2019届二轮复习割补法第1课课件（17张）（全国通用） 17页

中学数学解题思想方法--割补法 第一讲：补形与分割 普通高中《数学课程标准》中指出：学生能从空间几何体的整体观察入手，认识空间图形，了解一些简单几何体体积的计算方法.割补法就是在求简单几何体的体积中常用的解题方法. 立体几何中的割补法的运用一般是通过将复杂的、不规则的、不易认识的几何体，通过“分割”或者“补形”转化为简单的、规则的、易于认识的几何体，从而解决问题的一种解题方法. 通过几何体的割补能发现未知几何体与已知几何体的内在联系，提高空间想象能力.割补法的运用蕴含了一种构造的思想方法，反映了对立、统一的辩证思想.本专题将从“补形”、“分割”和 “割补的灵活应用”三个方面进行阐述.本讲着重从前两个方面进行讲解. 例 1 已知如图 1-1 所示，三棱锥 的 每相对的两条棱相等，棱长分别为 ， 求 三棱锥 的 体积 . 分析 一般地如果按常规求法需求三棱锥的底面积和对应高，而高很难求出 .因此需要我们重新审视条件寻找其他解决问题的途径. 由已知三组相对的棱相等这一特点，联想长方体对面不平行的对角线恰好组成对棱相等的三棱锥，因此可以把三棱锥 补 成长方体，如图 1-2 所示 ， 长方体可以看成由三棱锥 和 四个 相同 体积 的易于计算的三棱锥 组成 . 解 ： 设补 成的长方体的三度分别 为 ， 则 ， 由题意得 评析： 本题所采取的解题方法为补形法 . 难点在于如何利用“对棱相等”这一特点，不拘泥于在所给几何体求体积，联想长方体大胆构造，通过将对棱相等的三棱锥补形成长方体，匠心独具，极大地降低了计算量 . 类似地，可以将正四面体补形成正方体，将三条棱互相垂直的三棱锥补形成长方体或正方体求三棱锥的体积 . 例 2 如图 2-1, 在 多面体 中 ，已知 是 边长为 1 的正方形，且 均 为正 三形， 则 该 多面体的体积为 ________. 分析 题 中所给 多面体是 一个不规则多面体，一般我们可以考虑把这类问题转化为用规则的几何体之和差来求解 . 考虑 到题目中给 出 的四边形 为 正方形，因此我们可以考虑在图中截 成 一个直三 棱柱 和两个 三棱锥 ， 如 图 2-2 所 示 ， 从而 借助常用的三棱柱和三棱锥 的 体积 计算 . 解 ： 将 多面体 分割 成如 图 2-2 所 示的直三棱柱 和 两个 三棱锥， 因此 评析： 本题所采取的解题方法称为分割法 . 我们通过从几何体外部进行分割入手，将所给不规则的几何体分割成规则的 几何体 —— 三 棱柱和两个三棱锥，从而达到分割求和的目的 . 例 3 求 棱长 为 的 正四面体内切球的半径 . 分析 要 想求出内切球的半径必须知道球心的位置，而球心的位置比较难找 . 我们不妨假设球心 为 , 连 结 这样 我们就把正四面体分割成四个全等的三棱锥如图 3 -2 所 示， 到正四面体各个面的距离就是内切球的半径 .因此 ,不难看出正四面体和三棱锥 共底面 ， 所以我们只要求出正四面体的高，它的 即为内切球的半径 . 解 ： 设正四面体内切球的球心为 ， 内切球的半径为 ， 连结 如 图 3 -2 所 示， 则 设 顶点 到底 面的高 为 ， 因此 容易知道 评析： 本题所采取的解题方法为分割法 . 分割的点在几何体内部，这也是本题的难点所在 . 分割后主要利用部分与整体的关系来解决问题 . 实际并没有分割几何体，只是利用了分割的方法 . 谢谢！