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- 2021-05-07 发布
11− x
y
o
1y =
10
函数性质的综合运用
1.函数 的图像与函数 （ ）的图像所有交点的横坐标之和等
于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
2.已知函数 的周期为 2，当 时函数 ，那么函数 的
图像与函数 的图像的交点共有( )
A．10 个 B．9 个 C．8 个 D．1 个
【答案】A
【解析】考查数形结合思想，在同一直角坐标系中作出两个函数的图像，故下图．容易判断
出两函数图像的交点个数为 10 个，故选择 ．
3.已知函数 若 互不相等，且 则 的
取值范围是
1
1y x
= − 2siny xπ= 2 4x− ≤ ≤
( )y f x= [ 1,1]x∈ − 2( )f x x= ( )y f x=
lgy x=
A
| lg |,0 10,
( ) 1 6, 10.2
x x
f x
x x
< ≤= − + >
, ,a b c ( ) ( ) ( ),f a f b f c= = abc
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】命题意图：本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的
能力.作出函数 的图象如右图，
不妨设 ，则
则 .应选 C.
4. 设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 最小值为（ ）
5. 设函数 f(x)=
(x + 1)2 + sinx
x2 + 1 的最大值为 M，最小值为 m，则 M+m=____
答案： 2
解析：
设 为 奇 函 数 ， 由 奇 函 数 图 像 的 对 称 性 知
考点定位：本题考查函数的性质,奇函数性质的应用，考查学生的转化能力.
(1,10) (5,6) (10,12) (20,24)
( )f x
a b c< < 1lg lg 10 (0,1)2a b c− = = − + ∈
(10,12)abc c= ∈
P 1
2
xy e= Q ln(2 )y x= PQ
2
2 2
( 1) sin 2 sin( ) 1 ,1 1
x x x xf x x x
+ + += = ++ +
2
2 sin( ) , ( ) ( ), ( )1
x xg x g x g x g xx
+= − = − ∴+
max min
max min max min
( ) ( ) 0,
[ ( ) 1] [ ( ) 1] 2 ( ) ( ) 2.
g x g x
M m g x g x g x g x
+ =
∴ + = + + + = + + =
O 1 1210 x
y
【最新考纲解读】
1．函数与方程
①结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与
方程根的联系．
②根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解
的常用方法．
2．函数模型及其应用
①比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数
增长等不同函数类型增长的含义．
②收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的
实例，了解函数模型的广泛应用．
3.函数性质主要是单调性、奇偶性的考查，有时也涉及周期性．要求考生会利用单调性比较
大小，求函数最值与解不等式，并要求会用定义证明函数的单调性．新课标对函数的奇偶性
要求降低了很多，故应重点掌握其基本概念和奇偶函数的对称性．
4.函数的图象主要是在选择与填空题中考查用数形结合法解题和识图能力，大题常在应用题
中给出图象据图象求解析式．
5．函数与方程、函数的应用主要考查：
(1)零点与方程实数解的关系．
(2)函数的概念、性质、图象和方法的综合问题．
(3)导数与零点的结合；方程、不等式、数列与函数的综合问题．
(4)函数与解析几何知识的综合问题．
(5)常见基本数学模型，如分段函数，增长率、幂、指、对等．
【回归课本整合】
1.函数的奇偶性.
（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性
时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.
（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶
性 ） ：①定义法；②利用函数奇偶性定义的等价形式： 或
（ ）.③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 轴对称.
（3）函数奇偶性的性质：
①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对
称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.
③若 为偶函数，则 .
④若奇函数 定义域中含有 0，则必有 .
2. 函数的单调性
1.函数单调性的定义：
（1）如果函数 对区间 内的任意 ，当 时都有 ，则 在
内是增函数；当 时都有 ，则 在 内是减函数.
（2）设函数 在某区间 内可导，若 ，则 在 D 内是增函数；若
，则 在 D 内是减函数.
