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- 2021-05-06 发布
第30课 平面向量基本定理及坐标表示
[最新考纲]
内容
要求
A
B
C
平面向量的坐标表示
√
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )
(2)在△ABC中，设＝a，＝b，则向量a与b的夹角为∠ABC.( )
(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|＝________.
[因为a＋b＝(2，－1)＋(1,3)＝(3,2)，所以|a＋b|＝＝.]
3．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝________.
(－7，－4) [＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，
＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．]
4．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.
－6 [∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，
∴－2m－4×3＝0，∴m＝－6.]
5．(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．
(1,5) [设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，
即解得]
平面向量基本定理及其应用
如图301，以向量＝a，＝b为邻边作▱OADB，＝，＝，用a，b表示，，. 【导学号：62172161】
图301
[解] ∵＝－＝a－b，
＝＝a－b，
∴＝＋＝a＋b.
∵＝a＋b，
∴＝＋＝＋
＝＝a＋b，
∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.
综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b.
[规律方法] 1.利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量．
2．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．如解答本题(2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ，μ的方程组．
[变式训练1] (1)如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________．(填序号)
①e1与e1＋e2；
②e1－2e2与e1＋2e2；
③e1＋e2与e1－e2；
④e1＋3e2与6e2＋2e1.
(2)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
(1)④ (2) [(1)①中，设e1＋e2＝λe1，则无解；
②中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；
③中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；
④中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．
(2)选择，作为平面向量的一组基底，则＝＋，＝＋，＝＋，
又＝λ＋μ＝＋，
于是得解得
所以λ＋μ＝.]
平面向量的坐标运算
已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标. 【导学号：62172162】
[解] 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
(3)设O为坐标原点．∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20)．
又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．
[规律方法] 1. 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．常利用向量相等则其坐标相同列方程(组)求解．
2．平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．
[变式训练2] (2017·苏州模拟)设向量＝(5＋cos θ，4＋sin θ)，＝(2,0)，则||的取值范围是________．
[4,6] [＝－＝(－3－cos θ，－4－sin θ)．
∴||＝＝
＝(其中tan φ＝)．
∴≤||≤，即||∈[4,6]．]
平面向量共线的坐标表示
(1)已知向量a＝(－1,1)，b＝(3，m)，若a∥(a＋b)，则m＝________.
(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，
C(4,2)，则点D的坐标为________．
(1)－3 (2)(2,4) [(1)由题意可知a＋b＝(2,1＋m)，
∵a∥(a＋b)，
∴2＋(m＋1)＝0⇒m＝－3.
(2)∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，
∴＝2.设点D的坐标为(x，y)，
则＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)．
＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，
∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，
即(4－x,2－y)＝(2，－2)，
∴解得
故点D的坐标为(2,4)．]
[规律方法] 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，则b＝λa.
2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例求解．
[变式训练3] (1)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝________.
(2)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．
(1) (2)k≠1 [(1)由a∥b，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝，
所以cos2θ＝，
所以cos θ＝或－，又θ为锐角，所以θ＝.
(2)若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线．
因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，
＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，
所以1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.]
[思想与方法]
1．平面向量基本定理实质上是平面向量的分解定理，是平面向量正交分解、坐标表示的理论基础，用平面向量基本定理可将平面内任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式．
2．利用平面向量共线的坐标表示既可以证明向量平行、点共线，也可以由平行求点的坐标或参数值．
3．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
[易错与防范]
1．在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)．但表示形式与意义不同，如点A(x，y)，向量a＝＝(x，y)，向量坐标中既有大小信息又有方向信息．
2．若a，b为非零向量，当a∥b时，a，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形致误．
3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.
课时分层训练(三十)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、填空题
1．如图302，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
图302
①与；②与；③与；④与.其中可作为该平面内其他向量的基底的是________．(填序号)
①③ [①中，不共线；③中，不共线．]
2．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于________．(用a，b表示) 【导学号：62172163】
a－b [设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，
∴∴∴c＝a－b.]
