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- 2021-05-06 发布
2020年高考（文科）数学一模试卷
一、选择题（共12小題）.
1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣1，1） B．（1，2） C．（﹣1，+∞） D．（1，+∞）
2．复数（i为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
3．函数y＝+的定义域为（ ）
A．[，+∞） B．（﹣∞，3）∪（3，+∞）
C．[，3）∪（3，+∞） D．（3，+∞）
4．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝8，则a7＝（ ）
A．8 B．12 C．14 D．10
5．为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x上的所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动单位长度
6．设a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．c﹣a＜c﹣b B．ac2＞bc2 C．＜ D．＜1
7．若实数x，y满足条件，目标函数z＝2x﹣y，则z的最大值为（ ）
A． B．1 C．2 D．0
8．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”
根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
9．若点（2，k）到直线5x﹣12y+6＝0的距离是4，则k的值是（ ）
A．1 B．﹣3 C．1或 D．﹣3或
10．根据如图所示的程序框图，当输入的x值为3时，输出的y值等于（ ）
A．1 B．e C．e﹣1 D．e﹣2
11．已知点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＞0的解集是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B．（﹣1，3）
C．（1，3） D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）
二．填空题（共4小题，共20分．）
13．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则x+2y的最小值是 ．
14．已知向量，，若，则实数m＝ ．
15．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取 人．
16．已知函数f（x）＝x2+2f'（1）lnx，则曲线y＝f（x）在x＝1处的切线斜率为 ．
三．解答题（共70分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝3，c＝8，角A为锐角，△ABC的面积为6．
（1）求角A的大小；
（2）求a的值．
18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD，E、F分别为棱AB、PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求三棱锥B﹣EFC的体积；
（3）求二面角P﹣EC﹣D的正切值．
19．为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记X表示学生的考核成绩，并规定X≥85为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：
（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
（Ⅱ）从图中考核成绩满足X∈[80，89]的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；
（Ⅲ）记P（a≤X≤b）表示学生的考核成绩在区间[a，b]的概率，根据以往培训数据，规定当时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．
20．已知抛物线y2＝2px（p＞0），过点C（﹣2，0）的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，•＝12．
（I）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．
21．已知函数f（x）＝ax3+bx2，当x＝1时，有极大值3；
（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的极小值及单调区间．
（二）选考题：共10分，请考生在22题、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设点P（，0），直线l与曲线C交于A，B两点，求|AP|+|PB|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知f（x）＝|x+1|+|x﹣2|．
（1）已知关于x的不等式f（x）＜a有实数解，求a的取值范围；
（2）求不等式f（x）≥x2﹣2x的解集．
参考答案
