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- 2021-05-06 发布
数学试卷（理科）
一．选择题（共12小题，每题5分，计60分）
1．设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（ ）
A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n
C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0
3．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么（ ）
A．甲是乙成立的充分不必要条件 B．甲是乙成立的必要不充分条件
C．甲是乙成立的充要条件 D．甲是乙成立的非充分非必要条件
4．已知条件p：a＜0，条件q：a2＞a，则￢p是￢q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≥9 B．a≤9 C．a≥10 D．a≤10
6．当a＞0时，设命题P：函数在区间（1，2）上单调递增；命题Q：不等式x2+ax+1＞0对任意x∈R都成立．若“P且Q”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．0＜a≤1 B．1≤a＜2 C．0≤a≤2 D．0＜a＜1或a≥2
7．已知方程表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1 B．m＞2 C．m＜﹣1或m＞2 D．﹣1＜m＜2
8．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（ ）
A．（x≠0） B．（x≠0）
C．（x≠0） D．（x≠0）
9．如图过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若
|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为（ ）
A．y2＝x B．y2＝9x C．y2＝x D．y2＝3x
10．椭圆的两顶点为A（a，0），B（0，b），且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（ ）
A． B． C． D．
11．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e＝（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题，每题5分，计20分）
13．已知命题p：∀x∈R，x2+mx+1＞0，若命题p的逆否命题为真命题，则实数m的取值范围为 ．
14．已知p：﹣2≤x≤11，q：1﹣3m≤x≤3+m（m＞0），若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ．
15．P是双曲线﹣y2＝1的右支上一动点，F是双曲线的右焦点，已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为 ．
16．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．则该椭圆的离心率的取值范围是 ．
三．解答题（共6小题，计70分）
17．（10分）已知，命题p：∀x∈R，x2+ax+2≥0，命题q：∃x∈[﹣3，﹣]，x2﹣ax+1＝0．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题q为真命题，求实数a的取值范围．
18．(12分）已知p：函数f（x）＝的值域是[0，+∞），q：关于a的不等式
a2﹣（2m﹣5）a+m（m﹣5）＞0，若￢p是￢q充分不必要条件，求实数m的取值范围．
19．已知命题p：方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆．
命题q：实数m满足m2﹣4am+3a2＜0，其中a＞0．
（Ⅰ）当a＝1且p∧q为真命题时，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
20．已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，长轴长为6，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆在y轴的正半轴上的焦点为M，点A，B在椭圆上，且＝2，求线段AB所在直线的方程．
21．已知椭圆C：，直线l：y＝kx+1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点．
（1）若直线l与直线OD（O为坐标原点）的斜率之积为，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M使得当k变化时，总有∠AMO＝∠BMO（O为坐标原点）．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．
22．已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（﹣3，0），一条渐近线的方程是．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若以k（k≠0）为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．
参考答案与试题解析
1．解：由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立：例如取x＝3，y＝．
∴p是q的充分不必要条件．故选：A．
2．解：命题为全称命题，
则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．
3解：命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，
命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆
∵当一个动点到两个定点距离之和等于定值时，
再加上这个和大于两个定点之间的距离，
可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，
而点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆，一定能够推出|PA|+|PB|是定值，
∴甲是乙成立的必要不充分条件故选：B．
4．解：∵条件p：a＜0，条件q：a2＞a，⇔a＜0或a＞1
故条件p是条件q的充分不必要条件则¬p是¬q的必要不充分条件故选：B．
5．解：命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”⇔“∀x∈[1，3]，x2≤a”⇔9≤a
a≥10是命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选：C．
6．解：∵函数在区间（1，2）上单调递增；
由对勾函数图像可知∴a≤1．且a＞0…①
又不等式x2+ax+1＞0对任意x∈R都成立，
∴△＝a2﹣4＜0，
∴﹣2＜a＜2…②若“P且Q”是真命题，
则P且Q都是真命题，故由①②的交集得：0＜a≤1，
则实数a的取值范围是0＜a≤1．故选：A．
7．解：∵方程，∴（m﹣2）（m+1）＜0，
解得﹣1＜m＜2，∴m的取值范围是（﹣1，2）．故选：D．
8．解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），
∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，
∵12＞8∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4∴b2＝20，∴椭圆的方程是故选：B．
9．解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，
在直角三角形ACE中，∵|AF|＝3，|AC|＝3+3a，
∴2|AE|＝|AC|∴3+3a＝6，从而得a＝1，∵BD∥FG，
∴＝求得p＝，因此抛物线方程为y2＝3x．故选：D．
10．解：依题意可知点F（﹣c，0）
直线AB斜率为 ＝，直线BF的斜率为 ＝
∵∠FBA＝90°，∴（ ）•＝﹣＝﹣1
整理得c2+ac﹣a2＝0，即（）2+﹣1＝0，即e2+e﹣1＝0
解得e＝或﹣∵0＜e＜1∴e＝，故选：C．
11解：已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为：N
则：连接AF，AN，AF，BF所以：四边形AFBN为长方形．
根据椭圆的定义：|AF|+|AN|＝2a，∠ABF＝α，则：∠ANF＝α．
所以：2a＝2ccosα+2csinα，利用e＝＝
，所以：
则： 即：椭圆离心率e的取值范围为[]
故选：A．
12解：设P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，
∴G点坐标为 G（，），∵，∴IG∥x轴，
∴I的纵坐标为，在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c
∴＝•|F1F2|•|y0| 又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标即为内切圆半径，
内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形
∴＝（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||
∴•|F1F2|•|y0|＝（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||
即×2c•|y0|＝（2a+2c）||，∴2c＝a，
∴椭圆C的离心率e＝＝故选：A．
13．实数m的取值范围为 （﹣2，2） ．
解：由于命题p的逆否命题为真命题，
则：原命题为真命题，
故：命题p：∀x∈R，x2+mx+1＞0，为真命题，
则：△＝m2﹣4＜0，
解得：﹣2＜m＜2，
故：m的取值范围是（﹣2，2）．故答案为：（﹣2，2）
14．实数m的取值范围为 [8，+∞） ．
解：因为¬p是¬q的必要不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，
即p⇒q，但q推不出p，即，即，
所以m≥8．故答案为：[8，+∞）
15．解：设双曲线左焦点为F2，则|PA|+|PF|＝|PF2|﹣2a+|PA|＝
当P、F2、A三点共线时有最小值，此时F2（﹣2，0）、A（3，1）所以
|PF2|+|PA|＝|AF2|＝，而对于这个双曲线，2a＝2，
所以最小值为﹣2
故答案为﹣2
16．解：如图，设双曲线的半实轴长，半焦距分别为a2，c，
∵△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，
∴|PF1|＝|F1F2|＝10，即c＝5，|PF2|＝10﹣2a2，
又由双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．故∈（1，2）．
∴a2∈（，5），设椭圆的半实轴长为a1，则|PF1|+|PF2|＝2a1＝20﹣2a2，
即a1＝10﹣a2∈（5，）故e＝∈（，1）故答案为：（，1）
17．解：（1）∵命题p：∀x∈R，x2+ax+2≥0为真命题，
∴△＝a2﹣4×1×2≤0，解得﹣2≤a≤2，
∴实数a的取值范围为[﹣2，2]；
（2）命题q：∃x∈[﹣3，﹣]，x2﹣ax+1＝0为真命题，
∴a＝＝x+在x∈[﹣3，﹣1]单调递增，在x∈[﹣1，﹣]单调递减，
∴当x＝﹣1时，a取最大值﹣2，当x＝﹣3时a＝﹣，当x＝﹣时a＝﹣，
∴实数a的取值范围为：[﹣，﹣2]
18．解：∵f（x）＝的值域是[0，+∞），
∴y＝x2﹣2ax+3的值域是[0，+∞），则△＝4a2﹣12≥0，得a2≥3，
得a≥或a≤﹣，即p：a≥或a≤﹣，
∵a2﹣（2m﹣5）a+m（m﹣5）＞0，∴[a﹣（m﹣5）]（a﹣m）＞0，
得a＞m或a＜m﹣5，即q：a＞m或a＜m﹣5，
若￢p是￢q充分不必要条件，
则q是p的充分不必要条件，
则，即，得≤m≤5﹣，
即实数m的取值范围是得≤m≤5﹣．
19．解：（Ⅰ）方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，
则，得，得＜m＜2，
若a＝1，由m2﹣4m+3＜0得1＜m＜3，
若p∧q为真命题时，则p，q同时为真，则1＜m＜2．
（Ⅱ）由m2﹣4am+3a2＜0，（a＞0）．
得（m﹣a）（m﹣3a）＜0，得a＜m＜3a，即q：a＜m＜3a，￢q：x≥3a或0＜x≤a，
∵p是￢q的充分不必要条件，∴3a≤或a≥2，即a≤或a≥2，
∵a＞0，∴0＜a≤或a≥2即实数a的取值范围是（0，]∪[2，+∞）
20．解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．
∵长轴长为6，离心率为．∴2a＝6，，又a2＝b2+c2，
联立解得a＝3，c＝2，b2＝5．
∴椭圆的标准方程为．
（2）M（0，2）．
设直线AB的方程为y＝kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，化为（9+5k2）x2+20kx﹣25＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝．
又＝2，∴﹣x1＝2x2．
联立可得，解得．∴．
∴直线AB的方程为y＝x+2．
21．解：（1）由得（4+a2k2）x2+2a2kx﹣3a2＝0，
显然△＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），
则，，
∴，．
∴＝．∴a2＝8．所以椭圆C的方程为．
（2）假设存在定点M，且设M（0，m），
由∠AMO＝∠BMO得kAM+kBM＝0．
∴．
即y1x2+y2x1﹣m（x1+x2）＝0，
∴2kx1x2+x1+x2﹣m（x1+x2）＝0．
由（1）知，，
∴．
∴m＝4．所以存在定点M（0，4）使得∠AMO＝∠BMO．
22解：（Ⅰ）解：设双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）．
由题设得，解得，所以双曲线方程为．
（Ⅱ）解：设直线l的方程为y＝kx+m（k≠0）．
点M（x1，y1），N（x2，y2）的坐标满足方程组
将①式代入②式，得，整理得（5﹣4k2）x2﹣8kmx﹣4m2﹣20＝0．
此方程有两个不等实根，于是5﹣4k2≠0，且△＝（﹣8km）2+4（5﹣4k2）（4m2+20）＞0．
整理得m2+5﹣4k2＞0． ③
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x0，y0）满足，．
从而线段MN的垂直平分线方程为．
此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为，．
由题设可得．
整理得，k≠0．
将上式代入③式得，整理得（4k2﹣5）（4k2﹣|k|﹣5）＞0，k≠0．
解得或．
所以k的取值范围是．