2019届二轮复习规范答题示例6　直线与圆锥曲线的位置关系学案（全国通用） 3页

规范答题示例6　直线与圆锥曲线的位置关系 典例6　(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点在椭圆C上．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.‎ ‎①求的值；②求△ABQ面积的最大值．‎ 审题路线图　(1)―→ ‎(2)①―→ ‎② ‎―→―→ 规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板 解　(1)由题意知＋＝1.又＝，‎ 解得a2＝4，b2＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.2分 ‎(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎①设P(x0，y0)，＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0).‎ 因为＋y＝1，又＋＝1，即＝1，‎ 所以λ＝2，即＝2.5分 ‎②设A(x1，y1)，B(x2，y2).将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，‎ 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，‎ 由Δ>0，可得m2<4＋16k2，(*)‎ 第一步 求圆锥曲线方程：根据基本量法确定圆锥曲线的方程.‎ 第二步 联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立得到方程：Ax2＋Bx＋C＝0，然后研究判别式，利用根与系数的关系得等式.‎ 第三步 找关系：从题设中寻 则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 所以|x1－x2|＝.‎ 因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，‎ 所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|＝ ‎＝＝2.8分 设＝t，将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，‎ 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，‎ 由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.(**)‎ 由(*)(**)可知00”和“Δ≥0”者，每处扣1分；联立方程消元得出关于x的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分；求最值时，不指明最值取得的条件扣1分．‎ 跟踪演练6　(2018·全国Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2，0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．‎ ‎(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；‎ ‎(2)证明：∠ABM＝∠ABN.‎ ‎(1)解　当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，－2)．‎ 所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.‎ 即x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0.‎ ‎(2)证明　当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，‎ 所以∠ABM＝∠ABN.‎ 当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，‎ M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.‎ 由得ky2－2y－4k＝0，‎ 显然方程有两个不等实根．‎ 所以y1＋y2＝，y1y2＝－4.‎ 直线BM，BN的斜率之和kBM＋kBN＝＋＝.①‎ 将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，‎ 可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0.‎ 所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，‎ 所以∠ABM＝∠ABN.综上，∠ABM＝∠ABN.‎