单调性的定义（1）的等价形式：
( ) ( ) 0f x f x± − = ( ) 1( )
f x
f x
− =±
( ) 0f x ≠ y
( )f x ( ) ( ) (| |)f x f x f x− = =
( )f x (0) 0f =
( )xf D 21, xx 21 xx < ( ) ( )21 xfxf < ( )xf D
21 xx < ( ) ( )21 xfxf > ( )xf D
( )y f x= D ( ) 0f x′ > ( )y f x=
( ) 0f x′ < ( )y f x=
2.
设 ，那么 在 上是增函数；
在 上是减函数；
证明或判断函数单调性的方法：
(1)定义法：设元 作差 变形 判断符号 给出结论.其关键是作差变形，为了便于判断
差的符号，通常将差变成因式连乘积、平方和等形式，再结合变量的范围，假设的两个变量
的大小关系及不等式的性质作出判断；
(2)复合函数单调性的判断方法：即“同增异减”法，即内层函数和外层函数的单调性相同，
则复合函数为增函数；若相反，则复合函数为减函数.解决问题的关键是区分好内外层函数，
掌握常用基本函数的单调性；
（3）图象法：利用数形结合思想，画出函数的草图，直接得到函数的单调性；
（4）导数法：利用导函数的正负来确定原函数的单调性，是最常用的方法.
（5）利用常用结论判断：
①奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；
②互为反函数的两个函数具有相同的单调性；
③在公共定义域内，增函数 增函数 是增函数；减函数 减函数
是减函数；增函数 减函数 是增函数；减函数 增函数 是减函
数;
③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，特别提醒：求单调区间时，勿忘定义域，
3. 函数的周期性.
（1）类比“三角函数图像”得：
①若 图像有两条对称轴 ，则 必是周期函数，且一周期
为 ；
②若 图像有两个对称中心 ，则 是周期函数，且一周
期为 ；
③如果函数 的图像有一个对称中心 和一条对称轴 ，则函数
必是周期函数，且一周期为 ；
（2）由周期函数的定义“函数 满足 ，则 是周期为 的周
期函数”得：函数 满足 ，则 是周期为 2 的周期函数。
4. 函数的对称性.
①满足条件 f(a+x)=f(b-x) 的函数的图象关于直线 对称.
②点 关于 轴的对称点为 ；函数 关于 轴的对称曲线方程为
；
③点 关于 轴的对称点为 ；函数 关于 轴的对称曲线方程为
；
④点 关于原点的对称点为 ；函数 关于原点的对称曲线方程为
；
⑤点 关于直线 的对称点为 ；曲线 关于直线 的对称曲
线的方程为 ；点 关于直线 的对称点为 ；曲线
关于直线 的对称曲线的方程为 ；
⑥曲线 关于点 的对称曲线的方程为 ；
[ ]baxx ,, 21 ∈ ( ) ( ) ( )xfxx
xfxf ⇔>−
−
0
21
21 [ ],a b
( ) ( ) ( )xfxx
xfxf ⇔<−
−
0
21
21 [ ],a b
3.
→ → → →
+)(xf )(xg +)(xf )(xg
−)(xf )(xg −)(xf )(xg
( )y f x= , ( )x a x b a b= = ≠ ( )y f x=
2 | |T a b= −
( )y f x= ( ,0), ( ,0)( )A a B b a b≠ ( )y f x=
2 | |T a b= −
( )y f x= ( ,0)A a ( )x b a b= ≠
( )y f x= 4 | |T a b= −
( )f x ( ) ( )xafxf += ( 0)a > ( )f x a
( )f x ( ) ( )xafxf +=− ( )f x a
2
a bx
+=
( , )x y y ( , )x y− ( )xfy = y
( )xfy −=
( , )x y x ( , )x y− ( )xfy = x
( )xfy −=
( , )x y ( , )x y− − ( )xfy =
( )xfy −−=
( , )x y y x= ( , )y x ( , ) 0f x y = y x=
( , )f y x 0= ( , )x y y x= − ( , )y x− − ( , ) 0f x y =
y x= − ( , ) 0f y x− − =
( , ) 0f x y = ( , )a b (2 ,2 ) 0f a x b y− − =
⑦形如 的图像是双曲线，其两渐近线分别直线
(由分母为零确定)和直线 (由分子、分母中 的系数确定)，对称中心是点 ；
⑧ 的图象先保留 原来在 轴上方的图象，作出 轴下方的图象关于 轴的对
称图形，然后擦去 轴下方的图象得到； 的图象先保留 在 轴右方的图象，擦去
轴左方的图象，然后作出 轴右方的图象关于 轴的对称图形得到.
