陕西省西安中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版含答案 10页

- 1 - 西安中学2020～2021学年度第一学期期末考试 高二理科数学 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 抛物线 21 4y x 的焦点坐标是( ) A.  1,0 B.  0,1 C.  2,0 D.  0,2 2. 设直线 1l 、 2l 的方向向量分别为  1,2, 2a   ，  2,3,b m  ，若 1 2l l ，则m 等 于( ) A. 1 B. 2 C. 1 2 D. 3 3. “若 0x  或 1x  ，则 2 0x x  ”的否命题为( ) A. 若 0x  或 1x  ，则 2 0x x  B. 若 2 0x x  ，则 0x  或 1x  C. 若 0x  或 1x  ，则 2 0x x  D. 若 0x  且 1x  ，则 2 0x x  4. 下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( ) ① 长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ② 平行且模相等的两个向量是相等向量； ③ 若 a b  ，则 a b  ； ④ 两个向量相等，则它们的起点与终点相同． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 过抛物线 E： 2 2y x 焦点的直线交 E 于 A，B 两点，线段 AB 中点 M 到 y 轴距 离为 1，则 AB  ( ) A. 2 B. 5 2 C. 3 D. 4 6. 函数   21 ln2f x x x  的单调递减区间为( ) A.  1,1 B.  ,1 C.  0,1 D.  1, - 2 - 7. 已知双曲线 C 的一条渐近线的方程是： 2y x ，且该双曲线 C 经过点 2,2 ， 则双曲线 C 的方程是( ) A. 2 22 17 14 x y  B. 2 22 17 14 y x  C. 2 2 14 xy   D. 2 2 14 yx   8. 对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，且 OP x yOB zOA OC       , ,x y z R ，则 2x  ， 3y   ， 2z  是 P，A，B，C 四点共面的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必 要条件 9. 椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的右焦点为 F，若存在直线 y t 与椭圆 C 交于 A， B 两点，使得 ABF 为等腰直角三角形，则椭圆 C 的离心率e  ( ) A. 2 2 B. 2 1 C. 5 1 D. 1 2 10. 已知函数    2 1f x ksinx x k R    ，当    , 2 2,k     时，  f x 在  0,2 内的极值点的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. 如图，已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D ，Q 是平面 ABCD 内一 动点，若 1D Q 与 1D C 所成角为 4  ，则动点 Q 的轨迹是 ( ) A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 12. 双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b     的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，过 1F 的直线与 C 的左支交于 M，N 两点，若 2 1 2 1· 0F F F M MF    ， 2 22F N F M  ，则 C 的 渐近线方程为( ) 第 11 题 - 3 - A. 3 3y x  B. 3y x  C. 2 2y x  D. 2y x  二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 命题“ 0x R  ， 2 0 02 3 9 0x ax   ”为假命题，则实数 a 的取值范围是 ． 14. 在空间直角坐标系中，    1,1,1 , 2,3,4A B ，平面 BCD 的一个法向量是 1,2,1 ， 则点 A 到平面 BCD 的距离为 ． 15. 过椭圆 2 2 116 4 x y  内一点  2,1M 引一条弦，使弦被 M 平分，则此弦所在直线 方程为 ． 16. 设       22 22 , ,4 4 ab bF a b a e b a b R         ，则  ,F a b 的最小值 为 ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17. ( 本题满分 10 分 )  1 求焦点在 x 轴上，虚轴长为 12，离心率为 5 4 的双曲线的标准方程；  2 求经过点  2, 4P   的抛物线的标准方程． 