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- 2021-05-07 发布
2018-2019年建平中学高二上10月月考
一.填空题
1.经过点和点的直线的点方向式方程是________.
【答案】
【解析】
【分析】
先设直线上任一点坐标为，由直线上点的坐标，得到直线方向向量，进而可得出结果.
【详解】设直线上任一点坐标为，因为直线经过点和点，
所以直线的方向向量为，
因此，直线的点方向式方程是：.
故答案为：
【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记直线方程的几种形式即可，属于常考题型.
2.已知直线和的夹角为，那么的值为________.
【答案】3或
【解析】
【分析】
先由题意，分别得到两直线的斜率，再由直线的夹角公式，即可求出结果.
【详解】记直线和的斜率分别为，，
则，，
又两直线夹角为，
所以，即，解得或.
故答案为：或
【点睛】本题主要考查由直线的夹角求参数的问题，熟记直线的夹角公式即可，属于常考题型.
3.已知直线的斜率为2，的倾斜角为的倾斜角的2倍，则的斜率为________.
【答案】
【解析】
【分析】
记直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，根据题意求出，即可得出结果.
【详解】记直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
因为直线的斜率为2，所以，
又的倾斜角为的倾斜角的2倍，
所以，
即的斜率为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查求直线的斜率，熟记斜率的定义，以及二倍角公式即可，属于基础题型.
4.已知点与点关于直线对称，则直线的一般式方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先由题意求出、两点的中点坐标，以及直线的斜率，得到所求直线的斜率，从而可求出结果.
【详解】因为点与点的中点坐标为，
直线斜率为，
又点与点关于直线对称，
所以直线过点，且，
因此直线的斜率为，
所以，直线的方程为，整理得：.
故答案：
【点睛】本题主要考查由两定点求其对称直线的方程，熟记直线的点斜式方程以及一般式方程即可，属于常考题型.
5.已知点，，若直线过点，且、到直线的距离相等，则直线的一般式方程为________.
【答案】或
【解析】
【分析】
根据题意，分、两点在直线的同侧和不同侧，两种情况，分别求出直线斜率，即可求出结果.
【详解】设直线的斜率为，
因为点，到直线的距离相等，直线过点，
若、两点在直线的同侧，则，即，
所以直线的方程为：，即；
若、两点在直线的不同侧，则直线必过中点，即，
所以直线的方程为：，即.
故答案为：或
【点睛】本题主要考查求直线的一般式方程，熟记直线方程的几种形式即可，属于常考题型.
6.若非零向量、、满足，且，则与的夹角为____.
【答案】
【解析】
【分析】
先由得到，分别代入和，求出，，再由向量夹角公式，即可求出结果.
【详解】因为，所以，
代入得：，即；
代入得：，即，
所以，
因此与的夹角为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查求向量的夹角，熟记向量的数量积运算，以及向量的夹角公式即可，属于常考题型.
7.在面积为4的三角形中，、分别是、的中点，点在直线上，则的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】
先由题意，得到，推出，由向量数量积得到，再由余弦定理得到，令，，用导数的方法求函数的最小值，即可得出结果.
【详解】因为、分别是、的中点，
所以到的距离等于点到的距离的一半，
所以，
又，所以，
因此，所以；
又由余弦定理可得：
，
当且仅当时，取等号；
所以，
令，，；
又，
由得，所以；由得，所以
所以在上单调递减，在上单调递增；
所以，
因此.
故答案：
【点睛】本题主要考查求向量数量积的最值问题，熟记余弦定理，向量数量积的运算，基本不等式，以及导数的方法求最值即可，属于常考题型.
8.如图，设，，是平面上两两不平行的三个非零向量，，有下列命题：
① 关于的方程可能有两个不同的实数解；
② 关于的方程一定没有实数解；
③ 关于的方程的实数解为或；
④ 关于的方程没有非零实数解；
其中真命题是_______ .
【答案】②④
【解析】
【分析】
根据题意，结合平面向量基本定理，逐项判断，即可得出结果.
【详解】因为，，是平面上两两不平行的三个非零向量，
对于①，方程可化为，，由平面向量基本定理分析可得：最多有一个解，故①错；
对于②，，，都是非零向量，方程是关于向量的方程，因此方程在实数集内一定无解，故②正确；
对于③，因为，都是不平行的非零向量，因此，由得到，所以，只能，即实数解为，故③错，④正确；
故答案为：②④
【点睛】本题主要考查命题真假的判断，以及平面向量基本定理的应用，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.
