2018-2019学年河南省信阳第一高级中学高二上学期期中联考数学（理）试题（Word版） 9页

‎2018-2019学年河南省信阳第一高级中学高二上学期期中联考数学理试题 命题人：杨红利 说明： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）满分 150 分，时间 120 分钟．2、将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）答题表（答题卡）中．‎ 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知命题 p : "x Î R, sin x £ 1 ，则(‎ ‎)‎ A． Øp : $x0 Î R,sin x0 ³ 1‎ B． Øp : "x Î R, sin x ³ 1‎ C． Øp : $x0 Î R,sin x0 > 1‎ D． Øp : "x Î R, sin x > 1‎ ‎2． 已知 A 是三角形 ABC 的内角，则“ cos A = 1 ”是“ sin A = ‎”的(‎ ‎3‎ ‎)‎ ‎2‎ ‎2‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．若 a > b > c ，则下列不等式中正确的是 ‎（‎ ‎）‎ A． a | c |> b | c |‎ B． ab > ac C． a- | c |> b- | c |‎ D．‎ ‎1‎ < ‎1‎ < ‎1‎ a b c ‎4．如果方程 x2 + ky2 = 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是(‎ ‎)‎ A．(0, +∞)‎ B．(1, +∞)‎ C．(0, 2)‎ D．(0, 1)‎ ‎5．已知命题 p : "x Î R ，x2 + x + 54 ³ m ．命题 q : $x0 Î R ，x02 - 2mx0 + m2 + m - 3 = 0 ．若 p 或 q 为真， p 且 q 为假，则 m 的取值范围( )‎ A． m >1 B．1 < m £ 3 C． m > 3 D． m £ 3‎ ‎6．椭圆 mx2 + ny2 = 1与直线x＋y－1＝0交于M、N两点，过原点与线段MN中点的直线斜 率为 ‎2‎ ‎,则 n 的值是（‎ ‎）‎ ‎2‎ m ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ A．‎ B．2‎ C．‎ D．‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ 高二数学试题卷 第 1 页 ìx ³ 1‎ ‎7．已知点 M (x, y)‎ ï ‎，若 z = ax + y 的最小值为3，则 a 的值为（‎ ‎）‎ 满足 íx - y +1 ³ 0‎ ï ‎2 £ 0‎ î2x - y - A．3‎ B． - 3‎ C． -4‎ D．4‎ ‎8．已知 mn ¹ 0 ，则方程 mx2 + ny2 = 1‎ 与 mx + ny 2 = 0 在同一坐标系下的图形可能是 ‎(‎ ‎)‎ y y y y O x O x Ox x A B C D y2‎ ‎9．过双曲线 x2－‎ ‎=1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A, B 两点，若 AB = 4 ，则这样 ‎2‎ 的直线 l 有 ‎（‎ ‎）‎ A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 ‎10．已知数列{an }的通项公式 an = 4n ， bn = ‎1‎ ‎，则数列 {bn }的前 10‎ ‎(log2 an )(log2 an+1 )‎ 项和 S10 ＝(‎ ‎)‎ A．‎ ‎9‎ B．‎ ‎5‎ C．‎ ‎9‎ D．‎ ‎5‎ ‎11‎ ‎40‎ ‎22‎ ‎20‎ ‎11．在 DABC 中，①若 B = 60°，a = 10,b = 7 ，则该三角形有且仅有两解；②若三角形 的三边的比是 3∶5∶7，则此三角形的最大角为 120°；③若 DABC 为锐角三角形，且 三边长分别为 2,3，x，则 x 的取值范围是5＜x＜13.其中正确命题的个数是( )‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎12．椭圆 C 的两个焦点分别为 F1 (-1, 0) 和 F2 (1, 0) ，若该椭圆 C 与直线 x + y - 3 = 0 有公 共点，则其离心率的最大值为(‎ ‎)‎ A．‎ ‎6‎ B．‎ ‎6‎ C．‎ ‎5‎ D．