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- 2021-05-06 发布
广西桂林、崇左、防城港市2020届高三联合模拟考试
数学试题（文）
一、选择题
1.已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得，，
所以，
故选A.
2.已知（其中为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题得.
所以的虚部为1.
故选：B.
3.已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，，，
所以，
故选A.
4.若x,y满足约束条件的取值范围是（ ）
A. [0,6] B. [0,4] C. [6, D. [4,
【答案】D
【解析】x、y满足约束条件，表示的可行域如图：
目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，
由解得C（2，1），
目标函数的最小值为：4
目标函数的范围是[4，+∞）．
故选D．
5.某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是，乙班学生成绩的中位数是，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】班学生成绩的平均分是85，
，
即．
乙班学生成绩的中位数是83，
若，则中位数为81，不成立．
若，则中位数为，
解得．
，
故选：C．
6.函数的大致图象为（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数，，，，则函数为非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，排除C，D，当，排除B， 故选A.
7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，直角三角形的斜边长为，
设内切圆的半径为，则，解得.
所以内切圆的面积为，
所以豆子落在内切圆外部的概率，故选C．
8.在中，若，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】由已知，或，即或，由正弦定理，得，即，即，均为的内角，或或，为等腰三角形或直角三角形，故选D.
9.已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（ ）
A. 关于点对称 B. 关于点对称
C. 关于直线对称 D. 关于直线对称
【答案】B
【解析】因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，
所以函数的周期为，，，
将函数的图象向左平移个单位后，
得到函数图象，
图象关于轴对称，
，即，
又，，
令，
解得，
，得的图象关于点对称，故选B.
10.如图所示，正方体的棱长为，为，的中点，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，取中点，的中点，的中点，连接，，，，，，．
可得：四边形是平行四边形，．
又平面，平面，
所以平面
同理可得：．又平面，平面，
所以平面
．
平面平面，
点是正方形内的动点，若平面．
点在线段上．
点的轨迹长度．
故选：C．
11.已知函数在区间（1，3）上有最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
令，
由韦达定理可得若函数有零点，则必有一个负零点和一个正零点，
又由函数在区间（1，3）上有最大值，
则在区间（1，3）上有零点，
由零点存在性定理可得，
解得.
∴实数a的取值范围是.
故选：A.
12.已知双曲线：的右焦点为，左顶点为，以为圆心，为半径的圆交的右支于，两点，且线段的垂直平分线经过点，则的离心率为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】设双曲线的左焦点为，连接.点是线段的中点，是线段的垂直平分线，则点在上.
如图所示
则.
又双曲线和以为圆心的圆都关于轴对称，点关于轴对称，
是等边三角形，
.
由题意，.
又点在双曲线的右支上，.
中，，由余弦定理得
，
即，
整理得，即或（舍），
.
故选：B.
二、填空题
13.已知，则______.
【答案】
【解析】因为
所以，
所以
故答案为：
14.已知向量，，则在方向上的投影为______.
【答案】
【解析】因为向量，，
所以，
因此，在方向上的投影为.
故答案为：.
15.设函数，则使成立的的取值范围是______.
【答案】
【解析】，函数的定义域为
可看作和复合而成的
在上单调递增，且函数递增
函数在上单调递增
，则函数为偶函数
等价于
即，即，整理得
解得或
故答案为：
16.在三棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．
【答案】
【解析】如图，在等边三角形中，取的中点，
设其中心为，由，
得，
是以为斜边的等腰角三角形，,
又因为平面平面，
平面 ，，
，
则为棱锥的外接球球心，
外接球半径，
该三棱锥外接球的表面积为，
故答案为.
三、解答题
17.如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.
（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（2）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
解：（1）在3月1日至3月13日这13天中，5日、8日共2天的空气重试污染，所以此人到达当日空气重度污染的概率为.
（2）根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或5日或7日或8日”，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为.
（3）由图可以看出，从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
18.已知数列的前项和为，，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若，设数列的前项和为，求.
（1）证明：因为，，所以，所以，
所以.
所以是以为首项，以为公差的等差数列.
（2）解：由（1）可得，所以.
∴
∴
．
19.已知四棱锥，底面为正方形，且底面，过的平面与侧面的交线为，且满足（表示的面积）.
（1）证明：平面；
（2）当时，求点到平面的距离.
（1）证明：由题知四边形ABCD为正方形
∴AB//CD，又平面PCD，AB平面PCD
∴AB//平面PCD
又AB平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD=EF
∴EF // AB，又AB//CD
∴EF //CD，
由S△PEF：S四边形CDEF=1:3知E、F分别为PC、PD的中点
连接BD交AC与G，则G为BD中点，
在△PBD中FG为中位线，∴ EG//PB
∵ EG//PB，EG平面ACE，PB平面ACE
∴PB//平面ACE.
（2）解：∵PA=2，AD=AB=1， ∴,
∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA=A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD
在Rt△CDE中，
在△ACE中由余弦定理知
∴，∴S△ACE=
设点F到平面ACE的距离为，则
由DG⊥AC，DG⊥PA，AC∩PA=A，得DG⊥平面PAC，且
∵E为PD中点，∴E到平面ACF距离为
又F为PC中点，∴S△ACF S△ACP ，∴
由知
∴点F到平面ACE的距离为.
20.已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在区间上存在两个不同零点，求实数的取值范围.
解：（1）∵
①若时，，此时函数在上单调递增；
②若时，又得：
时，此时函数在上单调递减；
当时，此时函数在上单调递增；
（2）由题意知：在区间上有两个不同实数解，
即函数图像与函数图像有两个不同的交点，
因为，令得：
所以当时，，函数在上单调递减
当时，，函数在上单调递增；
则，而，且，
要使函数图像与函数图像有两个不同的交点，
所以的取值范围为.
21.已知椭圆的焦点坐标为，，过垂直于长轴的直线交椭圆于、两点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过的直线与椭圆交于不同的两点、，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
解：（1）设椭圆方程为，由焦点坐标可得.
由，可得.又，得，.
故椭圆方程为.
（2）设，，不妨令，，
设的内切圆的半径为，则的周长为，
，
因此要使内切圆的面积最大，则最大，此时也最大.
，
由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，
由得，
得，，
则，令，则，
则
令，则，
当时，，所以在上单调递增，
有，，
当，时，，又，∴
这时所求内切圆面积的最大值为，此时直线的方程为
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），现以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求圆的极坐标方程；
（Ⅱ）设是圆上的两个动点，且，求的最大值.
解：（Ⅰ）圆的直角坐标方程为，即，
所以圆的极坐标方程为，即.
(Ⅱ)设的极坐标为，，则
，则
,
又，所以，
所以当时，取最大值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）若，解不等式；
（Ⅱ）当时，函数的最小值为，求实数的值.
解：(Ⅰ) 时，不等式为
①当 时，不等式化为，，此时
②当 时，不等式化为，
③当 时，不等式化为，，此时
综上所述，不等式的解集为
（Ⅱ）法一：函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，当a＜2，即时，
所以f(x)min＝f（）＝－＋1＝3，得a＝－4＜2(符合题意)，故a＝－4.
法二：
所以，又，所以.