二.选择题
9.“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
先由两直线垂直求出的值，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.
【详解】因为直线与直线垂直，
则，即，解得或；
因此由“”能推出“直线与直线垂直”，反之不能推出，
所以“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件.
故选：B
【点睛】本题主要考查命题充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定条件即可，属于常考题型.
10.直线（）的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
记直线的倾斜角为，根据斜率的定义，得到，从而可求出结果.
【详解】记直线的倾斜角为，因为直线方程为：，，
所以，因此.
故选：C
【点睛】本题主要考查由直线方程求直线倾斜角，熟记斜率定义，以及反三角函数的表示即可，属于常考题型.
11.将一圆的六个等分点分成两组相同的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点，其中、分别为点到两个顶点的向量，若将点到正六角星12个顶点的向量，都写出的形式，则的最大值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，作出图形，分别用、表示出相邻的6个顶点的向量，即可求出结果.
【详解】要求的最大值，只需考虑图中6个顶点的向量即可，讨论如下：
（1）因为，所以；
（2）因为，所以；
（3）因为，则；
（4）因，则；
（5）因为，则；
（6）因为，则；
因此，的最大值为.
故选：C
【点睛】本题主要考查由用基底表示向量，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.
三.解答题
12.已知两条直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，当m为何值时，
l1与l2(1)相交；(2)平行；(3)重合？
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
当两条直线不平行，即斜率不同时相交，
当两条直线相同，不同时平行
当两条直线相同，也相同时重合
【详解】当m＝0时，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，∴l1∥l2.
当m＝2时，l1：x＋4y＋6＝0，l2：3y＋2＝0，∴l1与l2相交．
当m≠0且m≠2时，由＝得m＝－1或m＝3，由＝，得m＝3.
故(1)当m≠－1且m≠3且m≠0时，l1与l2相交．
(2)当m＝－1或m＝0时，l1∥l2.
(3)当m＝3时，l1与l2重合．
【点睛】本题属于中档题，考查了两条直线的相交，平行，重合的条件，要求学生会利用代数的方法研究图象的位置关系，做此类题的时候应采用分类讨论的方法分情况得到所求的范围。
13.平面内有向量，，（其中为坐标原点），点是直线上的一个动点.
（1）若，求的坐标；
（2）当取最小值时，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
先由题意，设，得到，，
（1）根据，得到，求出，即可得出结果；
（2）先由题意，得到，得到当时，取最小值，求出，，再由向量夹角公式，即可求出结果.
【详解】因为点是直线上的一个动点，，
所以可设，因为，，
所以，，
（1）因为，所以，
解得，所以；
（2）因为，，
所以，
显然，当时，取最小值，
此时，，
所以.
【点睛】本题主要考查由向量共线求参数的问题，以及求向量的夹角的问题，熟记向量共线的坐标表示，以及向量数量积的运算与夹角公式即可，属于常考题型.
14.在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，.边分别在轴.轴的正半轴上，点与坐标原点重合（如图所示）。将矩形折叠，使点落在线段上。
（1）若折痕所在直线的斜率为，试求折痕所在直线的方程；
（2）当时，求折痕长的最大值；
（3）当时，折痕为线段，设，试求的最大值。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
(1)对k=0,分类讨论，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，先求G的坐标，再求折痕所在的直线与的交点坐标，写出直线的点斜式方程.(2) 先求出折痕直线交于点，交轴于，再求的最大值，即得折痕长的最大值.(3)先求得，再求t的表达式和其最大值.
【详解】(1) ①当时,此时点与点重合, 折痕所在的直线方程
②当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，
所以与关于折痕所在的直线对称，
有
故点坐标，
从而折痕所在的直线与的交点坐标（线段的中点）为
折痕所在的直线方程，即
由①②得折痕所在的直线方程为：
（2）当时，折痕的长为2;
当时，折痕直线交于点，交轴于
∵
∴折痕长度的最大值为。
而 ,故折痕长度的最大值为
（3）当时，折痕直线交于，交轴于
∵ ∴
∵ ∴（当且仅当时取“=”号）
∴当时，取最大值，的最大值是。
【点睛】（1）本题主要考查直线方程的求法，考查直线对称问题和最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是函数的思想，求函数最值，常用函数的方法，先求函数的解析式和定义域，再利用函数的图像和性质求函数的最值.