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- 2021-05-06 发布
一、选择题
1. A 【解析】∵ 命题 p 为真，命题 q 也为真，∴p∧q 为真．
2. A 【解析】∵ 直线 l1:x- 3姨 y-1=0 的斜率为 3姨
3 ，∴ 与其垂直的 l2 直线的斜率为- 3姨 ，根据点斜式可得直线
l2 的方程为 y- 3姨 =- 3姨 （x+1），即 3姨 x+y=0.
3. D 【解析】因为全称命题的否定是特称命题.第一步是将全称量词改写为存在量词，第二步是将结论加以否定.
4. C 【解析】平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或异面.
5. D 【解析】由圆O：x2+y2=1可得圆心 O（0,0），半径 r=1，∵△OAB 为正三角形，∴ 圆心 O 到直线 x-y+m=0 的距离为
3姨
2 r= 3姨
2 ，即 d= m
2姨
= 3姨
2 ，解得 m= 6姨
2 或- 6姨
2 .
6. B【解析】由“a2+b2＞c2”只能说明∠C 是锐角，但不能推出“△ABC 是锐角三角形”，但当△ABC 是锐角三角形时，
一定有 a2+b2＞c2成立，故“a2+b2＞c2”是“△ABC 是锐角三角形”的必要不充分条件.
7. B 【解析】∵ 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，AC1
11=A11B +B11C +DD1
11∴x=1，y=- 1
2 ，z= 1
3 ，即 x+y+z= 5
6 .
8. C 【解析】曲线 x2
16 + y2
9 =1表示椭圆，焦距为 2c=2 a2-b2姨 =2 7姨 ，当 9＜k＜16 时，曲线 x2
16-k + y2
9-k =1表示双曲线，
焦距为 2c=2 a2+b2姨 =2 16-k+k-9姨 =2 7姨 ，故两条曲线的焦距相等.
9. B 【解析】∵ 抛物线 ｙ＝ １
２ ｘ２的准线方程为 y=- 1
2 ，∴m= 1
4 ，即离心率 e=
1+ 1
4姨 1
2
= 5姨 .
10. C 【解析】法一：将直三棱柱补成正方体如图 1 所示，则异面直线 BA1 与 AC1 所成角的大小与∠A1BD1 相等.
∵△A1BD1 为正三角形，故异面直线 BA1 与 AC1 所成的角为 60°.
图 1 图 2
法二：如图 2，以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A-xyz，不妨设 AB=1，
则 A（0，0，0），B（1，0，0），A1（0，0，1），C1（0，1，1）.
cos〈BA1
11，AC1
11〉= BA1
11·AC1
11
BA1
11 · AC1
11 =（-1，0，1）·（0，1，1）
2姨 × 2姨
= 1
2 .
∴ 异面直线 BA1 与 AC1 所成的角为 60°.
秘密★启用前
2018－2019 学年度第一学期高二期末测评考试
理科数学（Ⅱ）参考答案及评分参考
高二理科数学试题答案 第 1 页（共 4 页）
高二理科数学试题答案 第 2 页（共 4 页）
11. A 【解析】∵ 抛物线性 x2=8y 的焦点为（0，2），∴ 椭圆的焦点在 y 轴上，且 c=2，
∵ 离心率为 1
2 ，∴n=4，m=2 3姨 ，∴m-n=2 3姨 -4.
12. B 【解析】法一：如图建系 D-xyz，A（2，0，0），A1（2，0，2），D（0，0，0），E（0，2，1）.
设 M（x，2，z），设平面 A1DE 的法向量为 n=（x′，y′，z′），
∵
DA1
姨姨·n=0，
D姨姨E·n=0
姨
姨
姨姨
姨
姨
姨姨
姨 ，
∴n=（2，1，-2），又 ∵A姨姨M =（x-2，2，z）,
∵AM∥平面 A1DE，∴A姨姨M·n=2（x-2）+2-2z=0，即 x-z-1=0，
∴ 动点 M 的轨迹是以 BC，BB1 的中点为端点的线段，且这条线段的长为 2姨 .
法二：取 BB1 的中点 P，BC 中点为 Q，则平面 APQ∥平面 A1DE，
∴M 的轨迹为线段 PQ，且 PQ= 2姨 .
二、填空题
13.“若x≠1且x≠2，则x2-3x+2≠0”.【解析】若原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为“若劭q，则劭p”.
14. 8 【解析】∵a∥b，∴存在唯一实数姿，使得a=姿b，即x+y=6+2=8.
15. x2+y2=16 【解析】设M（x，y），由 MA =2 MB 化简可得x2+y2=16．
16. 7姨
3 【解析】∵ PF1 =2 PF2 ， PF1 + PF2 =2a，∴ PF1 =4a
3 ， PF2 =2a
3 .
∵∠F1PF2=120°，∴在△F1PF2中， F1F2
2= PF1
2+ PF2
2-2 PF1 PF2 ·cos∠F1PF2，
即4ｃ2= 4a
3△ △2
+ 2a
3△ △2
-2×4a
3 ×2a
3 × - 1
2△ △= 28a2
9 ，∴ｅ= c
a = 7
9姨 = 7姨
3 .
三、解答题
17. 解：由 p 可得函数 f（k）有意义，则 k>a …………………………………………………………………………， 2 分
由 q 可知，若 x2
k+1 + y2
3-k =1 表示双曲线，则（k+1）（3-k）<0，即 k<-1 或 k>3 ………………………………， 5 分
∴劭q：k∈［-1，3］.
∵劭q 是 p 的充分不必要条件，
∴a<-1 …………………………………………………………………………………………………………. 10 分
18. 解：（1）由圆C的方程为x2+y2-2x+4y=0，即（x-1）2+（y+2）2=5∴圆心C（1，-2），半径为 5姨 .