5. 常见的图象变换
①函数 的图象是把函数 的图象沿 轴向左平移 个单位得到
的.
②函数 ( 的图象是把函数 的图象沿 轴向右平移 个单位得到
的.
③函数 + 的图象是把函数 助图象沿 轴向上平移 个单位得到
的；
④函数 + 的图象是把函数 助图象沿 轴向下平移 个单位得到
的；
⑤函数 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来的 得到的.
⑥函数 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来的 倍得到的.
⑦ 的图象先保留 原来在 轴上方的图象，作出 轴下方的图象关于 轴的对称图
形，然后擦去 轴下方的图象得到； 的图象先保留 在 轴右方的图象，擦去
轴左方的图象，然后作出 轴右方的图象关于 轴的对称图形得到.
特殊函数图象:
(1)函数 :可由反比例函数 图象平移、伸缩得到.图 1
示例.
①图象是双曲线,两渐近线分别直线 (由分母为零确定)和直线 (由分子、分母中
的系数确定)；
②对称中心是点 .
(2)函数 ：如图 2.
①图象类似“对号”，俗称对号函数.定义域 ；
②函数的值域为 ；
③函数为奇函数，图象关于原点对称；
④增区间为 ,减区间为 .
6.函数的零点
（1）一般地，如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
f(a)·f(b)<0，那么函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使 f(c)＝0，这
个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．我们称方程 f(x)＝0 的实数根 x 叫做函数 y＝f(x)(x∈D)的零
点．
( 0, )ax by c ad bccx d
+= ≠ ≠+
dx c
= −
ay c
= x ( , )d a
c c
−
| ( ) |f x ( )f x x x x
x (| |)f x ( )f x y
y y y
( )axfy += )0( >a ( )xfy = x a
( )axfy += )0( a ( )xfy = y a
( )xfy = a )0( a ( )xfy = x a
1
( )xafy = )0( >a ( )xfy = y a
| ( ) |f x ( )f x x x x
x (| |)f x ( )f x y y
y y
( 0, )ax b
cx dy c ad bc+
+
= ≠ ≠ ( 0)ky kx
= ≠
d
cx = − a
cy =
x
( , )d a
c c
−
( 0, 0)by ax a bx
= + > >
}0|{ ≠xx
),2[]2,( +∞∪−−∞ abab
( , ],[ , )b b
a a
−∞ − +∞ , ,[ ,0),(0 ]b b
a a
− x
y
o
图 2
dx c
= −
ay c
=
x
y
o
图 1
（2）函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的实数根，也就是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴交点的
横坐标，即方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)有零点⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交
点．
（3）函数 F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程 f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数 y＝f(x)的图象与函
数 y＝g(x)的图象交点的横坐标．
一般地，对于不能使用公式求根的方程 f(x)＝0，我们可以将它与函数 y＝f(x)联系起来，利用
函数的图象、性质来求解．
【方法技巧提炼】
1.研究函数的性质要特别注意定义域优先原则
（1）具有奇偶性的函数定义域的特征：定义域关于原点对称.为此确定函数的奇偶性时，务
必先判定函数定义域是否关于原点对称.
（2）讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，
函数的单调区间是定义域的子集.
