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- 2021-05-06 发布
梅河口市第五中学 2018 年下学期高二 4 月
数学试题（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.
1．已知集合 A = {0,1, 2} ， B = {z | z = x + y, x Î A, y Î A} ，则 B = （ ）
A．{0,1, 2, 3, 4}
B．{0,1, 2}
C．{0, 2, 4}
D．{1, 2}
2．若复数 z = 1 + i ，则 (1 + z) × z = ( )．
A．1 + 3i
B． 3 + 3i
C． 3 - i
D． 3
3．执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16
ç ÷
4．函数 y＝ æ 1 ö
è 2 ø
- x2 +2x
的值域是
A．R B． é 1 , + ¥ ö
êë 2 ÷
C．（2，＋∞） D. （0，＋∞）
5．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出 了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1∶2∶3，第
2 小组的频数为 12，则抽取的学生总人数是( )
A.12 B.24 C.48 D.56
6.已知函数 f ( x) =（m + 2) x 2 + mx + 1 为偶函数，则 f ( x) 在区间 (1，+ ¥) 上是
（ ）
A．先增后减 B．先减后增 C．减函数 D．增函数
7．同时投掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为 4 的概率是（ ） A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
18 12 9 6
8．下表是某厂 1—4 月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
月份 x
1
2
3
4
用水量 y
4．5
4
3
2．5
由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程为
$y ＝－0．7x＋a，则 a 等于( )
A．10．5 B．5．15 C．5．2 D．5．25
9．用反证法证明命题“设 a, b 为实数，则方程 x 2 + ax + b = 0 至少有一个实根”时，要做的假设是（ ） A.方程 x 2 + ax + b = 0 没有实根
B.方程 x 2 + ax + b = 0 至多有一个实根 C.方程 x 2 + ax + b = 0 至多有两个实根
D.方程 x 2 + ax + b = 0 恰好有两个实根
10．在区间[-1,1] 上随机取一个数 x， cos px 的值介于 0 到 1 之间的概率为
A． 1
2
B． 2
p
C． 1
3
2 2
D． 2
3
11．若 a > b > 1， P =
lg a lg b , Q = 1 (lg a + lg b), R = lg( a + b ) ，则下列不等式成立的是（ ）
A． R < P < Q
2
B． P < Q < R
2
C． Q < P < R
D． P < R < Q
12．已知函数 f ( x) 的定义域为 (0, +¥) , f ¢ ( x ) 为 f ( x) 的导函数，且满足 f ( x ) < -xf ¢ ( x ) ，则不等式
f ( x +1) > ( x -1) f ( x2 -1) 的解集是( )
A． (1, +¥)
B． (2, +¥)
C． (1, 2) D． (0,1)
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知 A Í {1, 2, 3, 4} ，且 A 中至少有一个偶数，则这样的 A 有 个.
14．某班级有 50 名学生，现要采取系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名学生，将这 50 名学生随机 编号 1～50 号，并分组，第一组 1～5 号，第二组 6～10 号，…，第十组 46～50 号，若在第三组中抽得号码 为 12 的学生，则在第八组中抽得号码为 的学生．
15．若不等式 2 x2 + ax + b < 0 的解集为{x -3 < x < 2} ，则 a =
16．已知 f ( x) = x 2 + 2xf '(1) ，则 f ' (0) = ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本题满分 10 分）
已知函数 f (x) = sin2 2x +
3 sin 2x × cos 2x ．
（1）求 f ( x) 的最小正周期；
（2）若 x Î[ p , p ] ，且 f ( x) = 1 ，求 x 的值．
8 4
18.（本题满分 12 分）
已知等比数列{an } 的各项均为正数， a1 = 1 ，公比为 q ；等差数列{bn } 中，b1 = 3 ，且{bn } 的前 n 项和 为
a
n 3 3
S ， a + S = 27, q = S2 .
2
（1）求{an } 与{bn } 的通项公式；
（2）设数列{cn } 满足 cn
= 9 ，求{c } 的前 n 项和T .
2S n n
n
19.（本题满分 12 分）
已知函数 f ( x) =| 2x - a | + | 2x + 3 | ， g ( x) =| x - 1 | +2 ．
（1）解不等式| g ( x) |< 5 ；
（2）若对任意 x1 Î R ，都存在 x2 Î R ，使得 f ( x1 ) = g ( x2 ) 成立，求实数 a 的取值范围．
20．（本题满分 12 分） 大家知道，莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家，国人欢欣鼓舞.某高校文学社从男女生中各抽取 50 名 同学调查对莫言作品的了解程度，结果如下：
阅读过莫言的
作品数（篇）
0~25
26~50
51~75
76~100
101~130
男生
3
6
11
18
12
女生
4
8
13
15
10
（1）试估计该校学生阅读莫言作品超过 50 篇的概率；
（2）对莫言作品阅读超过 75 篇的则称为“对莫言作品非常了解”，否则为“一般了解”.根据题意完成下 表，并判断能否有 75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关？
非常了解
一般了解
合计
男生
女生
合计
附： K 2
n(ad - bc )2
= (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
P(K 2 ³ k )
0
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k 0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
21.（本题满分 12 分）
已知椭圆 C： x a 2
y2 3
+ ＝1(a>b>0)的焦点为 F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点 P(1， )．
b2 2
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，问在椭圆 C 上是否存在一点 M，使四边形 AMBF2 为平行四边 形，若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，请说明理由．
22．（本题满分 12 分）
已知函数 f ( x) = x 2 + 2x + a ln x(a Î R).
