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- 2021-05-06 发布
寒假收心考
数学卷
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
A．B．C． D．
4．是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件
5．已知曲线在处的切线过点,则实数( )
A．3 B． C． D．
6．已知非零向量满足且，则与的夹角为( )
A． B． C． D．
7．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=( )
A． B． C． D．
8．已知公差不为零的等差数列中，成等比数列，则等差数列的前8项和为（ ）
A．20 B．30 C．35 D．40
9．已知实数，满足不等式组，目标函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10．已知在处取得极值，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．9
11．已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线离心率为
A． B． C．2 D．
12．函数在内有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．函数且恒过定点的坐标为______．
14．若函数，则______．
15．已知函数的图象经过四个象限，则实数
的取值范围是 ．
16．已知一个正四面体纸盒的俯视图如图所示,其中四边形ABCD是边长为的正方形,若在该正四面体纸盒内放一个正方体,使正方体可以在纸盒内任意转动,则正方体棱长的最大值是 ．
三、解答题
17．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求出的值；
（2）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.
18．已知△ABC的面积为，且且.
(1)求角A的大小；
(2)设M为BC的中点，且，∠BAC的平分线交BC于N，求线段AN的长度.
19．如图1，在梯形中，，，，过，分别作的垂线，垂足分别为，，已知，，将梯形沿，同侧折起，使得平面平面
，平面平面，得到图2.
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积.
20．已知椭圆：的离心率为，且与抛物线交于，两点， （为坐标原点）的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，点为椭圆上一动点（非长轴端点），为左、右焦点，的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值．
21．设函数.
（1）若且在处的切线垂直于y轴，求a的值；
（2）若对于任意，都有恒成立，求a的取值范围.
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数以坐标原点为极点，
x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
求l和C的直角坐标方程；
设，l和C相交于A，B两点，若，求的值．
23．已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．
文科数学复习卷答案（一)
一、单选题
1~5 DAAAD 6~10 DBBDC 11~12 BD
二、填空题
13． 14． 15．() 16．
三、解答题
17．【答案】（1）0.035（2）
【详解】（1）由，得
（2）第1,2组抽取的人数分别为20人，30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为.
设从5人中随机抽取3人，为共10个基本事件
其中第2组恰好抽到2人包含共6个基本事件,从而第2组抽到2人的概率
18．【答案】（1） （2）
【详解】（1），
又，即 ∴ 又 ∴
（2）如图所示：在△ABC中，AM为中线 ∴
∴
∴.
由（1）知：，又 ∴，，
由余弦定理可得：，
，
，又，
∴，又，
∴，∴.
19．【答案】（1）见证明；（2）
【详解】（1）设，取中点，连接，
∵四边形为正方形，∴为中点，
∵为中点，∴且，
因为平面平面，平面平面，，
平面，所以平面，
又∵平面平面，∴平面平面，同理，平面，
又∵，，∴，
∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，
∵平面，平面，∴平面.
（2）因为，平面，平面，所以
∴点到平面的距离等于点到平面的距离.
∴三棱锥的体积公式，可得.
20．【答案】（1）（2）
【详解】（1）椭圆与抛物线交于，两点，可设
，，
∵的面积为，∴，解得，∴，，
由已知得，解得，，，∴椭圆的方程为.
（2）①当直线的斜率不存在时，不妨取，，，故
；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立方程，化简得，
则，，，
，
点到直线的距离，
因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，
∴
∵，又，所以等号不成立.
∴，
综上，面积的最大值为.
21．【答案】（1）1；（2）.
【详解】（1） 则
∴ ∵且在处的切线垂直于y轴
∴ ∴,又 ∴
（2）对于任意,都有恒成立
则 所以
, 得,所以,即
下面证明成立
∴,令,
∴令,
∴
∴函数在上单调递增
由 ∴
∴在上单调递增
.时,
∴ ,函数在上单调递增
∴成立
故
22．【答案】（1）l的直角坐标方程为，或；C的直角坐标方程为
；（2）.
【详解】解：
，
由
综上，l的直角坐标方程为，或
由C的极坐标方程得，
将代入，得
，在l上，
23．【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）当时，，
由，得或或，
解得：或，故不等式的解集是；
（2）当]时，，
因此恒成立，即恒成立，整理得：，
当时，成立，
当时，，
令，
∵，∴，∴，∴，故，
故．