（3）讨论函数的周期性，一般情况下定义域是无限集.所以判断函数是否为周期函数，要在
整个定义域上观察函数的图象.如求函数 的周期,如果只观察 y 轴一侧的图象得到周
期为 那就错了，因为函数图象关于 y 轴对称，从整体看它不是周期函数.
2. 函数的单调性
（1）定义法和导数法的选择
在解答题中，只能应用定义法或导数法证明函数的单调性.定义法作为基本方法，但是证
明过程有时比较繁琐；而导数法显得操作性比较强，对函数求导后判断导函数的正负即可.因
此导数法是我们证明函数单调性的首选方法.
（2）函数 单调性总结：
①若 ，单调区间：增区间 ，减区间 ；
②若 ，单调区间：减区间 ，增区间 ;
③若 ，由于 ，单调性：增区间 ;
④若 ，由于 ，单调性：减区间 .
3.抽象函数的对称性和周期性
（1）对于函数 ( ),若 恒成立,则函数 的对称轴是
.
（2）若已知定义域在 R 上的函数的对称轴、对称中心，如何确定函数的周期？可类比“三角
函数图象”得：
①若 图象有两条对称轴 ，则 是周期函数，且周期为
；
②若 图象有两个对称中心 ，则 是周期函数，且周期
siny x=
2π
)0,0( ≠≠+= bax
baxy
0,0 >> ba , ,b b
a a
−∞ − +∞
, ,0 0b b
a a
−
, ，
0,0 << ba ),[],( +∞−−∞
a
b
a
b 和 ],0()0,[ a
b
a
b 和−
0,0 <> ba 0)( 2
>−=′+
x
bax
bax ),0()0,( ∞−∞ 和
0,0 >< ba 0)( 2
<−=′+
x
bax
bax ),0()0,( +∞−∞ 和
)(xfy = Rx ∈ ( ) ( )f a x f b x+ = − )(xf
2
bax
+=
( )y f x= , ( )x a x b a b= = ≠ ( )y f x=
2 | |T a b= −
( )y f x= ( ,0), ( ,0)( )A a B b a b≠ ( )y f x=
为 ；
③如果函数 的图象有一个对称中心 和一条对称轴 ，则函数
是周期函数，且周期为 .
注意这里面提到的周期不一定是函数的最小正周期.这个知识点经常和函数的奇偶性联系到
一起，已知函数为奇函数，意味着函数的图象关于原点对称；已知函数为偶函数，意味着函
数的图象关于 y 轴对称.然后再推到函数的周期.
(3)若已知类似函数周期定义式的恒等式，如何确定函数的周期？由周期函数的定义，采用迭
代法可得结论：
①函数 满足 ，则 是周期为 2 的函数；
②若 恒成立，则 ；
③若 ，则 ；
④ ，则 .
4.如何利用函数的解析式判断函数的图象
利用函数的解析式判断函数的图象,可从下面几个角度去考虑：
（1）讨论函数的定义域及函数的奇偶性和单调性；
（2）考虑是否可由基本初等函数的图象变换作出图象；
（3）准确描出关键的点线(如图象与 x、y 轴的交点，极值点(顶点)，对称轴，渐近线，等
等).
5. 如何转换含有绝对值的函数
对含有绝对值的函数，解题关键是如何处理绝对值，一般有两个思路：一是转化为分段函
数：利用分类讨论思想，去掉绝对值，得到分段函数.二是利用基础函数变换：首先得到基础
函数，然后利用 y=f(x)→y=f(|x|)或 y=f(x)→y=|f(x)|，得到含有绝对值函数的图象.
6.平移变换中注意的问题
函数图象的平移变换，里面有很多细节，稍不注意就会出现差错.所以要从本质深
入理解，才不至于模棱两可.(1)左右平移仅仅是相对 而言的，即发生变化的只是
本身，利用“左加右减”进行操作.如果 的系数不是 1，需要把系数提出来，再
进行变换;
(2)上下平移仅仅是相对 而言的，即发生变化的只是 本身，利用“上减下加”进行操作.
