2018-2019学年江西省南昌市第二中学高二下学期期末数学试题（解析版） 21页

‎2018-2019学年江西省南昌市第二中学高二下学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是(　　)‎ A．将一枚均匀正方体骰子掷两次，所得点数之和 B．某篮球运动员6次罚球中投进的球数 C．电视机的使用寿命 D．从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数 ‎【答案】C ‎【解析】分析： 直接利用离散型随机变量的定义逐一判断即可.‎ 详解：随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种，随机变量的函数仍为随机变量，有些随机变量，它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为“离散型随机变量”，题目中都属于离散型随机变量，而电视机的使用寿命属于连续型随机变量，故选C.‎ 点睛：随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种（变量分为定性和定量两类，其中定性变量又分为分类变量和有序变量；定量变量分为离散型和连续型），随机变量的函数仍为随机变量，本题考的离散型随机变量.‎ ‎2．已知下表为与之间的一组数据，若与线性相关，则与的回归直线必过点( )‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ A．(2,2) B．(1.5,0) C．(1,2) D．(1.5,4)‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据表格先求出和，再由公式，求得和即可得回归方程，再将4个点分别代回，可知必过点。‎ ‎【详解】‎ 由题可得，，‎ ‎，，则回归方程为，将A，B，C，D四项分别代入方程，只有（1.5，4）这个点在直线上，故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查回归直线，属于基础题。‎ ‎3．有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用超几何分布分别求随机变量X的概率，分布列及其数学期望即可得出．‎ ‎【详解】‎ 随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)．‎ 所以，随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎ ‎ 随机变量X的数学期望E(X)＝.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了超几何分布的概率计算公式、分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎4．命题若，则，是的逆命题，则（ ）‎ A．真，真 B．真，假 C．假，真 D．假，假 ‎【答案】C ‎【解析】由题意，，所以，得，‎ 所以命题为假命题，‎ 又因为是的逆命题，所以命题：若，则为真命题，故选C.‎ ‎5．已知三个正态分布密度函数（, ）的图象如图所示则（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果．‎ ‎【详解】‎ 根据课本中对正太分布密度函数的介绍知道：当正态分布密度函数为，则对应的函数的图像的对称轴为：，‎ ‎∵正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，‎ ‎∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，‎ 只能从A，D两个答案中选一个，‎ ‎∵σ越小图象越瘦长，‎ 得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，第一个和第二个的σ相等 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．‎ ‎6．把边长为的正沿边上的高线折成的二面角,则点到的距离是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】取中点，连接，根据垂直关系可知且平面，通过三线合一和线面垂直的性质可得，，从而根据线面垂直的判定定理知平面，根据线面垂直性质知，即为所求距离；在中利用勾股定理求得结果.‎ ‎【详解】‎ 取中点，连接，如下图所示：‎ 为边上的高 ，‎ 即为二面角的平面角，即且平面 为正三角形 为正三角形 又为中点 ‎ 平面 ， 平面 又平面 ‎ 即为点到的距离 又， ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查立体几何中点到直线距离的求解，关键是能够通过垂直关系在立体图形中找到所求距离，涉及到线面垂直的判定定理和性质定理的应用，属于中档题.‎ ‎7．下列命题:‎ ‎①在一个列联表中,由计算得,则有的把握确认这两类指标间有关联 ‎②若二项式的展开式中所有项的系数之和为，则展开式中的系数是 ‎③随机变量服从正态分布,则 ‎④若正数满足，则的最小值为 其中正确命题的序号为( )‎ A．①②③ B．①③④ C．②④ D．③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据可知①正确；代入可求得，利用展开式通项，可知时，为含的项，代入可求得系数为，②错误；根据正态分布曲线的对称性可知③正确；由，利用基本不等式求得最小值，可知④正确.