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- 2021-05-06 发布
2018-2019学年福建省龙海市程溪中学高二理科上学期期中考试 数学
考试时间：120分钟
（注意：所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。）
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 设向量=（-1，-1，1），=（-1，0，1），则cos＜，＞=（ ）
A. B. C. D.
2. 已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 向量=（2-x，-1，y），=（-1，x，-1）．若∥，则x+y=（ ）
A. -2 B. 0 C. 1 D. 2
4 .已知双曲线上有一点M到左焦点F1的距离为18，则点M到右焦点F2的距离是（ ）
A.8 B.28 C.12 D.8或28
5 .命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定是（ ）
A.∀x＞0，x2+x≤0 B.∀x≤0，x2+x＞0
C.∃x0＞0，x02+x0≤0 D.∃x0≤0，x02+x0＞0
6. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是
CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大
小是（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
7. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是 ( ）
A. B. C. D.
8. 已知，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知双曲线 - =1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. y=±2x B. y=±x C. y=±x D. y=±x
10. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则=（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知P是椭圆+y2=1上的动点，则P点到直线l：x+y-2=0的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
12. 若双曲线的中心为原点，F（-2，0）是双曲线的焦点，过F直线l与双曲线交于M，N两点，且MN的中点为P（1，3），则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已＝（2，－1，3），＝（－4，y，2），且⊥（＋），则y的值为________．
14. 已知点P在抛物线y2=8x上运动，F为抛物线的焦点，点A的坐标为（5，2），则PA+PF的最小值是______．
15. 已知命题p“x∈R,sinx+cosx>m”是真命题,那么实数m的取值范围是____________．
16. 如图在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中正确的有 ______ ．（填上所有正确命题的序号）
①AC⊥BD
②AC=BD
③AC∥截面PQMN
④异面直线PM与BD所成的角为45°．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（10分）已知命题p：方程表示焦点在y轴的椭圆，命题q：关于x的方程x2-2x+4m=0没有实数根．若¬p为真，p∨q为真，求实数m的取值范围．
18. （12分）已知O为坐标原点，M是椭圆=1上的点，设动点P满足．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m≠0）与曲线C相交于A，B两个不同点，求△OAB面积的最大值．
19.（12分）将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE=．
(Ⅰ)求DE与平面BEC所成角的正弦值；
(Ⅱ)直线BE上是否存在一点M，使得CM∥平面ADE，若存在，求点M的位置，不存在请说明理由．
20. （12分）已知p：x∈A={x|x2+ax+b≤0，a∈R，b∈R}，q：x∈B={x|x2-2mx+m2-4＜0，m∈R}．
（1）若A={x|-1≤x≤4}，求a+b的值；
（2）在（1）的条件下，若￢q是p的必要条件，求实数m的取值范围．
21.（12分）如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的平面角的余弦值；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离．
22.（12分） 已知抛物线C1，：y2=2px上一点M（3，y0）到其焦点F的距离为4，椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且过抛物线的焦点F．
（1）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；
