【详解】（1）如果a，b是两条直线，且a//b，那么a平行于经过b任何平面.不正确，a，b可能在同一个平面内；
（2）如果直线a和平面α满足a//α，那么直线a与平面α内的任何直线都平行.不正确，直线a与平面α内的直线可能平行，也可能异面；
（3）如果直线a，b和平面α满足a//α，b//α，那么a//b．不正确，a，b的位置关系为：平行、相交或异面.
故答案为：（1）（2）（3）.
【点睛】本题考查线线、线面位置关系，属于基础题.
三、解答题（本大题共5小题，共50分）
16.在△ABC中，a=7，b=8，cosB= –．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．
【答案】(1) ∠A= (2) AC边上的高为
【解析】
分析：（1）先根据平方关系求,再根据正弦定理求，即得；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求，解得边上的高．
详解：解：（1）在△ABC中，∵cosB=–，∴B∈（，π），∴sinB=．由正弦定理得 =，∴sinA=．∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．
（2）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA==．
如图所示，在△ABC中，∵sinC=，∴h==，∴AC边上的高为．
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
17.设，，求的值.
【答案】
【解析】
【分析】
计算得到，再计算得到答案.
【详解】∵，∴.又∵，∴.
∴，则.
【点睛】本题考查了向量的模的计算，意在考查学生的计算能力.
18.掷红、白两颗骰子，事件A＝{红骰子点数小于3}，事件B＝{白骰子点数小于3}，求：
（1）P（A∩B）；
（2）P（A∪B）．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
掷红、白两颗骰子，列举出现的所有向上的点数.求出基本事件总数，事件，包含的基本事件数，根据古典概型的概率计算公式，即可求出.
【详解】掷红、白两颗骰子，出现向上的点数如下表所示：
白1
白2
白3
白4
白5
白6
红1
（红1，白1）
（红1，白2）
（红1，白3）
（红1，白4）
（红1，白5）
（红1，白6）
红2
（红2，白1）
（红2，白2）
（红2，白3）
（红2，白4）
（红2，白5）
（红2，白6）
红3
（红3，白1）
（红3，白2）
（红3，白3）
（红3，白4）
（红3，白5）
（红3，白6）
红4
（红4，白1）
（红4，白2）
（红4，白3）
（红4，白4）
（红4，白5）
（红4，白6）
红5
（红5，白1）
（红5，白2）
（红5，白3）
（红5，白4）
（红5，白5）
（红5，白6）
红6
（红6，白1）
（红6，白2）
（红6，白3）
（红6，白4）
（红6，白5）
（红6，白6）
共有36种可能.
（1）事件包含（红1，白1），（红1，白2），（红2，白1），（红2，白2）4种，
.
（2）事件包含（红1，白1），（红1，白2），（红1，白3），（红1，白4），（红1，白5），（红1，白6），（红2，白1），（红2，白2），（红2，白3），（红2，白4），（红2，白5），（红2，白6），（红3，白1），（红4，白1），（红5，白1），（红6，白1），（红3，白2），（红4，白2），（红5，白2），（红6，白2）共20种，
.
【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.
19.如图所示，已知平面，，分别是，的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）若，，求直线与平面所成的角.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）
【解析】
【分析】
（1）根据中位线定理,可得,即可由线面平行判定定理证明平面;
（2）根据题意可得,而又因为,所以平面,即可由平面与平面垂直的判定定理证明平面平面;
（3）由题意可知为直线与平面所成的角,根据线段关系求得,即可求得直线与平面所成的角大小.
【详解】（1）因为,分别是,的中点,
所以.
又平面且平面,
所以平面.
（2）因为平面,平面,
所以.
又且,
所以平面.
又平面,
所以平面平面.
（3）因为平面,所以为直线与平面所成的角.
在直角中,,,
所以.
所以.
故直线与平面所成的角为.
【点睛】本题考查了直线与平面平行、平面与平面垂直的证明,直线与平面夹角的求法,属于基础题.
20.有20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：
（1）求频率直方图中a的值；
（2）分别求出成绩落在[50，60)与[60，70)中的学生人数；
（3）试求本次考试数学平均成绩．
【答案】（1）；（2）2，3；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据频率直方图中所有小矩形的面积和等于1，可求a的值；
（2）成绩落在[50，60)与[60，70)中频率分别与20相乘，即得学生人数；
（3）频率直方图中每个小矩形的面积乘以其底边中点的横坐标，即得本次考试数学的平均成绩．
【详解】（1）由频率直方图可得.
（2）成绩落在[50，60)中的学生人数为，
成绩落在[60，70)中的学生人数为.
（3）本次考试数学的平均成绩为
.
【点睛】本题考查频率分布直方图，考查学生的基本计算能力，属于基础题.