‎ ‎【详解】‎ ‎①，则有的把握确认这两类指标间有关联，①正确；‎ ‎②令，则所有项的系数和为：，解得： ‎ 则其展开式通项为：‎ 当，即时，可得系数为：，②错误；‎ ‎③由正态分布可知其正态分布曲线对称轴为 ，③正确；‎ ‎④‎ ‎， ，‎ ‎（当且仅当，即时取等号）‎ ‎，④正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假性的判断，涉及到独立性检验的基本思想、二项展开式各项系数和与指定项系数的求解、正态分布曲线的应用、利用基本不等式求解和的最小值问题.‎ ‎8．小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是（ ）‎ A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据条件概率，即可求得在第一个路口遇到红灯，在第二个路口也遇到红灯的概率。‎ ‎【详解】‎ 记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件 ‎“小明在第一个路口遇到了红灯，在第二个路口也遇到红灯”为事件 则，，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了条件概率的简单应用，属于基础题。‎ ‎9．已知，且，若对任意的正数，不等式恒成立，则实数的取值范围是(　　)‎ A．或 B．或 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将转化为，利用基本不等式可求得其最小值为，从而得到不等式，解不等式求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 当且仅当，即时取等号 ‎，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式中的恒成立问题，关键是能够利用基本不等式求得的最小值，根据恒成立的思想构造出不等式.‎ ‎10．已知一个几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由三视图可知，几何体的直观图如图：‎ 是一个三棱锥和一个三棱柱的组合体，‎ 底面都是的等腰直角三角形，高为，‎ 所以体积为：‎ ‎ ，‎ 解得．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，属于简单题．‎ ‎11．已知且,则的最大值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据绝对值三角不等式可知；根据可得，根据的范围可得，根据二次函数的性质可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：‎ ‎ ‎ 当，即时，‎ 即：，即的最大值为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数最值的求解，难点在于对于绝对值的处理，关键是能够将函数放缩为关于的二次函数的形式，从而根据二次函数性质求解得到最值.‎ ‎12．已知函数, ，若对,，使成立，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得“对,，使成立”等价于“”．‎ ‎∵，当且仅当时等号成立．‎ ‎∴．‎ 在中，由，解得．‎ 令，‎ 则 ‎，（其中）．‎ ‎∴．‎ 由，解得，‎ 又，故，‎ ‎∴实数的取值范围是．选A．‎ 点睛：‎ ‎（1）对于求或 型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如的函数只有最小值，形如的函数既有最大值又有最小值．‎ ‎（2）求函数的最值时要根据函数解析式的特点选择相应的方法，对于含有绝对值符号的函数求最值时，一般采用换元的方法进行，将问题转化为二次函数或三角函数的问题求解．‎ 二、填空题 ‎13．出租车司机从南昌二中新校区到老校区(苏圃路)途中有个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概率都是则这位司机在途中遇到红灯数的期望为____ .（用分数表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】遇到红灯相互独立且概率相同可知，根据二项分布数学期望求解公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，司机在途中遇到红灯数服从于二项分布，即 期望 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查服从于二项分布的随机变量的数学期望的求解，考查对于二项分布数学期望计算公式的掌握，属于基础题.‎ ‎14．半径为的圆形铁片剪去一个扇形，用剩下的部分卷一个圆锥．圆锥的体积最大值为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设圆锥的底面半径为，高为，可得，构造关于圆锥体积的函数，可得，利用导数可求得最大值.‎ ‎【详解】‎ 设圆锥的底面半径为，高为 则，即 圆锥的体积：‎ 则，令，解得：‎ 则时，；时，‎ 即在上单调递增，在上单调递减 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆锥体积最值的求解，关键是能够利用圆锥体积公式将所求体积构造为关于圆锥的高的函数，从而可利用导数求解得到函数的最值.‎ ‎15．