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- 2021-05-08 发布
三、分类与整合思想
分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合.
典例1 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＝(an－1＋2an－2)(n＝3,4，…)．数列{bn}满足b1＝1，bn(n＝2,3，…)是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有－1≤bm＋bm＋1＋…＋bm＋k≤1.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)记cn＝nanbn(n＝1,2，…)，求数列{cn}的前n项和Sn.
分析 由an＝(an－1＋2an－2)(n＝3,4，…)可构造新数列{an＋1－an}求得数列{an}通项，{bn}的通项公式主要利用不等式恒成立通过赋值发现规律．对于(2)要分n是奇数还是偶数来做．
解 (1)由an＝(an－1＋2an－2)，
得an－an－1＝－(an－1－an－2)(n≥3)，
又a2－a1＝1≠0，
∴数列{an＋1－an}是首项为1，公比为－的等比数列，
an＋1－an＝n－1，
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)
＝1＋1＋＋2＋…＋n－2
＝1＋＝－n－1，
由得b2＝－1，
由得b3＝1，
…，
同理可得当n为偶数时，bn＝－1；当n为奇数时，bn＝1.
因此bn＝
(2)cn＝nanbn＝
Sn＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋cn，
当n为奇数时，
Sn＝－
＝－，
当n为偶数时，
Sn＝－
＝－－
，
令Tn＝1×0＋2×1＋3×2＋4×3＋…＋nn－1，①
①×得Tn＝1×1＋2×2＋3×3＋4×4＋…＋nn，②
①－②得Tn＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋n－1－nn
＝－nn＝3－(3＋n)n，
∴Tn＝9－(9＋3n)n.
因此Sn＝
点评 对于(2)中的求解难点有二：一是数列{cn}的通项公式是分段函数，求其前n项和，对n分奇数或偶数的含义是什么要清楚，当n为奇数时，表示Sn＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋cn最后一项是奇数项，而不是指Sn＝S1＋S3＋…＋Sn.同样当n为偶数时表示Sn＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋cn最后一项是偶数项，而不是指Sn＝S2＋S4＋…＋Sn.
二是n分奇数或偶数后对中括号中数据的观察处理要类比．不然项数和符号都会出错．
典例2 已知函数f(x)＝m＋2ln x(m∈R)．
(1)若m＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
分析 对于第2问求导后转化为二次函数问题讨论．
解 (1)当m＝1时，函数f(x)＝x－＋2ln x，
函数的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝，
所以f(1)＝0，f′(1)＝4，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
4x－y－4＝0.
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.
①当m≥0时，f′(x)＞0对x∈(0，＋∞)恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当m＜0时，
若m≤－1，f′(x)≤0对x∈(0，＋∞)恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
若－1＜m＜0，由f′(x)＝0，得x1＝，x2＝，且0＜x1＜x2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以f(x)在和上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当m≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当m≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－1＜m＜0时，f(x)在和上单调递减，在上单调递增．
点评 分类讨论思想在解决导数中的参数问题时的常见类型
(1)含参数的函数的单调性问题：对于含参数的不等式，应注意分类讨论的原因、标准、顺序．如一元二次不等式，应按“开口方向→相应方程有无实根→根的大小”进行讨论．
(2)含参数的函数的极值(最值)问题：常在以下情况下需要分类讨论：①
导数为零时自变量的大小不确定需要讨论；②导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论；③端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论；④参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论．
(3)含参数的函数的零点个数问题：常需要根据参数与极值的大小关系分类讨论．
从上面的例题可以看出分类与整合思想解题思路如下：
1．分类原则：(1)所讨论的全域要确定，分类要“既不重复，也不遗漏”；(2)在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；(3)对多级讨论，应逐级进行，不能越级．
2．讨论的基本步骤：(1)确定讨论的对象和讨论的范围(全域)；(2)确定分类的标准，进行合理的分类；(3)逐步讨论(必要时还得进行多级分类)；(4)总结概括，得出结论．
跟踪演练
1．一条直线过点(5,2)，且在x轴，y轴上截距相等，则这直线方程为________．
答案 x＋y－7＝0或2x－5y＝0
解析 设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，
当a＝0时，直线过原点，此时直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；
当a≠0时，设直线方程为＋＝1，则求得a＝7，方程为x＋y－7＝0.
2．已知函数f(x)＝满足f(a)＝3，则f(a－5)的值为________．
答案
解析 分两种情况分析：
①或者②，
①无解，由②得a＝7，
所以f(a－5)＝f(2)＝22－3＋1＝.
3．已知函数f(x)＝(m－3)x3＋9x.
(1)若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是单调函数，求m的取值范围；
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上的最大值为4，求m的值．
解 (1)由题意得f′(x)＝3(m－3)x2＋9，
因为f′(0)＝9>0，
所以f(x)在区间(－∞，＋∞)上只能是单调增函数．
由f′(x)＝3(m－3)x2＋9≥0在区间(－∞，＋∞)上恒成立，可知m≥3.
故m的取值范围是[3，＋∞)．
(2)当m≥3时，f(x)在[1,2]上是增函数，
所以f(x)max＝f(2)＝8(m－3)＋18＝4，
解得m＝<3，不合题意，舍去．
当m<3时，由f′(x)＝3(m－3)x2＋9＝0，得x＝± .
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
①当 ≥2，即≤m<3时，
[1,2]⊆，
所以f(x)在区间[1,2]上单调递增，f(x)max＝f(2)＝8(m－3)＋18＝4，解得m＝，不合题意，
舍去．
②当1< <2，即0