但平时我们是对 中 操作，满足“上加下减”;
7.函数图象的主要应用
函数图象的主要应用非常广泛，常见的几个应用总结如下：
（1）利用函数图象可判断函数的奇偶性，求函数的单调区间、对称轴、周期等函数的性
质；
（2）利用函数 和 图象的交点的个数，可判断方程 = 根的个数；
2 | |T a b= −
( )y f x= ( ,0)A a ( )x b a b= ≠
( )y f x= 4 | |T a b= −
( )f x ( ) ( )f a x f x+ = − ( )f x a
1( ) ( 0)( )f x a af x
+ = ± ≠ 2T a=
( ) ( )f x a f x a+ = − 2T a=
1 ( )( ) 1 ( )
f xf x a f x
−+ = − + 4T a=
x
x x
y y
( )y f x= ( )f x
( )f x ( )g x ( )f x ( )g x
（3）利用函数 和 图象上下位置关系，可直观的得到不等式 或
的解集：当 的图象在 的图象的上方时，此时自变量 的范围便是不等式
的解集；当 的图象在 的图象的下方时，此时自变量 的范围便是不等
式 的解集.
8.函数零点的求解与判断
判断函数 y＝f(x)在某个区间上是否存在零点，常用以下方法：(1)解方程：当对应方程易解
时,可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理进行判断；
(3)通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断．
9.函数零点的综合应用
函数零点的应用主要体现了函数与方程的思想,函数与方程虽然是两个不同的概念，但它
们之间有着密切的联系，方程 f(x)＝0 的解就是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标，函
数 y＝f(x)也可以看作二元方程 f(x)－y＝0，然后通过方程进行研究．许多有关方程的问题可以
用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决，函数与方程的思想是
中学数学的基本思想．
【考场经验分享】
1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是
函数具有奇偶性的一个必要条件．
2．判断函数 f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个 x，均有 f(－x)＝－f(x)．而不能说存在
x0 使 f(－x0)＝－f(x0)．对于偶函数的判断以此类推．
3.在解决函数性质有关的问题中，如果结合函数的性质画出函数的简图，根据简图进一步研
究函数的性质，就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了，对问题的解决有
很大的帮助.
（1）一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大，然后利用函数的奇偶性调
整正负号，最后利用函数的单调性判断大小；
（2）画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置，然后利用单调性确定一段区间的图
象，再利用奇偶性确定对称区间的图象，最后利用周期性确定整个定义域内的图象.
4.把握函数的零点应注意的问题
(1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．
(2)函数的零点也就是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标．
(3)一般我们只讨论函数的实数零点．
(4)函数的零点不是点，是方程 f(x)＝0 的根．
5.本热点常常命制成压轴的选择题，故难度较大，需要较强的解题能力和知识综合应用能力.
涉及的数学思想丰富多样，故基础性的学生不易花费过多的时间，能力不够可适当放弃.另外，
如果以抽象函数为背景，可采用抽象问题具体化得思路进行求解.如果涉及到范围问题的确定，
可选择特指进行代入验证的方法求解.
【新题预测演练】
1.函数 的零点的个数为（ ）
( )f x ( )g x ( )f x ( )g x> ( )f x
( )g x< ( )f x ( )g x x
( )f x ( )g x> ( )f x ( )g x x
( )f x ( )g x<
( ) 2 lg( 1) 2xf x x= + + −
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B
【解析】方法 1：∵ ，∴ 在 内必有一个零点．又∵ 在
上为增函数，∴ 有且仅有 1 个零点．
方法 2：由 得 ．作出函数 与 的图象，知两
函数的图象有且仅有一个交点，即方程 有且仅有一个根，即函数 有且仅有一个零
点．
2.方程 有解，则 的最小值为
A.2 B.1 C. D.
