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- 2021-05-07 发布
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2019—2020学年度上期期中考试
高一数学试卷（宏）
第Ⅰ卷选择题（共60分）
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)。
1.若全集，则集合等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：是都没有元素，故为.
考点：集合交集、并集和补集.
【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.在求交集时注意区间端点的取舍.熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.
2.下列幂函数中过点的偶函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
对于幂函数,由于经过,则；再根据偶函数的性质对选项进行逐一分析即可
【详解】由题,对于幂函数,由于经过,则,故排除选项B；
对于选项A,定义域为,故不是偶函数；
对于选项D,,是奇函数；
对于选项C,,是偶函数；
故选C
【点睛】本题考查幂函数的奇偶性,考查幂函数所过定点的应用,属于基础题
3.下列函数中，在区间上是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：B，C，D在上为减函数，故选A.
考点：函数的单调性.
4.函数的图象必经过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
令,解得,代回即可得到函数值,进而得到所过定点
【详解】令,解得,当时,,所以图象恒过
故选D
【点睛】本题考查指数函数的特殊点,令指数部分等于0是解题关键
5.函数定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据解析式可得不等关系为,求解即可
【详解】由题,可得,,且,
即
故选D
【点睛】本题考查函数定义域,考查解不等式,考查解一元二次方程
6.三个数的大小顺序为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：，所以.
考点：比较大小.
7.方程的解所在区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】令，则，
所以零点在区间.
方程的解所在区间是，故选D.
8.已知奇函数的定义域为，当时，
，则函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
当时,将函数写为分段函数形式得, ,即可得到的图象,再利用函数是奇函数得到另一半的图象即可
【详解】由题,当时,
在上单调递减,且当时,函数的变化越来越平缓，图象为向上凸；
在上单调递增,且当时,函数的变化越来越平缓, 图象为向上凸；
又是奇函数,关于原点对称,
故选B
【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查分段函数,考查对数函数的图象
9.已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
试题分析：根据函数的定义域和单调性，有，解得.
考点：函数的单调性.
10.设为奇函数，且在（-∞，0）内是减函数，f（2）=0，则的解集为（ ）
A. （-∞，-2）∪（2，+∞） B. （-∞，2）∪（0，2）
C. （-2，0）∪（2，+∞） D. （-2，0）∪（0，2）
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性与单调性，结合函数图象求解即可.
【详解】
为奇函数，且在内减函数，
所以函数在上单调递减．
，
故函数的图象如图所示：
则由，可得，
即和异号，
由图象可得，或，
的解集为，故选A．
【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.
11.已知函数（且）在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：由于函数在上单调递增，所以，解得.
考点：函数的单调性.
12.定义运算为：，如，则函数且的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设,则,再分别讨论当和时的函数关系,即可求得的范围,进而求得的值域
【详解】设,则
当时,；当时,
故选D
【点睛】本题考查新定义函数,考查分段函数,考查函数的值域
第Ⅱ卷非选择题（共90分）
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在答题卡指定位置上)。
13.设集合，集合，则 .
【答案】
【解析】
试题分析：由于两个集合的元素是点的坐标，所以两个集合的交集是两条直线的交点，联立，解得交点为.
考点：集合交集.
14.函数的单调递增区间为___________．
【答案】
【解析】
试题分析：先求定义域，解得，由于函数开口向下，对称轴为，根据复合函数单调性同增异减可知，函数在区间上单调递增.
考点：复合函数单调性.
【思路点晴】本题主要考查复合函数的单调性.本题函数是对数函数和二次函数符合而成的函数，因此，根据对数函数的定义，首先求函数的定义域，即令，解得.然后求得内部函数的对称轴为，该函数左增右减，根据复合函数单调性同增异减，对数函数是减函数，故函数在区间上单调递增.
15.已知函数是定义在区间上的偶函数，则函数的值域为__________.
【答案】
【解析】
【详解】试题解析：∵函数在区间上的偶函数
∴，
∴即
考点：本题考查函数性质
点评：解决本题的关键是利用函数奇偶性，定义域关于原点对称
16.一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．
①三棱锥； ②四棱锥； ③三棱柱； ④四棱柱； ⑤圆锥； ⑥圆柱．
【答案】①②③⑤
【解析】
【详解】
故答案为①②③⑤.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)。
17.设集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）时，，所以；（2）当时；当时或，解得或.综上.
试题解析：
（1）当时，
（2）若，分两种情况讨论：
，，则
，解得或
综上，的取值范围是
考点：子集、集合交集.
18.计算：（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【详解】（1）原式；（2）原式.
19.如图所示，画出下列组合体的三视图．
【答案】详见解析．
【解析】
【分析】
根据几何体的三视图的规则，即可得到几何体的三视图.
【详解】三视图如图①②所示．
【点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.
20.已知是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求出的解析式，并画出函数图象；
（2）求出函数在上的值域．
【答案】（1），图象详见解析；（2）[-1,3].
【解析】
【分析】
（1）当时,,将代入中,再利用,即可求出解析式,进而画出图象即可；
（2）根据图象判断函数单调性,进而得到值域
【详解】解：（1）由题意,当时,,
,
,
又,
综上, ,
由解析式得到图象如下：
(2)由图知,函数在上单调递减,在上单调递增,则在上,
当时,；当时,,
在上,
函数在上的值域是
【点睛】本题考查利用奇偶性求解析式,考查函数的图象,考查利用函数图象单调性求值域
21. 某种新产品投放市场的100天中，前40天价格呈直线上升，而后60天其价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表：
时间
第4天
第32天
第60天
第90天
价格（千元）
23
30
22
7
（1）写出价格关于时间的函数关系式；（表示投放市场的第天）；
（2）销售量与时间的函数关系：，则该产品投放市场第几天销售额最高？最高为多少千元？
【答案】（1）；（2）第天和第天，最高销售额为（千元）.
【解析】
试题分析：（1）直线上升或直线下降都是直线方程，利用直线方程两点式求出两段函数的解析式；（2）价格乘以销售量等于销售额，销售额是二次函数，利用二次函数的对称轴求出最大值.
试题解析：
（1）由题意，设
同样设
(2)
设该产品的日销售额为
此时当
此时
综上，销售额最高在第10天和第11天，最高销售额为808.5（千元）
考点：函数应用问题.
【方法点晴】对函数应用问题的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现.对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度：(1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；(2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数.应用问题首要问题是阅读问题，将实际问题转化为函数问题来求最优解.
22.已知定义域为的函数是奇函数，
（1）求的值；
( 2) 判断并证明函数的单调性；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）（2）单调递减，（3）
【解析】
【详解】（1）
，,
或，因为定义域为，所以
（2）因为，所以是单调递减的.
证明：设,因为所以从而，所以在上是单调递减的.
（3）又是奇函数，又是减函数，，即
考点：函数奇偶性及单调性