全国高考数学试题及答案上海文科卷 7页

‎2012年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）‎ 数学试卷（文史类）‎ 一、填空题（56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．‎ 1． 计算：_________________（为虚数单位）．‎ 2． 若集合，，则_________________．‎ 3． 函数的最小正周期是_________________．‎ 4． 若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为_________________（结果用反三角函数值表示）．‎ 5． 一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为_________________．‎ 6． 方程的解是_________________．‎ 7． 有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则_________________． ‎ 8． 在的二项展开式中，常数项等于_________________．‎ 9． 已知是奇函数，若且，则_________________．‎ 10． 满足约束条件的目标函数的最小值是_________________．‎ 11． 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 _________________（结果用最简分数表示）．‎ 12． 在矩形中，边、的长分别为2、1，若分别是边上的点，且满足，则的取值范围是_________________．‎ 13． 已知函数的图象是折线段，其中、、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为_________________．‎ 1． 已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是_________________．‎ 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．‎ 2． 若是关于的实系数方程的一个复数根，则 答：【 】‎ ‎（A）， （B），‎ ‎（C）， （D），‎ 3． 对于常数，“”是“方程的曲线是椭圆”的 答：【 】‎ ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 4． 在△中，若，则△的形状是（ ）‎ 答：【 】‎ ‎（A）钝角三角形 （B）直角三角形 ‎（C）锐角三角形 （D）不能确定 5． 若，在中，正数的个数是（ ）‎ 答：【 】‎ ‎（A）16 （B）72‎ ‎（C）86 （D）100‎ 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ 6． ‎（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）‎ 如图，在三棱锥中，底面，是的中点，已知，，，，求：‎ ‎（1）三棱锥的体积；‎ ‎（2）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．‎ 7． ‎（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数（）的反函数．‎ 1． ‎（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里处，如图．现假设：‎ ① 失事船的移动路径可视为抛物线；‎ ② 定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；‎ ③ 救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为．‎ ‎（1）当时，写出失事船所在位置的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；‎ ‎（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？‎ 2． ‎（本题满分16分，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分）‎ 在平面直角坐标系中，已知双曲线．‎ ‎（1）设是的左焦点，是右支上一点，若，求点的坐标； ‎ ‎（2）过的左焦点作的两条渐进线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； ‎ ‎（3）设斜率为的直线交于两点，若与圆相切，求证：．‎ 3． ‎（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）‎ 对于项数为的有穷数列，记，即为中的最大值，并称数列是的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5‎ ‎（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的；‎ ‎（2）设是的控制数列，满足（为常数，），求证：（）；‎ ‎（3）设，常数，若，是的控制数列，求 ‎．‎