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- 2021-05-08 发布
北京市西城外国语学校
2019—2020学年度第二学期诊断性测试
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1.如果且，则角的终边可能位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角函数在各个象限的符号，即可判定，得到答案．
【详解】由，则角为位于第三、四象限，又由，则角为位于第二、四象限，
所以角为位于第四象限，故选D．
【点睛】本题主要考查了三角函数在各个象限的符号的应用，其中熟记三角函数在各个象限的符号是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
2.若函数和在区间D上都是增函数，则区间D可以是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
依次判断每个选项，排除错误选项得到答案.
【详解】时，单调递减，A错误
时，单调递减，B错误
时，单调递减，C错误
时，函数和都是增函数，D正确
故答案选D
【点睛】本题考查了三角函数的单调性，意在考查学生对于三角函数性质的理解应用，也可以通过图像得到答案.
3.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】
，据此可知，为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度.
本题选择D选项.
4.设向量，的模分别为2和3，且夹角为，则等于（ ）
A. B. 13 C. D. 19
【答案】C
【解析】
【分析】
所求平方代值可得.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查平面向量数量积的应用.
求向量模的常用方法:
(1)若向量是以坐标形式出现的，求向量的模可直接利用公式.
(2)若向量 是以非坐标形式出现的，求向量的模可应用公式或 ，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．
5.设函数， ，则是（ ）
A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的奇函数
C. 最小正周期为的偶函数 D. 最小正周期为的偶函数
【答案】C
【解析】
函数，则有 ，所以函数是偶函数，函数的周期是，故选C.
6.若直线是函数图象的一条对称轴，则a的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由题，对称轴方程为：则当
考点：三角函数的性质（对称性）.
7.设，则使成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由正弦函数性质得结合已知范围可求.
【详解】，
,
故选：B
【点睛】本题考查三角函数性质.解三角函数不等式可以根据相应的正弦曲线或余弦曲线求.
8.函数其中，的图象的一部分如图所示，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用图象中的2和6，求得函数的周期，求得ω，最后根据x＝2时取最大值，求得，即可得解．
【详解】如图根据函数的图象可得：函数的周期为（6﹣2）×4＝16，
又∵ω＞0，
∴ω，
当x＝2时取最大值，即2sin（2）＝2，可得：2＝2kπ，k∈Z，
∴＝2kπ，k∈Z，
∵0＜＜π，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了五点作图的应用和图象观察能力，属于基本知识的考查．
9.函数在上的零点个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的零点与方程的根，两函数图象交点的关系，即可由得到，再分别作出两函数的图象即可求出零点个数．
【详解】令，显然不是函数的零点，可得．
故作出函数和的图象，如图所示：在上有2个交点.
故选：A
【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根，两函数图象交点的关系的应用，以及利用导数作出函数的图象，意在考查学生的转化能力，属于中档题．
10.已知在直角三角形中，为直角，，，若是边上的高，点在内部或边界上运动，则的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图形几何特征分析向量数量积的最大值和最小值可能取得的条件，结合函数关系求值域.
【详解】
如图：在直角三角形中，为直角，，，所以，
建立直角坐标系如图所示：，直线的方程为：，
所以直线的方程：，所以，
点在内部或边界上运动，与夹角大于等于90°
由图可得：与夹角大于等于，
点在线段上时，，且为最大值，
点在线段上时，有最小值，设点，
.
综上所述：的取值范围是.
故选：D
【点睛】此题考查求向量数量积的取值范围，关键在于根据题意找准点所在位置，结合几何特征以及函数求解，体现数形结合的思想.
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11.______．
【答案】
【解析】
分析】
用诱导公式计算．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查诱导公式，属于基础题．
12.已知向量,，若,则实数______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据两向量平行可知,代入坐标即可求解.
【详解】解:因为向量,，且,
所以,解得.
故答案为:
【点睛】本题考查平面向量共线的基本定理及其坐标表示,是基础题.
13.已知角的终边经过点，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据三角函数定义，即可求解.