设，若不等式对任意实数恒成立，则取值集合是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将不等式转化为，分别在、、、的情况下讨论得到的最大值，从而可得；分别在、、的情况去绝对值得到不等式，解不等式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 对任意实数恒成立等价于：‎ ‎①当时，‎ ‎ ‎ ‎②当时，‎ ‎③当时，‎ ‎④当时，‎ ‎ ‎ 综上可知：‎ ‎，即 当时，，解得：‎ 当时，，无解 当时，，解得：‎ 的取值集合为：‎ 本题正确结果；‎ ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值不等式中的恒成立问题，关键是能够通过分类讨论的思想求得最值，从而将问题转化为绝对值不等式的求解，再利用分类讨论的思想解绝对值不等式即可得到结果.‎ ‎16．“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前46项和为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据“杨辉三角”的特点可知次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第行，从而得到第行去掉所有为的项的各项之和为：；根据每一行去掉所有为的项的数字个数成等差数列的特点可求得至第行结束，数列共有项，则第项为，从而加和可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第行 则“杨辉三角”第行各项之和为：‎ 第行去掉所有为的项的各项之和为：‎ 从第行开始每一行去掉所有为的项的数字个数为：‎ 则：，即至第行结束，数列共有项 第项为第行第个不为的数，即为：‎ 前项的和为：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列求和的知识，关键是能够根据“杨辉三角”的特征，结合二项式定理、等差等比数列求和的方法来进行转化求解，对于学生分析问题和总结归纳的能力有一定的要求，属于较难题.‎ 三、解答题 ‎17．已知 展开式中的倒数第三项的系数为45，‎ 求：（1）含的项；‎ ‎（2）系数最大的项．‎ ‎【答案】(1) 210x3(2)‎ ‎【解析】【试题分析】（1）倒数第三项二项式系数为，由此解得.利用二项式展开式的通项来求含有的项.（2）展开式有项，最大的第六项.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）由已知得：，即，‎ ‎∴，解得（舍）或，‎ 由通项公式得： ，‎ 令，得，‎ ‎∴含有的项是.‎ ‎（2）∵此展开式共有11项，∴二项式系数最大项是第6项，‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式展开式的性质，考查方程的思想. ，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数 ()叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；.二项式系数，当时，二项式系数是递增的；由对称性知：当时，二项式系数是递减的．‎ ‎18．（1）解不等式：.‎ ‎（2）己知均为正数.求证：‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】（1）分别在、、三个范围内去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得结果；（2）将所证结论变为证明，利用基本不等式可证得结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，解得：‎ 当时，，无解 当时，，解得：‎ 不等式的解集为：‎ ‎（2）均为正数 要证，只需证：‎ 即证：‎ ‎，，‎ 三式相加可得：（当且仅当时取等号）‎ 成立 ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值不等式的求解、利用基本不等式证明不等关系的问题，考查分类讨论的思想、分析法证明不等式和基本不等式的应用，属于常考题型.‎ ‎19．时下，租车自驾游已经比较流行了．某租车点的收费标准为：不超过天收费元，超过天的部分每天收费元（不足天按天计算）．甲、乙两人要到该租车点租车自驾到某景区游览，他们不超过天还车的概率分别为和，天以上且不超过天还车的概率分别为和，两人租车都不会超过天．‎ ‎（1）求甲所付租车费比乙多的概率；‎ ‎（2）设甲、乙两人所付的租车费之和为随机变量,求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】（1）将情况分为甲租天以上，乙租不超过天；甲租天，乙租天两种情况；分别在两种情况下利用独立事件概率公式可求得对应概率，加和得到结果；（2）首先确定所有可能的取值，再求得每个取值所对应的概率，从而得到分布列；利用数学期望计算公式求得期望.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若甲所付租车费比乙多，则分为：甲租天以上，乙租不超过天；甲租天，乙租天两种情况 ‎①甲租天以上，乙租不超过天的概率为：‎ ‎②甲租天，乙租天的概率为：‎ 甲所付租车费比乙多的概率为：‎ ‎（2）甲、乙两人所付的租车费之和所有可能的取值为：‎ 则；；‎ ‎；‎ ‎；‎ 的分布列为：‎ 数学期望 ‎【点睛】‎ 本题考查独立事件概率的求解、离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，涉及到和事件、积事件概率的求解，考查学生的运算和求解能力，属于常考题型.‎ ‎20．继共享单车之后，又一种新型的出行方式------“共享汽车”也开始亮相南昌市，一款共享汽车在南昌提供的车型是“吉利”.