【数学】2020届一轮复习人教A版第57课平面向量的平行与垂直作业（江苏专用） 5页

随堂巩固训练(57)‎ ‎ 1. 已知e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝　－　. ‎ 解析：因为a，b共线，所以存在实数k，使得ka＝b(k≠0)，所以k(2e1－e2)＝e1＋λe2，所以解得 ‎ 2. 在△ABC中，＝＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝　　Ｗ.‎ 解析：因为在△ABC中，＝＝，所以＝，＝，所以＝＋＝＋AB＝＋(－)＝＋.因为＝λ＋μ，所以λ＝μ＝，所以λ＋μ＝.‎ ‎ 3. 设向量＝(5＋cosθ，4＋sinθ)，＝(2，0)，则||的取值范围是　[4，6]　. ‎ 解析：因为＝－＝(－3－cosθ，－4－sinθ)，所以|AB|2＝(－3－cosθ)2＋(－4－sinθ)2＝26＋6cosθ＋8sinθ＝26＋10sin(θ＋φ)，其中tanφ＝.因为26＋10sin(θ＋φ)∈[16，36]，所以||∈[4，6].‎ ‎ 4. 已知m＝(cosα，sinα)，n＝(2，1)，α∈，若m·n＝1，则sin＝ －　.‎ 解析：因为m·n＝1，所以2cosα＋sinα＝1，α∈.由得5cos2α－4cosα＝0，因为cosα≠0，所以cosα＝.sin(2α＋)＝－cos2α＝1－2cos2α＝1－2×＝－.‎ ‎ 5. a＝(4x，2x)，b＝，x∈R，若a⊥b，则|a－b|＝　2　.‎ 解析：因为a⊥b，所以a·b＝(4x，2x)·＝4x＋2x－2＝0，解得2x＝1，所以a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a－b＝(1，1)－(1，－1)＝(0，2)，所以|a－b|＝2.‎ ‎ 6. 如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝ 　　.‎ 解析：因为＝2，＝λ＋u，所以＝λ＋2u.因为E为线段AO的中点，所以BE＝(＋)，所以λ＝，2u＝，解得u＝，所以λ＋u＝＋＝.‎ ‎ 7. 已知在平行四边形ABCD中，AD＝2，∠BAD＝60°，若E为DC的中点，且·＝1，则·的值为　3　.‎ 解析：·＝(＋)·(－)＝||2－·＋·－||2＝4－||－||2＝1，解得||＝2，所以·＝(－)·(＋)＝(－)·＝||2－·＋||2＝4－×2×2×＋×22＝3.‎ ‎ 8. 在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝，若P为对角线AC上一点，则·的最大值为　－　.‎ 解析：由题意可得，△ABC，△ACD都是边长为1的等边三角形，∠PAB＝∠PAD＝，AP∈[0，1]，则·＝(－)·(－)＝||2－·(＋)＋·＝||2－·＋cos∠BAD＝||2－||－＝－，故当||＝0或||＝1时，·取得最大值－.‎ ‎ 9. 在△ABC中，D是BC的中点，若A＝60°，·＝，则||的最小值是　　.‎ 解析：由题意得＝(＋)，所以||2＝(||2＋||2＋2·).因为A＝60°，·＝，所以||·||＝1，所以||2＝(||2＋||2＋1)≥(2||·||＋1)＝，当且仅当AB＝AC＝1时，等号成立，所以||≥，故||的最小值为.‎ ‎10. 在平面直角坐标系xOy中，设M是函数f(x)＝(x>0)的图象上任意一点，过点M向直线y＝x和y轴作垂线，垂足分别是A，B，则·＝　－2　.‎ 解析：设点M(a，b)(a>0)，则 b＝，则B(0，b)，所以＝(－a，0).设点A(m，m)，则直线MA的斜率为－1，即 ＝－1，解得 m＝，所以＝，所以·＝，把b＝(a>0)代入得·＝＝－2.‎ ‎11. 设a，b是两个不共线的非零向量，t∈R.‎ ‎(1) 若＝a，＝tb，＝(a＋b)，当t为何值时，A、B、C三点共线？‎ ‎(2) 若|a|＝，且a与b的夹角为60°，当t为何值时，的值最小？‎ 解析：(1) 因为A，B，C三点共线，所以＝λ.‎ 又因为＝－，＝－，‎ 所以tb－a＝λ＝λb－λa，‎ 所以解得 故当t＝时，A，B，C三点共线.‎ ‎(2) 因为a·b＝|a||b|·cos60°＝a2，‎ 所以|a－tb|2＝a2－2t(a·b)＋t2b2＝a2－ta2＋t2a2＝a2，‎ 所以当t＝时，|a－tb|取得最小值|a|. ‎ ‎12. 在平面直角坐标系xOy中，已知向量a＝(2，0)，b＝(0，1)，设向量x＝a＋(1＋cosθ)b，y＝－ka＋sin2θb，其中0<θ<.‎ ‎(1) 若x∥y，且θ＝，求实数k的值；‎ ‎(2) 若x⊥y，求实数k的最大值，并求取得最大值时cosθ的值.‎ 解析：(1) 当θ＝时，x＝，y＝.‎ 因为x∥y，所以2×＝－2k×，‎ 解得k＝－. ‎ ‎(2) 依题意得x＝(2，1＋cosθ)，y＝(－2k，sin2θ).‎ 因为x⊥y，所以4k＝sin2θ(1＋cosθ)，‎ 即k＝sin2θ(1＋cosθ). ‎ 令f(θ)＝sin2θ(1＋cosθ)，即f(θ)＝(1－cos2θ)(1＋cosθ)，其中0<θ<. ‎ 令cosθ＝t∈(0，1)，则f(t)＝－t3－t2＋t＋1，t∈(0，1)，则f′(t)＝－3t2－2t＋1＝－(t＋1)(3t－1).‎ 令f′(t)＝0，则t＝， 所以当t∈时，f′(t)>0，即函数f(t)在区间上单调递增；‎ 当t∈时，f′(t)<0，即函数f(t)在区间上单调递减，‎ 故当t＝，即cosθ＝时，函数f(t)有最大值为，此时实数k取得最大值. ‎ ‎13. 已知扇形AOB的半径等于1，∠AOB＝120°，P是上的一点.‎ ‎(1) 若∠AOP＝30°，求·的值；‎ ‎(2) 若＝λ＋μ.‎ ‎①求λ，μ满足的条件；‎ ‎②求λ2＋μ2的取值范围.‎ 解析：(1) 因为∠AOP＝30°，∠AOB＝120°，‎ 所以∠BOP＝∠AOB－∠AOP＝120°－30°＝90°，‎ 所以·＝0，‎ 则·＝·(－)＝·－·＝0－cos30°＝－. ‎ ‎(2) ①||2＝(λ＋μ)2＝|λ|2＋|μ|2＋2λ·μ，‎ 则|λ|2＋|μ|2－||2＝－2λμ··＝－2λμ·||||＝λμ||||，‎ 所以λ2＋μ2－1＝λμ，即λ2－λμ＋μ2＝1，‎ 所以λ，μ满足的条件为 ‎②由λ≥0，μ≥0，知λ2＋μ2＝1＋λμ≥1，当且仅当λ＝0或μ＝0时取等号.‎ 由λ2＋μ2＝1＋λμ≤1＋，‎ 知λ2＋μ2≤2，当且仅当λ＝μ时取等号，‎ 所以λ2＋μ2的取值范围为[1，2]. ‎