3.设 a 是函数 的零点，若 ，则 的值满足（ ）
A． B． C． D． 的符号不确定
【答案】B
【解析】画出 与 的图像可知当 时， ，故
4.若函数 f(x) （ ）是奇函数，函数 g(x) （ ）是偶函数，则（ ）
A．函数 f[g(x)]是奇函数 B．函数 g[f(x)]是奇函数
C．函数 f(x)g(x)是奇函数 D．函数 f(x)+g(x)是奇函数
【答案】C
【解析】令 ，则 故 是偶函数；
令 ，则 ，故 是偶
函数；令 ，则 ，故
是奇函数；令 ，则 ，故不一定是奇函数.
(0) 1 0, (1) lg 2 0f f= − < = > ( )f x (0,1) ( )f x
( 1, )− +∞ ( )f x
( ) 0f x = lg( 1) 2 2xx + = − + ( ) lg( 1)g x x= + ( ) 2 2xh x = − +
( ) 0f x = ( )f x
xa x +=− 2)2(log
2
1 a
2
3
2
1
1
2
( ) 2 logxf x x= − ox a> ( )of x
( ) 0of x = ( ) 0of x > ( ) 0of x < ( )of x
2xy = 1
2
logy x= 0x >a 1
2
2 logx> x 0( ) 0f x >
x R∈ x R∈
( ) [ ( )]F x f g x= ( ) [ ( )] [ ( )]F x f g x f g x− = − = ( ) [ ( )]F x f g x=
( ) [ ( )]G x g f x= ( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )]G x g f x g f x g f x− = − = − = ( ) [ ( )]G x g f x=
( ) ( ) ( )P x f x g x= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P x f x g x f x g x− = − − = − ( ) ( ) ( )P x f x g x=
( ) ( ) ( )Q x f x g x= + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Q x f x g x f x g x− = − + − =− +
5.方程 有解，则 的最小值为
A.2 B.1 C. D.
【答案】B
【解析】方程 等价为 ，
即 ，当且仅当 ，即 ，
取等号，所以选 B.
6. 已知函数 在 上是增函数， ，若 ，则 的取值范
围是
A． B．
C． D．
7.已知 是定义在 R 上的奇函数，且是以 2 为周期的周期函数，若当 时，
，则 的值为（ ）
A． B．-5 C． D．-6
【答案】C
【解析】∵ ∴ ，即
∵ 是周期为 2 的奇函数,
∴ .
)(xf ),0[ +∞ )1()(lg gxg > x
),10( +∞ )10,10
1(
)10,0( ),10()10
1,0( +∞
( )f x [ )0,1x∈
( ) 2 1xf x = − 1
2
(log 6)f
5
2
− 1
2
−
( )f x
xa x +=− 2)2(log
2
1 a
2
3
2
1
xa x +=− 2)2(log
2
1
21( ) 22
x xa+ = −
21 1 1 1 12 ( ) 2 2 2 12 4 2 4 2
x x x x
x xa += + = + × ≥ × × = 1 12 4 2
x
x
= × 12 2
x =
1x = −
( ) ( )g x f x= −
1
2
3 log 6 2− < < − 1
2
1 log 6 2 0− < + < 1
2
31 log 02
− < <
2
3log 2
1 1 1 2
2 2 2
3 3 3 1(log 6) (log ) ( log ) (log ) (2 1)2 2 2 2f f f f= = − − = − = − − = −
8. 已知 是定义在 R 上的奇函数，且是以 2 为周期的周期函数，若当 时，
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，∴ 即
∵f(x)是周期为 2 的奇函数
∴
9.若定义在 R 上的偶函数 满足 ，且当 时， 则方程
的解个数是（ ）
A．0 个 B．2 个 C．4 个 D．6 个
10. 已 知 函 数 是 R 上 的 偶 函 数 ， 若 对 于 ， 都 有
，则 的值为
A. B. C.1 D.2
【答案】C
【解析】由函数 是 上的偶函数及 时 得