（1）当 a = -4 时，求 f ( x) 的最小值；
（2）若函数 f ( x) 在区间（0,1）上为单调函数，求实数 a 的取值范围
一．选择
数学答案（文科）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
A
A
C
B
C
D
C
D
A
C
B
B
二．填空
13. 12 ；14. 37； 15. 2； 16. - 4
三．解答题
17.解：（1） f ( x) = 1 - cos 4x +
3 sin 2x × cos 2x = 1 - cos 4x +
3 sin 4x
2 2 2
= sin(4 x - p ) + 1 ． 3 分
6 2
因为 T = 2p = p ， 所以 f ( x) 的最小正周期是
4 2
p
． 5 分
2
（2）由（1）得，因为 f ( x) = 1 ，所以 sin(4 x - p ) = 1
6 2
p p
而 £ x £ ， 所以
8 4
所以 x = p
4
p £ 4 x - p £ 5p ，
3 6 6
10 分
18.解：（1）设数列{bn } 的公差为 d ，
ìa3 + S3 = 27
ïìq2 + 3d = 18
ìq = 3
ï
ï
Q íq = S2
Þ í Þ
ïî6 + d = q 2
î
í d = 3.
an
= 3n -1 ， b
= 3n 6 分
î a2
n (3 + 3n )
（2）由题意得： Sn = ，
2
c = 9
= 9 × 2 æ
1 ö 1 1
= 3( - )
n 2S
2 3 ç n ( n + 1) ÷
n n + 1
è ø
T = 3[(1 - 1 ) + ( 1 - 1 ) + L + ( 1 -
1 )] = 3n
12 分
n 2 2 3
n n + 1
n + 1
19.解：（Ⅰ）由
x - 1 + 2 < 5 得 -5 <
x -1 + 2 < 5
-7 <
x -1 < 3 ，得不等式的解集为{x - 2 < x < 4} 5 分
（Ⅱ）因为任意 x1 Î R ，都有 x2 Î R ，使得 f ( x1 ) = g ( x2 ) 成立，
所以{ y | y =
f ( x)} Í { y | y = g ( x)} ， 7 分
又 f ( x) = 2x - a + 2x + 3 ³| (2x - a) - (2x + 3) |=| a + 3 | ，
g ( x) =| x - 1 | +2 ³ 2 ，所以| a + 3 |³ 2 ，解得 a ³ -1 或 a £ -5 ，
所以实数 a 的取值范围为 a ³ -1 或 a £ -5
12 分
20.解：（1）由抽样调查阅读莫言作品在 50 篇以上的频率为 11 + 18 + 12 + 13 + 15 + 10 =
50 + 50
79
100
，据此估计该
校学生阅读莫言作品超过 50 篇的概率约为 P =
（2）
79 5 分
100
非常了解
一般了解
合计
男生
30
20
50
女生
25
25
50
合计
55
45
100
8 分
根据列联表数据得
100 ´ (30 ´ 25 - 20 ´ 25)2
K 2 =
50 ´ 50 ´ 55 ´ 45
» 1.010 < 1.323 ，
所以没有 75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关. 12 分
1
21.解：(1)∵c＝1，
a2
9
＋
4b2
＝1，a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝ 3 ，
x2 y 2
∴椭圆 C 的方程为 ＋
4 3
＝1. 5 分
(2)假设存在符合条件的点 M(x0，y0)，设直线 l 的方程为 x＝my－1，
ì x = my - 1
2 2
由 í
î3x2 + 4 y 2 = 12
，消去 x 得：(3m ＋4)y －6my－9＝0，由条件知Δ>0，
6m 4 3m
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1＋y2＝ ，∴AB 的中点为(－ ， )，
3m2 + 4 3m2 + 4 3m2 + 4
∵四边形 AMBF2 为平行四边形，∴AB 的中点与 MF2 的中点重合，
ì x0 + 1 = - 4
ï 2 3m2 + 4
即 í
，∴M(－
3m2 + 12
2
6m
， )，
2
ï y0
= 3m
3m + 4
3m + 4
ïî 2 3m2 + 4
20
把点 M 的坐标代入椭圆 C 的方程得：27m4－24m2－80＝0，解得 m2＝ ，
9
3 5
∴存在符合条件的直线 l，其方程为：y＝±
10
(x＋1)． 12 分
22.解：（Ⅰ） x > 0 ， f ' ( x) = 2 x + 2 - 4 = 2 x
+ 2 x - 4
，
x x
得到 f ( x) 的增区间为 (1, +¥) ； f ' ( x) < 0 ，得到 f ( x) 的减区间为（0,1），
所以 f ( x) 的最小值为 f ( x)min =
f (1) = 3 。 5 分
（Ⅱ） f / ( x) = 2 x + 2 + a x
2 x 2 + 2 x + a
=
x
， x > 0
设 u ( x ) = 2 x2 + 2 x + a ；
u ( x ) = 2 x 2 + 2 x + a = 2( x + 1 )2 - 1 + a ，
2 2
所以 u ( x ) 在（0,1）上为增函数，那么若函数 f ( x) 在区间（0,1）上为单调增函数，即 u ( x ) ³ 0 ，只需要
令 u (0) ³ 0 即可，解得 x Î[0, +¥) ；
若 函 数
f ( x) 在 区 间 （ 0,1 ） 上 为 单 调 减 函 数 ， 即 只 需 令 u (1) £ 0 即 可 ， 解 得 x Î ( -¥, -4] ， 所 以
x Î (-¥, -4] U [0, +¥) 。 12 分