一．单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣1，1） B．（1，2） C．（﹣1，+∞） D．（1，+∞）
【分析】直接由并集运算得答案．
解：∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，
∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}∪{x|x＞1}＝（﹣1，+∞）．
故选：C．
2．复数（i为虚数单位）的共轭复数是（ ）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【分析】化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．
解：化简可得z＝
＝＝1+i，
∴z的共轭复数＝1﹣i
故选：B．
3．函数y＝+的定义域为（ ）
A．[，+∞） B．（﹣∞，3）∪（3，+∞）
C．[，3）∪（3，+∞） D．（3，+∞）
【分析】根据函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
解：函数y＝+，
∴，
解得x≥且x≠3；
∴函数y的定义域为[，3）∪（3，+∞）．
故选：C．
4．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝8，则a7＝（ ）
A．8 B．12 C．14 D．10
【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．
解：∵在等差数列{an}中，a2＝4，a4＝8，
∴，
解得a1＝2，d＝2，
∴a7＝a1+6d＝2+12＝14．
故选：C．
5．为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x上的所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动单位长度
【分析】由条件根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
解：∵y＝sin（2x﹣）＝，
∴要得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin2x上的所有的点向右平移个单位．
故选：D．
6．设a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．c﹣a＜c﹣b B．ac2＞bc2 C．＜ D．＜1
【分析】利用不等式的性质或通过取特殊值即可得出．
解：A、由a＞b得到﹣a＜﹣b，则c﹣a＜c﹣b．故本选项正确；
B、当c＝0时，该不等式不成立，故本选项错误；
C、当a＝1．b＝﹣2时，1＞﹣，即不等式＜不成立，故本选项错误；
D、当a＝﹣1，b＝﹣2时，＝2＞1，即不等式＜1不成立，故本选项错误；
故选：A．
7．若实数x，y满足条件，目标函数z＝2x﹣y，则z的最大值为（ ）
A． B．1 C．2 D．0
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z＝2x﹣y过点（，1）时，z最大值即可．
解：先根据实数x，y满足条件，画出可行域如图，
做出基准线0＝2x﹣y，
由图知，当直线z＝2x﹣y过点A（，1）时，z最大值为2．
故选：C．
8．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
【分析】根据实际问题可以转化为等比数列问题：在等比数列{an}中，公比q＝2，前n项和为Sn，，求m，利用等比数列性质直接．
解：根据实际问题可以转化为等比数列问题，
在等比数列{an}中，公比q＝2，前n项和为Sn，
，
∵S5＝＝5，解得，
∴＝，
解得m＝3．
故选：B．
9．若点（2，k）到直线5x﹣12y+6＝0的距离是4，则k的值是（ ）
A．1 B．﹣3 C．1或 D．﹣3或
【分析】由题意可得＝4，解方程可得．
解：∵点（2，k）到直线5x﹣12y+6＝0的距离是4，
∴＝4，解得k＝﹣3或，
故选：D．
10．根据如图所示的程序框图，当输入的x值为3时，输出的y值等于（ ）
A．1 B．e C．e﹣1 D．e﹣2
【分析】模拟算法的运行过程，即可得出程序运行后输出y的值．
解：模拟算法的运行过程，如下；
输入x＝3，计算x＝3﹣2＝1，x≥0；
执行循环，计算x＝1﹣2＝﹣1，x＜0；
终止循环，计算y＝e﹣1，
所以该程序运行后输出y＝e﹣1．
故选：C．
11．已知点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用双曲线上的点在双曲线上求解b，然后求解双曲线的离心率即可．
解：点在双曲线上，
可得，可得b＝3，又a＝，所以c＝10，
双曲线的离心率为：e＝＝．
故选：C．
12．关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＞0的解集是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B．（﹣1，3）
C．（1，3） D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）
【分析】利用一元一次不等式和一元二次不等式的解法即可得出．
解：∵关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），∴．