又∵直线l：x-2y+t=0 与圆C相切，∴圆心C到直线l的距离d= 1+4+t
5姨
= 5姨 ，即 t+5 =5，
解得t=0或t=-10. ………………………………………………………………………………………………… 6分
（2）由题得，圆心M（-2，4），∵圆M：（x+2）2+（y-4）2=r2 与圆C有3条公切线，
∴圆M与圆C相外切，即 CM = 5姨 +r，又∵ CM =3 5姨 ，∴解得r=2 5姨 . ………………………………… 12分
19.（1）证明：∵A1R∥AQ，A1R埭平面AQC1，AQ奂平面AQC1，∴A1R∥平面AQC1.
（第 12 题答图）
高二理科数学试题答案 第 3 页（共 4 页）
（第 19 题答图）
又∵BR∥QC1，BR埭平面AQC1,C1Q奂平面AQC1，∴BR∥平面AQC1.
∵A1R∩BR=R，AQ∩C1Q，∴平面A1BR∥平面AQC1
……………………………………………………………. 6分
（2）解：以 Q 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Q-xyz，
则 Q（0，0，0），A（ 3姨 ，0，0），C1（0，-1，2），C（0，-1，0），
∴Q姨姨A =（ 3姨 ，0，0），QC1
姨姨=（0，-1，2）.
设平面 AQC1 的法向量为 n=（x，y，z），
由
Q姨姨A·n=0，
QC1
姨姨·n=
姨
姨
姨姨
姨
姨
姨姨
姨 0
得
3姨 x=0，
-y+2z=0
姨
姨
姨姨
姨
姨
姨姨
姨 ，
令 z=1，∴n=（0，2，1）.
又 ∵CC1
姨姨=（0，0，2），
设直线 CC1 与平面 AQC1 所成的角为 φ，
∴sinφ= cos〈CC1
姨姨,n〉 = 2
2 5姨 = 5姨
5 .
故直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦值为 5姨
5
………………………………………………………. 12 分
20. 解：（1）∵直线x-y-2=0 经过抛物线C的焦点，
∴抛物线C的焦点坐标为（2，0），
∴抛物线C的准线方程为x=-2． ………………………………………………………………………………… 4分
（2）设过抛物线 C 的焦点且斜率为-1 的直线方程为 y=-x+ p
2 ，且直线与 C 交于 A（x1，y1），B（x2，y2），
由
y=-x+ p
2 ，
y2=2p
姨
姨
姨
姨姨
姨
姨
姨
姨姨
姨 x
化简得 x2-3px+p2
4 =0，
∴x1+x2=3p.
∵ AB =x1+x2+p=4p=2，解得 p= 1
2 ，
∴ 抛物线 C 的方程为 y2=x ……………………………………………………………………………………. 12 分
21.（1）证明：连接 OB.∵ PA=PC，O 为 AC 的中点，∴PO⊥AC，∴PO=4× 3姨
2 =2 3姨 .
又 ∵AB=BC=2 2姨 ，AC=4，
∴AB2+BC2=AC2，即 AB⊥BC.
∴ 在 Rt△ABC 中，OA=OB=OC=2.
∵PO2+OB2=PB2，∴PO⊥OB.
又 ∵AC∩OB=O，
高二理科数学试题答案 第 4 页（共 4 页）
（第 21 题答图）
∴PO⊥平面 ABC ………………………………………………………………………………………………. 6 分
（2）解：∵OB⊥AC，PO⊥平面 ABC
∴ 以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz，
则A（0，-2，0），C（0，2，0），B（2，0，0），P（0，0，2 3姨 ）.
设M（xm，ym，0），又∵B姨姨M= 1
3 BC姨姨，∴M 4
3 ， 2
3 ，， ，0 .
设平面PAM的法向量为ｍ=（x，y，z），
由
A姨姨P·ｍ=0，
A姨姨M·ｍ=
，
，
，，
，
，
，，
， 0
得
y+ 3姨 z=0，
x+2y=0
， .
令z=1，∴ｍ=（2 3姨 ，- 3姨 ，1），
又∵平面PAC的法向量为ｎ=（1，0，0），
∴cos〈ｍ，ｎ〉= ｍ·ｎ
ｍ · ｎ = 2 3姨
（2 3姨 ）2+（ 3姨 ）2+1姨
= 2 3姨
4 = 3姨
2 . ……………………………………… 10分
故所求二面角M-PA-C的大小为30°. ………………………………………………………………………… 12分
22. 解：（1）由题意得
c
a = 2姨
2 ，
a2=b2+c2，
b=2
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
， ，
解得a2=8，b2=4.
∴椭圆C的标准方程为 x2
8 + y2
4 =1. ……………………………………………………………………………… 4分
（2）设M（x0，y0），且x0
2+y0
2=12，
由题意知，过点M引椭圆C的切线方程可设为y-y0=k（x-x0），
联立
y-y0=k（x-x0），
x2
8 + y2
4 =
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
1
化简得（1+2k2）x2+4k（y0-kx0）x+2（y0-kx0）2-8=0.
∵直线与椭圆相切，
∴ Δ=［4k（y0-kx0）］2-4（1+2k2）［2（y0-kx0）2-8］=0.
化简得（x0
2-8）k2-2x0y0k+y0
2-4=0. …………………………………………………………………………… 10分
∴k1·k2= y0
2-4
x0
2-8 = y0
2-4
12-y0
2-8 = y0
2-4
4-y0
2 =-1.
∴两条切线斜率的积为定值. ……………………………………………………………………………… 12分