18. ( 本题满分 12 分 ) 如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD 平面 ABCD，四 边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，且 PAD 为等边三角 形．  1 求证： PA CD ；  2 求二面角 D PA C  的正弦值． 19. ( 本题满分 12 分 ) 已知函数   31 3f x x ax b   ，在点   1, 1M f 处的切线方程 为9 3 10 0x y   ，求： - 4 -  1 实数 a，b 的值；  2 函数  f x 的单调区间以及在区间 0,3 上的极值． 20. ( 本题满分 12 分 ) 如图 1，在 MBC 中， 2 4BM BC  ， BM BC ， ,A D 别为 棱 BM，MC 的中点，将 MAD 沿 AD 折起到 PAD 的位置，使 90PAB   ， 如图 2，连结 PB，PC  1 求证：平面 PAD 平面 ABCD； 2 线段 PC 上是否存在一点 E，使二面角 E AD P  的余弦值为 3 10 10 ？若存在，求出 PE PC 的值；若不存在，请说明理 由． 21. ( 本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 与两定点    2,0 , 2,0A B 连线的斜率之积为 1 2  ，记点 P 的轨迹为曲线 C  1 求曲线 C 的方程；  2 若过点 2,0 的直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，曲线 C 上是否存在点 E， 使得四边形 OMEN 为平行四边形？若存在，求直线 l 的方程，若不存在，说明 理由 . 22. ( 本题满分 12 分) 已知函数    xf x ax e a R   ，   lnxg x x  ．  1 求函数  f x 的单调区间 - 5 -  2 若  0 0,x   ，使不等式     xf x g x e„ 成立，求 a 的取值范围． 西安中学2020～2021学年度第一学期期末考试 高二理科数学答案 一、选择题：(5 分×12=60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B D B C C D B B C C B 二、填空题(5 分×4=20 分) 13. 2 2,2 2   14. 6 15. 2 4 0x y   16. 2 1 三、解答题(共 70 分，17 题 10 分，其余均为 12 分) 17.  1 解：焦点在 x 轴上，设所求双曲线的方程为 2 2 2 2 1x y a b   ． 由题意，得 2 2 2 2 12 5 4 b c a c a b       解得 8a  ， 10. 6c b   ． 所以焦点在 x 轴上的双曲线的方程为 2 2 164 36 x y  ； …………………………. 5 分  2 解：由于点 P 在第三象限，所以抛物线方程可设为： 2 2y px  或 2 2x py  - 6 - 在第一种情形下，求得抛物线方程为： 2 8y x  ； 在第二种情形下，求得抛物线方程为： 2x y  …………………………. 5 分 18. ( 1 ) 证明：四边形 ABCD 为正方形，所以 CD AD ，平面 PAD  平面 ABCD，平面 PAD  平面 ABCD AD ，  CD  平面 ADP 又 PA  平面 ADP ，所以 PA CD 。…………………………. 4 分 ( 2 ) 解：取 AD 中点记为O ，连结 BO .由于 PAD 为等边三角形，O 为 AD 中点，PO AD 又平面 PAD  平面 ABCD，平面 PAD  平面 ABCD AD ，所以 PO  平面 ABCD， 在平面 ABCD 内过O 作直线平行于 AB ，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz ， ………………………. 6 分 则  1 0,0,A ，  0 3,0,P ，  ,1 0,0D  ，  ,1 0,2C   1,0, 3AP   ，  2,2,0AC   平面 PAD 的一个法向量为  0,1,0m  ． …………………………. 8 分 设平面 PAC 的一个法向量  2 2 2, ,n x y z ， 则有 2 2 2 2 0 2 0 3 2 zAP n x AC n x y                ， 令 2 1x  ，则 31,1, 3n        …………………………. 10 分 则有 1 21cos , 731 1 1 3 m n m n n m n               ， 则二面角 D PA C  的正弦值 2 7 7 …………………………. 12 分 - 7 - 19. 解：  1 因为在点   1, 1M f 处的切线方程为9 3 10 0x y   ， 所以切线斜率是 3k   ，且  9 1 3 1 10 0f    ， 求得   11 3f  ，即点 11, 3M      ，…………………………. 2 分 又函数   31 3f x x ax b   ，则   2'f x x a  ， 所以依题意得     1 1 3 1 11 3 3 f a f a b           ，解得 4 4 a b    ．…………………………. 