∴关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＞0可化为（x+1）（x﹣3）＞0，
∴x＜﹣1或x＞3．
∴关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＞0的解集是{x|x＜﹣1或x＞3}．
故选：A．
二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知x＞0，y＞0，且+＝1，则x+2y的最小值是 8 ．
【分析】根据x+2y＝（x+2y）（+）＝2+++2，利用基本不等式求得它的最小值．
解：x+2y＝（x+2y）（+）＝2+++2≥4+2＝8，
当且仅当 ＝时，等号成立，
故 x+2y的最小值为 8，
故答案为：8．
14．已知向量，，若，则实数m＝ ﹣2 ．
【分析】可求出，根据即可得出4m+2（2﹣m）＝0，解出m即可．
解：；
∵；
∴4m+2（2﹣m）＝0；
∴m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
15．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取 300 人．
【分析】先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，求得结果．
解：高三学生占的比例为 ＝，
则应从高三年级学生中抽取的人数为 720×＝300，
故答案为：300．
16．已知函数f（x）＝x2+2f'（1）lnx，则曲线y＝f（x）在x＝1处的切线斜率为 ﹣2 ．
【分析】先求出函数的导数，然后求出f′（1）的值，即为x＝1处切线的斜率．
解：，
∴f′（1）＝2+2f′（1），
解得f′（1）＝﹣2．
故答案为：﹣2．
三．解答题（共70分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．
17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝3，c＝8，角A为锐角，△ABC的面积为6．
（1）求角A的大小；
（2）求a的值．
【分析】（1）由三角形面积公式和已知条件求得sinA的值，进而求得A．
（2）利用余弦定理公式和（1）中求得的A求得a．
解：（1）∵S△ABC＝bcsinA＝×3×8×sinA＝6，
∴sinA＝，
∵A为锐角，
∴A＝．
（2）由余弦定理知a＝＝＝7．
18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD，E、F分别为棱AB、PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求三棱锥B﹣EFC的体积；
（3）求二面角P﹣EC﹣D的正切值．
【分析】（1）取PD中点G，连结GF、AG，由三角形中位线定理可得GF∥CD且，再由已知可得AE∥CD且，从而得到EFGA是平行四边形，则EF∥AG，然后利用线面平行的判定可得EF∥面PAD；
（2）取AD中点O，连结PO，由面面垂直的性质可得PO⊥面ABCD，且，求出F到面ABCD距离，然后利用等积法求得三棱锥B﹣EFC的体积；
（3）连OB交CE于M，可得Rt△EBC≌Rt△OAB，得到OM⊥EC．进一步证得PM⊥EC，可得∠PMO是二面角P﹣EC﹣D的平面角，然后求解直角三角形可得二面角P﹣EC﹣D的正切值．
【解答】（1）证明：取PD中点G，连结GF、AG，
∵GF为△PDC的中位线，∴GF∥CD且，
又AE∥CD且，∴GF∥AE且GF＝AE，
∴EFGA是平行四边形，则EF∥AG，
又EF⊄面PAD，AG⊂面PAD，
∴EF∥面PAD；
（2）解：取AD中点O，连结PO，
∵面PAD⊥面ABCD，△PAD为正三角形，∴PO⊥面ABCD，且，
又PC为面ABCD斜线，F为PC中点，∴F到面ABCD距离，
故；
（3）解：连OB交CE于M，可得Rt△EBC≌Rt△OAB，
∴∠MEB＝∠AOB，则∠MEB+∠MBE＝90°，即OM⊥EC．
连PM，又由（2）知PO⊥EC，可得EC⊥平面POM，则PM⊥EC，
即∠PMO是二面角P﹣EC﹣D的平面角，
在Rt△EBC中，，∴，
∴，即二面角P﹣EC﹣D的正切值为．
19．为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记X表示学生的考核成绩，并规定X≥85为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：
（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
（Ⅱ）从图中考核成绩满足X∈[80，89]的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；
（Ⅲ）记P（a≤X≤b）表示学生的考核成绩在区间[a，b]的概率，根据以往培训数据，规定当时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．
【分析】（Ⅰ）根据茎叶图求出满足条件的概率即可；
（Ⅱ）结合图表得到6人中有2个人考核为优，从而求出满足条件的概率即可；
（Ⅲ）求出满足 的成绩有16个，求出满足条件的概率即可．
解：（Ⅰ）设这名学生考核优秀为事件A，
由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀，
