2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（二） 10页

‎2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（二）‎ ‎17．已知数列的前项和为，且满足．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，记数列的前项和为．证明：．‎ ‎【解析】解：（1）当时，有，解得.‎ 当时，有，则，‎ 整理得：，数列是以为公比，以为首项的等比数列．‎ ‎，‎ 即数列的通项公式为：．……………………………6分 ‎（2）由（1）有，则 易知数列为递增数列，‎ ‎，即．………………………………………12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 据统计，2017年国庆中秋假日期间，黔东南州共接待游客590.23万人次，实现旅游收入48.67亿元，同比分别增长44.57%、55.22%．旅游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元），则称为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高．已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：‎ 分组 频数 ‎18‎ ‎49‎ ‎24‎ ‎5‎ ‎（1）求的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高．‎ ‎（2）若导游的奖金（单位：万元），与其一年内旅游总收入（单位：百万元）之间的关系为，求甲公司导游的年平均奖金；‎ ‎（3）从甲、乙两家公司旅游收入在的总人数中，随机的抽取人进行表彰，设来自乙公司的人数为，求的分布列及数学期望．‎ ‎【解析】解：（1）由直方图知：，有，‎ 由频数分布表知：，有．‎ 甲公司的导游优秀率为：；‎ 乙公司的导游优秀率为：；‎ 由于，所以甲公司的影响度高．………………………4分 ‎（2）甲公司年旅游总收入的人数为人；‎ 年旅游总收入的人数为人；‎ 年旅游总收入的人数为人；‎ 故甲公司导游的年平均奖金（万元）．……8分 ‎（3）由已知得，年旅游总收入在的人数为15人，其中甲公司10人，乙公司5人．故的可能取值为0，1，2，3易知：‎ ‎；；；．‎ 的分布列为：‎ 的数学期望为：．…………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，点、分别为、中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎【解析】（1）证明：取中点，连接，．‎ 在中，有，分别为、中点，，‎ 在矩形中，为中点，，，‎ 四边形是平行四边形，，‎ 而平面，平面，‎ 平面．……………………………6分 ‎（2）取中点，连接，设．‎ 四边形是矩形，，‎ 平面平面，平面平面=，平面，‎ 平面，又，，为中点，‎ ‎，，．‎ 故可建立空间直角坐标系，如图所示，则 ‎，，，，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 设是平面的一个法向量，则 ‎，即，‎ 不妨设，则．‎ 易知向量为平面的一个法向量．‎ ‎，‎ 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．…………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知点为曲线上任意一点，、，直线，的斜率之积为．‎ ‎（1）求曲线的轨迹方程；‎ ‎（2）是否存在过点的直线与曲线交于不同的两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】解：（1）设点，，则，‎ 整理得：，‎ 故曲线的轨迹方程为：，‎ ‎．……………………………………5分 ‎（2）假设存在直线满足题意．‎ 显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆不相交．‎ ①当直线的斜率时，设直线为：，‎ 联立，化简得：，‎ 由，解得，‎ 设点，，则 ‎，，‎ 取的中点，则，则，‎ 即，化简得，无实数解，故舍去．‎ ‎②当时，为椭圆的左右顶点，显然满足，此时直线的方程为．‎ 综上可知，存在直线满足题意，此时直线的方程为．……………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数，(是常数)．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，函数有零点，求的取值范围．‎ ‎【解析】解：（1）由题意知：，则 ‎，．‎ ‎①当时，令，有；令，有．‎ 故函数在上单调递增，在上单调递减．‎ ②当时，令，有；令，有．‎ 故函数在上单调递增，在和上单调递减．‎ ③当时，令，有或；令，有．‎ 故函数在和上单调递增，在上单调递减．‎ 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，‎ 单调递减区间为和；‎ 当时，函数的单调递增区间为和，‎ 单调递减区间为；………………………………………………5分 ‎（2）①当时，由可得，有，故满足题意．‎ ‎②当时，若，即时，由（1）知函数在上递增，在上递减．‎ 而，令，有，，‎ 若，即时，由（1）知函数在上递增．而，令，解得，而，‎ 故．‎ ‎③当时，由（1）知函数在上递增，由，令，解得，而，故．‎ 综上所述，的取值范围是：．…………………12分．‎