3．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为______．
－3 [∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
∴∴∴m－n＝2－5＝－3.]
4．(2017·苏州模拟)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(2，y)，且a＋2b＝(5，－3)，则x＋y＝________.
－1 [∵a＝(x,1)，b＝(2，y)，
∴a＋2b＝(x＋4,1＋2y)，
∴即
∴x＋y＝－1.]
5．(2017·南京模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(m,4)，且a∥(2a＋b)，则实数m的值为________．
2 [∵a＝(1,2)，b＝(m,4)，
∴2a＋b＝(2＋m,8)．
又a∥(2a＋b)，故8＝4＋2m，即m＝2.]
6．(2017·无锡期中)如图303，在△ABC中，＝＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
图303
[∵＝＝，
∴＝，＝.
∴＝－＝－＝(＋)－
＝－＋＝＋
又＝λ＋μ，∴λ＝μ＝.
∴λ＋μ＝.]
7.如图304，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设＝a，＝b，则＝________，＝________，＝________(用向量a，b表示)．
图304
b－a b－a a－b [＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a，＝＋＝－b＋＝b－a，＝＋＝－b－＝a－b.]
8．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________.
(－6,21) [∵Q是AC的中点，
∴＝(＋)，
∴＝2－＝(2,10)－(4,3)
＝(－2,7)．
又＝2＝(－4,14)，
∴＝＋＝(－4,14)＋(－2,7)＝(－6,21)．]
9．(2017·南京模拟)如图305，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________. 【导学号：62172164】
图305
[设＝k，k∈R.
因为＝＋＝＋k
＝＋k(－)
＝＋k
＝(1－k)＋，
且＝m＋，
所以1－k＝m，＝，
解得k＝，m＝.]
10．已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是________．
8 [∵a∥b，∴－2x－3(y－1)＝0，
化简得2x＋3y＝3.又∵x，y均为正数，
∴＋＝×(2x＋3y)
＝≥×＝8，
当且仅当＝时，等号成立，
∴＋的最小值是8.]
二、解答题
11．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b).
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若＝2，求点C的坐标. 【导学号：62172165】
[解] (1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)．
∵A，B，C三点共线，∴∥.
∵2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.
(2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)．
∴解得
∴点C的坐标为(5，－3)．
12．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
[解] (1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，
所以解得
(2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，
由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－.
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图306所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝________.
图306
4 [以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，
则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，
∴a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb，
∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
即
解得∴＝4.]
2．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图307所示，点C在以O为圆心的上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值为________．
图307
2 [以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(1,0)，B.
设∠AOC＝α，则C(cos α，sin α)，
由＝x＋y，
得
所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，
所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin，
又α∈，所以当α＝时，x＋y取得最大值2.]
3．已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2.
(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线．
[解] (1)＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)
＝(4t2,2t1＋4t2)．
当点M在第二或第三象限时，有
故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0.
(2)证明：当t1＝1时，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)．
∵＝－＝(4,4)，
＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2，
∴与共线，又有公共点A，∴A，B，M三点共线．
4．已知三点A(a,0)，B(0，b)，C(2,2)，其中a>0，b>0.
(1)若O是坐标原点，且四边形OACB是平行四边形，试求a，b的值；
(2)若A，B，C三点共线，试求a＋b的最小值．
[解] (1)因为四边形OACB是平行四边形，
所以＝，即(a,0)＝(2,2－b)，
解得
故a＝2，b＝2.
(2)因为＝(－a，b)，＝(2,2－b)，
由A，B，C三点共线，得∥，
所以－a(2－b)－2b＝0，
即2(a＋b)＝ab，
因为a>0，b>0，
所以2(a＋b)＝ab≤2，
即(a＋b)2－8(a＋b)≥0，
解得a＋b≥8或a＋b≤0.
因为a>0，b>0，
所以a＋b≥8，即a＋b的最小值是8.
当且仅当a＝b＝4时，“＝”成立．