‎ ‎5‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎10‎ 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上．‎ ‎13．若正实数 x, y ，满足 2x + y + 6 = xy ，则 xy 的最小值是 ‎．‎ ‎14．若等差数列的前 6 项和为 23,前 9 项和为 57,则数列的前 n 项和 Sn = __________‎ ‎15．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos A－3cos C ‎＝‎ ‎3c－a ‎，则 c cos B b a 的值为_______．‎ ‎16．抛物线 y2 = 2 px( p > 0) 的焦点为 F ‎,过焦点 F 作倾斜角为 30° 的直线交抛物线于 A, B A, B A , B ¢ ，若四边形 AA BB ¢的面 两点，点 在抛物线的准线上的射影分别是 ¢ ¢ 积为 48，则抛物线的方程是 ‎.‎ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17． （本小题满分 10 分）‎ 已知命题 p："x Î[1,3], ( 12 )x-1 + m -1 < 0 ，命题 q：$x Î (0, +¥), mx2 + x - 4 = 0 . 若 ‎“p 且 q”为真命题，求实数 m 的取值范围.‎ ‎18． （本小题满分 12 分）‎ 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝－2，且满足 Sn＝12an＋1＋n＋1(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎1‎ 的前 n 项和为 Tn，求证：Tn＜3.‎ ‎(2)若 bn＝log3(－an＋1)，设数列 bnbn＋2‎ ‎4‎ ‎19． （本小题满分 12 分）‎ sin Ca＋b 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且sin A－sin B＝a－c.‎ ‎(1)求角 B 的大小；‎ ‎→ →‎ ‎(2)点 D 满足BD＝2BC，且 AD＝3，求 2a＋c 的最大值．‎ ‎20． （本小题满分 12 分）‎ 已知在数列{an}中，a1＝2，a2＝4，且 an＋1＝3an－2an－1(n≥2)．‎ ‎(1)证明：数列{an＋1－an}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)令 bn＝2n－1，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an ‎21． （本小题满分 12 分）‎ 如图 133，点 F1 为圆(x＋1)2＋y2＝16 的圆心，N 为圆 F1 上一动点，且 F2(1,0)，M，‎ P 分别是线段 F1N，F2N 上的点，‎ ‎→ → → →‎ 且满足MP·F2N＝0，F2N＝2F2P.‎ ‎(1)求动点 M 的轨迹 E 的方程；‎ ‎(2)过点 F2 的直线 l(与 x 轴不重合)与轨迹 E 交于 A，C 两点，‎ 线段 AC 的中点为 G，连接 OG 并延长交轨迹 E 于点 B(O 为坐标原点)，求四边形 OABC 的面积 S 的最小值．‎ ‎22． （本小题满分 12 分）‎ 已知椭圆x2＋y2＝1 (a>b>0)与直线 x＋y－1＝0 相交于两点 P、Q，且 OP⊥OQ (O 为坐 a2 b2‎ 标原点)．‎ ‎(1)求a12＋b12的值；‎ ‎3，2‎ ‎(2)若椭圆的离心率在 3 2 上变化时，求椭圆长轴长的取值范围．‎ 参考答案 一、选择题：（共 60 分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A C D B B A A C B B C 二、填空题：（共 20 分）．‎ ‎13．18；14.‎ ‎5n2 - 7n ‎；15.3；16.‎ y2‎ = 2‎ x ‎3‎ ‎6‎ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.解: 由 ( 12 )x -1 + m -1 < 0 ，知1 - m > ( 12 )x -1 ， x Î[1,3] ，( 12 )x -1 Î[ 14 ,1] ，‎ 1 - m > 1 ，即 m < 0 ．