（2）过点F的直线l1交抛物线C1交于A，B两不同点，交y轴于点N，已知=，=μ，求证：λ+μ为定值．
20182019学年上学期
高二年期中考试卷数学（理科）答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1——12 D A D D C D B A D C A D
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 12 14. 7 15 （-∞，)． 16. ①③④
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（10分）
【答案】解：p：若方程表示焦点在y轴的椭圆，则m-1＞2，得m＞3…（2分）
q：若x2-2x+4m=0没有实数根，则判别式△=4-16m＜0，得m＞…（4分）
若¬p为真，则p为假命题，若p∨q为真，则q是真命题，即p假q真 …（7分）
则， 得＜m≤3，所以m的取值范围是（，3]..（10分）
18. （12分）
【答案】解：（Ⅰ）设点P（x，y），M（x1，y1），由．，得x=2x1，y=2y1，
因为点M在椭圆圆=1上，所以，故，
即动点P的轨迹C的方程为．…(4分)
（Ⅱ）由曲线C与直线l联立得，
消y得3x2+4mx+2m2-8=0，因为直线l与曲线C交于A，B两点，
所以△=16m2-4×3×（2m2-8）＞0，又m≠0，所以0＜m2＜12． …(6分)
设设A（x3，y3），B（x4，y4），则，，
因为点O到直线A：x-y+m=0的距离d=，…(8分)
|AB|===，
所以S×=， …(10分)
×=2，当且仅当m2=12-m2，即m2=6时取等号，
所以△OAB面积的最大值为2 …(12分)
19. （12分）【答案】解 (Ⅰ) )以A为坐标原点，以AB，AD，AE所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则E(0，0，)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，
设平面BCE的法向量为 则
，即
令x=1，得：
∴又
设平面DE与平面BCE所成角为θ，则
…(6分)
(Ⅱ)假设存在点M使得CM∥面ADE，则
，∴得:
又因为AE⊥平面ABD，AB⊥AD 所以AB⊥平面ADE
因为CM∥面ADE，则即
得:2λ-1=0∴
故点M为BE的中点时CM∥面ADE． …(12分)
20.（12分）
【答案】解（1）若A={x|-1≤x≤4}，则方程x2+ax+b=0的两根为-1和4．…（2分）
由根与系数的关系，得，解得a=-3，b=-4，所以a+b=-7．…（4分）
（2）由x2-2mx+m2-4＜0得m-2＜x＜m+2，即q：m-2＜x＜m+2，…（6分）
￢q：x≥m+2或x≤m-2，…（8分）
因为￢q是p的必要条件，所以A⊆C．…（10分）
故m-2≥4或m+2≤-1．解得m≥6，或m≤-3．
故实数m的取值范围是（-∞，-3]∪[6，+∞）．…（12分）
21. （12分）
【答案】解：
（I）∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，
∵二面角D-AB-E为直二面角，∴平面ABCD⊥平面ABE，
又BC⊥AB，∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE，
又BF⊂平面BCE，BF∩BC=B，∴AE⊥平面BCE． …(4分)
（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，
过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，如图．
∵AE⊥面BCE，BE⊂面BCE，∴AE⊥BE，
在Rt△AEB中，AB=2，O为AB的中点，
∴OE=1．∴A（0，-1，0），E（1，0，0），C（0，1，2），=（1，1，0），=（0，2，2）
设平面AEC的一个法向量为=（x，y，z），
则，即， 解得，
令x=1，得=（1，-1，1）是平面AEC的一个法向量．
又平面BAC的一个法向量为=（1，0，0），
∴cos（，）===．
∴二面角B-AC-E的平面角的余弦值为 …(8分)
（III）∵AD∥z轴，AD=2，∴=（0，0，2），
∴点D到平面ACE的距离d=||•|cos＜，＞===． …(12分)
22.（12分）
【答案】解（1）抛物线C1：y2=2px上一点M（3，y0）到其焦点F的距离为4；
抛物线的准线为x=-
抛物线上点M（3，y0）到其焦点F的距离|MF|等于到准线的距离d
所以d=3+=4，所以p=2
抛物线C1的方程为y2=4x …(3分)
C2：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且过抛物线的焦点F（1，0）
所以b=1，，解得a2=2
所以椭圆的标准方程为=1； …(3分)
（2）证明：直线l1的斜率必存在，设为k，设直线l与椭圆C2交于A（x1，y1），B（x2，y2）
则直线l的方程为y=k（x-1），N（0，-k）
联立方程组，得到k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
△=16k2+16＞0，所以x1+x2=，x1x2=1（*）
由=，=μ，得：λ（1-x1）=x1，λ（1-x2）=x2得：λ=，μ=，
所以λ+μ=+=，
将（*）代入上式，得λ+μ=-1. …(12分)