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- 2021-05-06 发布
（四川省阆中中学2020届高三）2020年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试（二）数学（理）试题
一. 选择题（每题5分，共60分）
1. 已知集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={(x,y)| x∈A, y∈A, x-y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 10
2. 设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ）
A． B．
C． D．
3. 已知向量，且，则m =（ ）
A．8 B．6 C．-6 D．-8
4．已知双曲线，其焦点到的一条渐近线的距离为2,该双曲线的离
心率为
A． B． C． D．
5．我国古代数学著作（算法统宗》中有这样一个问题（意为）:“有一个人要走378里路,第
一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的
地．“那么，此人第4天和第5天共走路程是
A．24里 B．36里 C．48里 D．60里
6. 安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的
安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
7．已知满足，则（ ）
A． B． C． D．
8.已知 则a，b，c的大小关系为( )
A． B． C． D．
9. 函数在的图像大致为( )
10. 如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为( )
11.设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆
过点，则的方程为（ ）
A.或 B.或
C.或 D.或
12.若对于任意的,,有恒成立,则
的最小值为 （ ）
A. B. C. D.
二.填空题（每题5分，共20分）
13.若x，y满足，则的最小值为
14.的展开式中，的系数是_______．（用数字填写答案）
15.已知函数，，则
_____．
16.在中，若，则的最小值为
三、解答题（共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本题满分12分）设等差数列的前项和为，数列是等比数列，
,,.
（1）求数列和 的通项公式；
（2）设, 求数列的前项和.
18.（本题满分12分）在某单位的食堂中，食堂每天以10元/斤的价格购进米粉，然后
以4.4元/碗的价格出售，每碗内含米粉0.2斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以2元/斤的价格卖给养猪场.根据以往统计资料，得到食堂某天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂购进了80斤米粉，以（斤）（其中）表示米粉的需求量，（元）表示利润.
（1）估计该天食堂利润不少于760元的概率；
（2）在直方图的需求量分组中，以区间中间值作为该区间的需求量，以需求量落入该区
间的频率作为需求量在该区间的概率，求 的分布列和数学期望.
19.（本题满分12分）如图所示，直三棱柱 的各棱长均相等，点为
的中点.
（1）证明：;
（2）求二面角 的余弦值.
20.（本题满分12分）己知圆F1：(x+1)2 +y2= r2(1≤r≤3)，圆F2：(x-1)2+y2= (4-r)2 ．
（1）证明：圆F1与圆F2有公共点，并求公共点的轨迹E的方程；
（2）已知点Q(m，0)(m<0)，过点且斜率为k(k≠0）的直线与（Ⅰ）中轨迹E相交
于M，N两点，记直线QM的斜率为，直线QN的斜率为， 是否存在实数
使得为定值？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
21.（本题满分12分）已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，为的导数．
（1）证明：在区间存在唯一零点；
（2）若x∈[0,π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
请考生在第22,23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题得分.作答时请写清题号
22.（本题满分10分）在平面直角坐标系中，的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到 距离的最大值及该点坐标.
23.（本题满分10分）设函数.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.
参考答案
一、请将选择答案填入下列表格（每小题5分，共计60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
A
B
B
D
A
B
C
A
D
C
二、 请将填空题答案填入下列横线（每小题5分，共计20分）
13．2 14．10 15. -2 16.
三、 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）
17. （1）解：设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .
，即 ，
..........................................................................................................2分
， ， ......................................3分
. ， ， ............................6分
（2）解： .............................8分
...........................................10分
.....12分
18. （1）解：一斤米粉的售价是 元.
当 时， .
当 时， .
故 ............................................................................3分
设利润 不少于760元为事件 ，
利润 不少于760元时，即 .
解得 ，即 .
由直方图可知，当 时，
.........................................................5分
（2）解：当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时，
所以 可能的取值为460，660，860，960.........................................................9分
，
，
，
.
故 的分布列为
........................................................................10分
................................12分
19.（1）证明：设 与 交点为 ，连接 ， . 由题可知四边形 为正方形，所以 ，且 为 中点.
又因 ， ，
所以 ，所以 .
又因为 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 ....................5分
（2）解：取 的中点 ，连接 ， ，在平面 过点 内作 的垂线，如图所示，建立空间直角坐标系 .
设 ，则 ， ， ， .
所以 ， .......................................................................7分
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ................9分
由（1）可知平面 的一个法向量为 ，.............................10分
则
由图可知二面角 为锐角，所以其余弦值为 ......................................12分
20. （1）证明：因为 ， ，所以 ，
因为圆 的半径为 ，圆 的半径为 ，......................................................1分
又因为 ，所以 ，即 ，
所以圆 与圆 有公共点，.........................................................................................2分
设公共点为 ，因此 ，所以 点的轨迹 是以 ， 为焦点的椭圆，所以 ， ， ，....................................4分
即轨迹 的方程为 ..........................................................................................5分
（2）解：过 点且斜率为 的直线方程为 ，设 ，
由 消去 得到 ，
则 ， ， ① ...............................................................7分
因为 ， ，
所以
，
将①式代入整理得 ...................................................10分
因为 ，
所以当 时，即 时， .
即存在实数 使得 ..............................................................12分
21.解：（1）设，则..........1分
当时，；当时，，
所以在单调递增，在单调递减...........................................3分
又，故在存在唯一零点.............4分
所以在存在唯一零点.......................................................................5分
（2）由题设知f（x）≥ax ，则解得a≤0..............................................6分
现在只要说明a≤0符合题意
由（1）知，在只有一个零点，设为，
且当时，当时，，
所以在单调递增，在单调递减...........................................8分
又，所以，当时，f（x）≥0................................10分
又当时，ax≤0，故...............................................................11分
因此，a的取值范围是.........................................................................................12分
22.（1）解：由 （t为参数），得 .
消去参数t ， 得 的普通方程为 ；..........................................3分
将 去分母得 ，将 代入，得
所以曲线C的直角坐标方程为 ..................................................5分
（2）解：由（1）可设曲线C的参数方程为 （ 为参数），......................6分
则曲线C上的点到 的距离
，..................................................7分
当 ，即 时，.......................................8分
，....................................................................9分
此时， ，...................................................................10分
所以曲线C上的点到直线 距离的最大值为 ，该点坐标为 .......................10分
23. 解：（Ⅰ） ，..........................................................2分
当 时， ，解得 ，所以 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ，所以 ，...............................................4分
综上所述，不等式 的解集为 或 ..............................5分
（Ⅱ）∵
（当且仅当 即 时取等）.................................................7分
∴ .....................................................10分