【详解】角的终边经过点，
由三角函数定义可知，，
故答案为：.
【点睛】本题考查根据终边经过的点求三角函数值，对三角函数定义理解和简单应用，属于基础题.
14.函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据分式有意义条件，结合余弦函数的性质即可求得定义域.
【详解】函数，
则定义域满足，
由余弦函数的性质可知，
所以定义域为，
故答案为：
【点睛】本题考查了函数定义域的求法，余弦函数性质的应用，属于基础题.
15.不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据余弦函数性质，结合不等式恒成立的解法，即可求得的取值范围.
【详解】因为不等式对任意恒成立，
所以只需，
由余弦函数性质可知，，则，
所以，即，
故答案为：.
【点睛】本题考查了余弦函数的性质，不等式恒成立问题解法，属于基础题.
16.已知函数满足，写出一个满足要求的函数的解析式______．
【答案】
【解析】
【分析】
由正弦函数性质，结合，可知满足，令可求得周期，进而由周期公式求得；再由正弦函数性质，由求得的值即可得一个满足要求的函数的解析式.
【详解】函数满足，
则，
不妨设，则，
解得，所以，
所以，
由可得，
不妨设，代入可得，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查了正弦函数性质的综合应用，由函数性质确定三角函数解析式，属于基础题.
三、解答题：本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.已知，求值：
（1） ；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）直接根据诱导公式即可得结果；
（2）分子、分母同时除以，将代入即可得到结果.
【详解】（1）；
（2）∵，
∴.
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题.
18.已知向量，与向量
（1）当为何值时，；
（2）当为何值时，求向量与向量的夹角；
（3）求的最小值以及取得最小值时向量的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）最小值3，．
【解析】
分析】
（1）由计算；
（2）由计算；
（3）由模的坐标运算表示出，然后由二次函数性质得结论．
【详解】（1），，所以时，；
（2）由题意，，所以；
（3）由已知，
所以，所以时，取得最小值3，此时．
【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，数量积的性质，向量垂直与向量数量积的关系，求向量的夹角、向量的模．掌握平面向量数量积的坐标运算是解题关键，本题属于中档题．
19.已知函数．
(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；
(2)求的单调递增区间；
(3)求在区间上的最大值和最小值及相应的的值．
【答案】(1)
1
0
-1
0
(2) ；
(3) 当时取最大值1,当时取最小值.
【解析】
【分析】
(1)根据五点作图法的方法,分别令,分别求出的值再描点即可.
(2)将代入正弦函数的单调递增区间求解即可.
(3)求解的范围,进而根据正弦函数的图形性质求解最值以及对应的的值即可.
【详解】(1)分别令可得：
1
0
-1
0
画出图像有：
(2) 的单调增区间：,解得,故单调增区间为.
(3)当时,故当,即时, 取最大值1；
当即时, 取最小值.
故当时取最大值1,当时取最小值.
【点睛】本题主要考查了五点作图法画三角函数图像的方法,同时也考查了正弦型函数的单调增区间以及最值的问题,属于中档题.
20.解关于的不等式：
（Ⅰ）若，解上述关于的不等式；
（Ⅱ）若，解上述关于的不等式．
【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）详见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ），得，化简得，然后求解即可
（Ⅱ）把化简得，，然后，对进行分类，
①，②，③，④，分类后逐个进行讨论并求解即可
【详解】解：（Ⅰ）把代入，得，化简得，
该不等式的解为：或
（Ⅱ）把化简得，，
①当时，不等式的解为
②，即，得，此时，不等式的解为或
③，即，得或，
当时，不等式的解为或，
当时，不等式的解为，
④，得，此时，，解得且
综上所述，当时，不等式的解为，
当时，不等式的解为
当时，不等式的解为或，
当时，不等式的解为且
当时，不等式的解为或
【点睛】本题考查不含参数和含参数的一元二次不等式的求解问题；关键是能够根据一元二次不等式和二次函数、一元二次方程之间的关系，分别在参数不同范围的情况下讨论一元二次方程根的大小，从而得到解集；属于难题