11. 已 知 函 数 是 上 的 奇 函 数 且 满 足 ， 则
的值为
( )f x 0x ≥ ( 2 ( )f x f x+ =）
( )f x [0,1)x∈
( ) 2 1xf x = − 1
2
(log 6)f
5
2
− 5− 1
2
− 6−
1
2
3 log 6 2− < < − 1
2
1 log 6 2 0− < + < 1
2
31 log 02
− < <
2
3log 2
1 1 1 2
2 2 2
3 3 3 1(log 6) (log ) ( log ) (log ) (2 1)2 2 2 2f f f f= = − − = − = − − = −
( )f x ( 2) ( )f x f x+ = [0,1]x∈ ( ) ,f x x=
3( ) log | |f x x=
( )f x 0x ≥ ( ) ( )2 ,f x f x+ = 且
[ ) ( ) ( )20,2 , log 1x f x x∈ = +当 时 ( ) ( )2013 2012f f− +
2− 1−
R
2 2( 2013) (2012) (2013) (0) (1) (0) log 2 log 1 1.f f f f f f− + = + = + = + =
( )y f x= x R∈ ( 5) ( ), ( 1) ( )f x f x f x f x+ ≥ + ≤
(2013)f
A.0 B 1 C. 2 D.4
【答案】A
【解析】∵ ∴
∴5 为函数 的一个周期，∴
∴ ，1 为函数 的一个周期，∴
12.已知函数 ， ，给出下
列结论：
①函数 f(x)的值域为 ；②函数 g(x)在[0，1]上是增函数；
③对任意 a>0，方程 f(x)=g(x)在[0，1]内恒有解；④若存在 ，使得
成立，则实数 a 的取值范围是 .其中所有正确结论的序号是
__________.
13.已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x＋1）＝－f（x）。当 x ［0,1］时，f（x）＝ －x，
若 g（x）＝f（x）－m（x＋1）在区间（－1,2］有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是
（A）（－ ， ） （B）（－ ， ］ （C） （D）
【答案】B
∈
( ) ( 1) ( 2) ( 5) ( )f x f x f x f x f x≥ + ≥ + ≥ ≥ + ≥ ( 5) ( )f x f x+ =
( )f x ( ) ( 1) ( 5) ( )f x f x f x f x≥ + ≥ + =
( 1) ( )f x f x+ = ( )f x (2013) (0) 0f f= =
1
2
1
4
1
6
1
4
1
6
1 1[ , ]6 4
− 1 1( , )6 4
−
14. 定 义 域 为 R 的 函 数 满 足 时 ，
若 时， 恒成立，则实数 t 的取值范
围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当 ，则 ，所以
，
当 时， 的对称轴为 ，
∴当 时，最小值为 ；
当 时， ，
( )f x ( ) ( ) [ )2 2 , 0,2f x f x x+ = ∈当
( )
[ )
[ )
2
3
2
, 0,1 ,
1 , 1,2 ,2
x
x x x
f x
x
−
− ∈
= − ∈
[ )4, 2x∈ − − ( ) 1
4 2
tf x t
≥ −
[ ) ( )2,0 0,1− ∪ [ ) [ )2,0 1,− ∪ +∞ [ ]2,1− ( ] ( ], 2 0,1−∞ − ∪
[ 4 2)x ,∈ − − 4 [0,2)x + ∈ 1 1( ) ( 2) ( 4)2 4f x f x f x= + = +
2
4 1.5
1[( 4) ( 4)], [ 4, 3)4= 1 (0.5) , [ 3, 2)4
x
x x x
x+ −
+ − + ∈ − −
− ∈ − −
2
2.5
1 ( 7 12), [ 4, 3)4= 1 (0.5) , [ 3, 2)4
x
x x x
x+
+ + ∈ − −
− ∈ − −
[ 4, 3)x∈ − − 2 21 1 7 1( )= ( 7 12) [( ) ]4 4 2 4f x x x x+ + = + − 7= 2x −
[ 4, 3)x∈ − − 7 1( )=2 16f − −
[ 3, 2)x∈ − − 2.51( )= (0.5)4
xf x +−
当 时，取最小值，最小值为 ；
所以当 时，函数 的最小值为 ，即 ，即 ，
所以不等式等价于 或 ，解得 或 ，即 的取值范围
是 ，选 D.