所以所求概率P（A）约为
（Ⅱ）设从图中考核成绩满足X∈[80，89]的学生中任取2人，
至少有一人考核成绩优秀为事件B，
因为表中成绩在[80，89]的6人中有2个人考核为优，
所以基本事件空间Ω包含15个基本事件，事件B包含9个基本事件，
所以；
（Ⅲ）根据表格中的数据，满足 的成绩有16个，
所以，
所以可以认为此次冰雪培训活动有效．
20．已知抛物线y2＝2px（p＞0），过点C（﹣2，0）的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，•＝12．
（I）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．
【分析】（Ⅰ）设l：x＝my﹣2，代入y2＝2px，可得根与系数的关系，再利用•＝12，可得x1x2+y1y2＝12，代入即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）（∗）化为y2﹣4my+8＝0．设AB的中点为M，可得|AB|＝2xm＝x1+x2＝m（y1+y2）﹣4＝4m2﹣4，又|AB|＝|y1﹣y2|＝，联立解出m即可得出．
解：（Ⅰ）设l：x＝my﹣2，代入y2＝2px，
可得y2﹣2pmy+4p＝0．（∗）
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1+y2＝2pm，y1y2＝4p，
则x1x2＝＝4．
∵•＝12，
∴x1x2+y1y2＝12，
即4+4p＝12，
得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x．
（Ⅱ）由（Ⅰ）（∗）化为y2﹣4my+8＝0．
y1+y2＝4m，y1y2＝8．
设AB的中点为M，
则|AB|＝2xm＝x1+x2＝m（y1+y2）﹣4＝4m2﹣4，①
又|AB|＝|y1﹣y2|＝，②
由①②得（1+m2）（16m2﹣32）＝（4m2﹣4）2，
解得m2＝3，m＝±．
∴直线l的方程为x+y+2＝0，或x﹣y+2＝0．
21．已知函数f（x）＝ax3+bx2，当x＝1时，有极大值3；
（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的极小值及单调区间．
【分析】（1）由题意得到关于实数a，b的方程组，求解方程组即可求得函数的解析式；
（2）结合（1）中函数的解析式求解导函数，利用导函数与原函数的性质求解最值和单调区间即可．
解：（1）f′（x）＝3ax2+2bx，
当x＝1时，，
据此解得a＝﹣6，b＝9，
∴函数解析式为：y＝﹣6x3+9x2．
（2）由（1）知f（x）＝﹣6x3+9x2，
f′（x）＝﹣18x2+18x＝﹣18x（x﹣1），令f′（x）＞0，得0＜x＜1；令f′（x）＜0，得x＞1或x＜0，
∴当x＝0时函数取得极小值为0，
函数的单调增区间为：（0，1），
单调减区间为：（﹣∞，0）和（1，+∞）．
（二）选考题：共10分，请考生在22题、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设点P（，0），直线l与曲线C交于A，B两点，求|AP|+|PB|的值．
【分析】（1）由代入法可得直线l的普通方程；由极坐标和直角坐标的关系：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，可得曲线C的直角坐标方程；
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，可得t的二次方程，再由参数的几何意义和韦达定理，即可得到所求值．
解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），
消去t，可得2x﹣2y﹣1＝0；
曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．
由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，
可得x2+y2＝2x，即曲线C的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1；
（2）将直线l的参数方程（t为参数）代入C的方程（x﹣1）2+y2＝1，
可得t2﹣t﹣＝0，△＝+3＞0，
设t1，t2是点A，B对应的参数值，
t1+t2＝，t1t2＝﹣，则|PA|+|PB|＝|t1﹣t2|＝＝＝．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知f（x）＝|x+1|+|x﹣2|．
（1）已知关于x的不等式f（x）＜a有实数解，求a的取值范围；
（2）求不等式f（x）≥x2﹣2x的解集．
【分析】（1）根据绝对值三角不等式求出f（x）的最小值，然后由f（x）＜a有实数解可知a＞f（x）min，从而求出a的范围；
（2）将f（x）去绝对值写成分段函数的形式，根据f（x）≥x2﹣2x
分别解不等可得不等式的解集．
解：（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|＝3，
当且仅当（x+1）（x﹣2）≤0，即﹣1≤x≤2时取等号，
∴f（x）min＝3，
∵不等式f（x）＜a有实数解，
∴a＞f（x）min＝3，
∴a的取值范围为（3，+∞）；
（2）f（x）＝|x+1|+|x﹣2|＝，
∵f（x）≥x2﹣2x，
∴或或，
∴或﹣1＜x＜2或x＝﹣1，
∴
∴不等式的解集为．