5 分  2 由 1 知   31 4 43f x x x   所以     2' 4 2 2f x x x x     ， 令  ' 0f x  ，解得 2x  或 2x   ， 当  ' 0 2f x x   或    2x   ； 当 的单调递增区间是 ,2 ，  2, ， 单调递减区间是 2,2 ，…………………………. 8 分 又  0,3x ， 所以当 x 变化时，  f x 和  'f x 变化情况如下表： x 0  0,2 2  2,3 3  f x  0  0  f x 4 减 极小值 4 3  增 1 …………………………. 11 分 由表可知，当 2x  时，  f x 有极小值 4 3  …………………………. 12 分 - 8 - 20. ( Ⅰ ) 证明：因为 A，D 分别为 MB，MC 中点，所以 / /AD BC ． 因为 BM BC ，所以 .BM AD 所以 PA AD ． 因为 90PAB  ，所以 PA AB ． 又因为 AB AD A  ，AB，AD  平面 ABCD， 所以 PA  平面 ABCD． 又因为 PA  平面 PAD，所以平面 PAD  平面 .ABCD …………………………. 4 分 ( Ⅱ ) 解：因为 PA AB ， PA AD ， 90PAB  ，所以 AP，AB，AD 两两互相垂直． 以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz ， 假设线段 PC 上存在一点 E，使二面角 E AD P  的余弦值为 3 10 10 ． 设  0 0 0, ,E x y z ，  0 1PE PC     ， 则  0 1PE PC     ， 即    0 0 0, , 2 2 ,2 , 2PE x y z PC         ． 所以  2 ,2 ,2 2E    ，…………………………. 6 分  0,1,0AD  ，  2 ,2 ,2 2AE     ． 平面 PAD 的一个法向量为 (1,m  0， 0) ． 设平面 ADE 的一个法向量  2 2 2, ,p x y z ， 则有   2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 AD p y AE p x y z                 ， 令 2z  ，则 ( 1,p   0， ) ．…………………………. 8 分 若二面角 E AD P  的余弦值为 3 10 10 ， 则有 2 2 1 3 10cos , 10( 1) m pm p m p               ，…………………………. 10 分 - 9 - 由 0 1  ，解得 1 4   ． 故线段 PC 上存在一点 E，使二面角 E AD P  的余弦值为 3 10 10 ，且 1 4 PE PC  ． …………………………. 12 分 21. 解：  1 设  ,P x y ， 1 2PA PBk k   ，则， 1 2 2 2 y y x x     整理得   2 2 1, 24 2 x y x    曲线 C 的方程为   2 2 1 24 2 x y x    ………………………….4 分  2 设  1 1,M x y ，  2 2,N x y ，由题意知 l 的斜率一定不为 0， 故不妨设 l： 2x my  ，代入椭圆方程整理得：  2 22 2 2 2 0m y my    ， 0 ， 1 2 2 2 2 2 my y m     ，  1 2 1 2 2 4 22 2 2x x m y y m        ． ………………………….8 分 假设存在点 E，使得四边形 OMEN 为平行四边形， 其充要条件为 OE OM ON    ． 则点 E 的坐标为 1 2 1 2 2 2 4 2 2 2, . , .2 2 mx x y y E m m          ………………………….10 分 把 E 的坐标代入得   2 2 1, 24 2 x y x    可得： 4 4 0m   ．解得 2 2m  ． 直线 l 的方程为 2 2 0x y   ………………………….12 分 22. （1） ( ) ,xf x a e x    R 当 0a  时， ( ) 0, ( )f x f x  在 R 上单调递减； 当 0a  时，令 ( ) 0f x  ，得 lnx a 由 ( ) 0f x  ，得 ( )f x 的单调递增区间为 ( ,ln )a 由 ( ) 0f x  ，得 ( )f x 的单调递减区间为 (ln , )a  - 10 - 综上，当 0a  时， ( )f x 的单调递减区间为 R ； 当 0a  时， ( )f x 的单调递增区间为 ( ,ln ), ( )a f x 的单调递减区间为 (ln , )a  ………………………….5 分 （2） 0 (0, )x   ，使不等式 ( ) ( ) xf x g x e  ，则 ln xax x  ，即 2 ln xa x  . 设 2 ln( ) xh x x  ，则问题转化为 max2 ln( )xa x  ，………………………….6 分 由 3 1 2ln( ) xh x x   令 ( ) 0h x  ，则 x e .………………………….8 分 当 x 在区间 (0, ) 内变化时， ( )h x 和 ( )h x 变化情况如下表： x (0, )e e ( , )e  ( )h x  0  ( )h x 单调递增 极大值 1 2e 单调递减 由上表可知，当 x e 时，函数 ( )h x 有极大值，即最大值为 1 2e ， 1, 2a e       .………………………….12 分