15.设函数 是定义在 R 上以 为周期的函数，若函数 在区间
上的值域为 ，则 在区间 上的值域为( )
A． B． C． D．
17.函数 的定义域为 ,若 且 时总有 ,则称 为单函
数.例如,函数 是单函数.下列命题:
①函数 是单函数;
②函数 是单函数;
③若 为单函数, 且 ,则 ;
④函数 在定义域内某个区间 上具有单调性,则 一定是单函数.
其中的真命题是 (写出所有真命题的编号).
【答案】③
2.5x = − 1
4
−
[ 4 2)x ,∈ − − ( )f x 1
4
− 1 1
4 4 2
t
t
− ≥ − 2 2 0t t
t
+ − ≤
2
0
2 0
t
t t
>
+ − ≤ 2
0
2 0
t
t t
<
+ − ≥ 0 1t< ≤ 2t ≤ − t
( , 2] (0,1]−∞ −
)(xfy = 1 xxfxg 2)()( −= ]3,2[
]6,2[− )(xg ]12,12[−
]6,2[− ]28,24[− ]32,22[− ]34,20[−
( )xf A Axx ∈21, ( ) ( )21 xfxf = 21 xx = ( )xf
( ) ( )R∈+= xxxf 1
( ) ( )R∈−= xxxxf 22
( )
<−
≥=
2,2
,2,log 2
xx
xxxf
( )xf Axx ∈21, 21 xx ≠ ( ) ( )21 xfxf ≠
( )xf D ( )xf
18.给出定义：若 (其中 为整数)，则 叫做离实数 最近的整数，记作
，即 . 在此基础上给出下列关于函数 的四个命题：
① 的定义域是 ，值域是 ；
②点 是 的图像的对称中心，其中 ；
③函数 的最小正周期为；
④ 函数 在 上是增函数．
则上述命题中真命题的序号是 ．
【答案】①③
【解析】①中，令 ，所以 。所以正确。②
， 所 以 点 不 是 函 数
的图象的对称中心，所以②错误。③ ，所以周
期为 1，正确。④令 ，则 ，令 ，则 ，所以
，所以函数 在 上是增函数错误。，所以正确的为①③
19.定义在 R 上的偶函数 对任意的 有 ，且当 [2，3]时，
． 若 函 数 在 (0 ， +∞) 上 有 四 个 零 点 ， 则 a 的 值
1 1< +2 2m x m− ≤ m m x
{ }x { }=x m ( )= { }f x x x−
= ( )y f x R 1 1( , ]2 2
−
( ,0)k = ( )y f x k Z∈
= ( )y f x
= ( )y f x 1 3( , ]2 2
−
1 1, ( , ]2 2x m a a= + ∈ − 1 1( )= { } ( , ]2 2f x x x a− = ∈ −
(2 )=2 {2 } ( ) { } ( ) ( )f k x k x k x x x f x f x− − − − = − − − = − ≠ − − ( ,0)k
( )f x ( 1)= 1 { 1} { } ( )f x x x x x f x+ + − + = − =
1 , 12x m= − = − 1 1( )2 2f − = 1 , 02x m= = 1 1( )2 2f =
1 1( ) ( )2 2f f− = = ( )y f x 1 3( , ]2 2
−
f ( x ) x R∈ 1 1f ( x ) f ( x )+ = − x∈
2 6 9f ( x ) x x= − + − ay f ( x ) log x= −
为 ．