每次租车收费按行驶里程加用车时间,标准是“1元/公里＋0.1元/分钟”，李先生家离上班地点10公里，每次租用共享汽车上、下班，由于堵车因素，每次路上开车花费的时间是一个随机变量，根据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下：‎ 时间（分钟）‎ ‎ ‎ 次数 ‎8‎ ‎14‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎2‎ 以各时间段发生的频率视为概率，假设每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分钟.‎ ‎（1）若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟，便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择，设是4次使用共享汽车中最优选择的次数，求 的分布列和期望.‎ ‎（2）若李先生每天上、下班均使用共享汽车，一个月（以20天计算）平均用车费用大约是多少（同一时段，用该区间的中点值作代表）.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）542元. ‎ ‎【解析】试题分析：（1）首先求为最优选择的概率是，故ξ的值可能为0，1，2，3，4，且ξ～B（4，），进而求得分布列和期望值；（2）根据题意得到每次花的平均时间为35.5，根据花的费用为10+35.50.1得到费用.‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）李先生一次租用共享汽车，为最优选择的概率 依题意ξ的值可能为0，1，2，3，4，且ξ～B（4，），‎ ‎， ，‎ ‎， ，‎ ‎， ∴ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎（或）．‎ ‎（Ⅱ）每次用车路上平均花的时间 ‎（分钟）‎ 每次租车的费用约为10+35.5×0.1=13.55元．‎ 一个月的平均用车费用约为542元．‎ ‎21．如图，棱长为的正方形中，点分别是边上的点，且将沿折起，使得两点重合于，设与交于点，过点作于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）见证明（2）‎ ‎【解析】（1）由平面可得，结合可得平面，故，又得出平面；‎ ‎（2）建立空间坐标系，求出各点坐标，计算平面的法向量，则为直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：在正方形中，，，‎ ‎∴，在的垂直平分线上，∴，‎ ‎∵，，，∴平面∴，‎ 又，，∴平面，∴，‎ 又，，∴底面．‎ ‎（2）解：如图过点作与平行直线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎， ， ， ，‎ ‎，‎ ‎∴，，，‎ 设平面的法向量，则，即，‎ 取，‎ 记直线与平面所成角为，则，‎ 故直线与平面PDF所成角的正弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.‎ ‎22．2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度．新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分．为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，根据性别分层，采用分层抽样的方法从中抽取名学生进行调查．‎ ‎（1）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的列联表．请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；‎ ‎（2）在抽取到的女生中按（1）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中随机抽取4人，设这4人中选择“地理”的人数为，求的分布列及数学期望．‎ 选择“物理”‎ 选择“地理”‎ 总计 男生 ‎10‎ 女生 ‎25‎ 总计 附参考公式及数据:, 其中 ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】（1）根据列联表求出，结合临界值表，即可得到结论；‎ ‎（2）由题意，得到选择地理的人数为随机变量的取值0，1，2，3，4，求得随机变量取值对应的概率，求出分布列，再利用数学期望的公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，抽取到男生人数为，女生人数为，‎ 所以2×2列联表为：‎ 选择“物理”‎ 选择“地理”‎ 总计 男生 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 女生 ‎25‎ ‎20‎ ‎45‎ 总计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ 所以，‎ 所以有99%的把握认为选择科目与性别有关．‎ ‎（2）从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9名女生中有5人选择物理，4人选择地理，9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择地理的人数可为0，1，2，3，4． ‎ 设事件发生概率为，‎ 则，，，，．‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 期望．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了独立性检验，以及离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.‎