‎ ‎4 分 又由 mx2 + x - 4 = 0 ， x > 0 ，得 m = ‎4 - x ‎，‎ x2‎ ‎4 - x = 4( 1 )2 - 1‎ = 4( 1‎ - 1)2‎ - ‎1‎ Î[- ‎1‎ ‎, +¥) ，‎ ‎8 分 x2‎ x x x ‎8‎ ‎16‎ ‎16‎ 由题意， m Î[- ‎1‎ ‎, +¥)‎ ‎16‎ 由“ p 且 q ”为真命题，知 p 和 q 都是真命题，‎ 所以，符合题意的 m 的取值范围是 [- ‎1‎ ‎, 0) ．‎ ‎10 分 ‎16‎ ‎18. 解 (1)由 Sn＝12an＋1＋n＋1(n∈N*)，得 Sn－1＝12an＋n(n≥2，n∈N*)，‎ 两式相减，并化简，得 an＋1＝3an－2，即 an＋1－1＝3(an－1)，又 a1－1＝－2－1＝－3≠0，‎ 所以{an－1}是以－3 为首项，3 为公比的等比数列，‎ 所以 an－1＝(－3)·3n－1＝－3n.‎ 故 an＝－3n＋1.‎ ‎4 分 ‎1 1‎ ‎(2)证明：由 bn＝log3(－an＋1)＝log33n＝n，得 1 ＝ 1 ＝1 n－n＋2 bnbn＋2 n(n＋2) 2‎ ‎1‎ ‎1－1＋1－1＋1－1＋…＋‎ ‎1‎ ‎－‎ ‎1‎ ‎＋1－‎ ‎1‎ Tn＝‎ n－1‎ n＋1‎ n＋2‎ ‎2‎ ‎3 2 4 3 5‎ n ‎1 1＋1－‎ ‎1‎ ‎－‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎2n＋3‎ ‎3‎ ‎＝‎ ‎2‎ ‎2‎ n＋1‎ n＋2‎ ‎＝‎ ‎－‎ ‎＜‎ ‎.‎ ‎12 分 ‎2(n＋1)(n＋2) ‎4‎ ‎4‎ ‎19．解：(1)‎ sin C ‎＝a＋b，由正弦定理可得 c ‎＝a＋b，‎ sin A－sin B a－b a－c a－c ‎∴c(a－c)＝(a－b)(a＋b)，即 a2＋c2－b2＝ac.‎ 又 a2＋c2－b2＝2accos B，‎ ‎∴cos B＝12，‎ π ‎∵B∈(0，π)，∴B＝3.‎ ‎6 分 ‎(2)( 利用基本不等式求最值 ) 在 △ABD 中，由余弦定理得 c2 ＋ (2a)2 －‎ ‎2×2ac×cos π3＝32，‎ ‎∴(2a＋c)2－9＝3×2ac.‎ ‎2a＋c 2‎ ‎∵2ac≤ 2 ，‎ ‎∴(2a＋c)2－9≤34(2a＋c)2，‎ 即(2a＋c)2≤36,2a＋c≤6，当且仅当 2a＝c，即 a＝32，c＝3 时，2a＋c 取得 最大值，最大值为 6.‎ ‎12 分 ‎20. 解：(1)由 an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，‎ 得 an＋1－an＝2(an－an－1)，因此数列{an＋1－an}是公比为 2，首项为 a2－a1＝2 的等比数列．‎ 所以当 n≥2 时，an－an－1＝2×2n－2＝2n－1，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(2n－1＋2n－2＋…＋2)＋2‎ ‎＝2n，‎ 当 n＝1 时，也符合，故 an＝2n.‎ ‎4 分 ‎(2)由(1)知 bn＝2n－1，‎ ‎2n 所以 Tn＝1＋‎ ‎3‎ ‎＋‎ ‎5‎ ‎＋…＋2n－1‎ ‎①，‎ ‎22‎ ‎2‎ ‎23‎ ‎2n ‎11‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎2n－1‎ ‎2Tn＝‎ ‎＋‎ ‎＋‎ ‎＋…＋ 2n＋1‎ ‎②，‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2n－1‎ ‎①－②，得 ‎2Tn＝2＋‎ ‎＋‎ ‎＋‎ ‎＋…＋‎ ‎－‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎2n ‎2n＋1‎ ‎1‎ ‎＋2‎ ‎1‎ ‎＋‎ ‎1‎ ‎＋‎ ‎1‎ ‎＋…＋‎ ‎1‎ ‎2n－1‎ ‎2n ‎＝‎ ‎2‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎－‎ ‎＋‎ ‎8 分 ‎2n 1‎ ‎1 1－‎ ‎1‎ ‎－‎ ‎1‎ ‎＝1＋2×‎ ‎4‎ ‎2n ‎2n－1‎ ‎－‎ ‎1‎ ‎＋‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1－‎ ‎2n ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2n－1‎ ‎3‎ ‎2n＋3‎ ‎＝2＋1－‎ ‎－‎ ‎＝2－‎ ‎，‎ ‎2n－1‎ ‎2n＋1‎ ‎2n＋1‎ 所以 Tn＝3－2n＋3.‎ ‎12 分 ‎2n ‎21. 解：(1)由题意，知 MP 垂直平分 F2N，‎ 所以|MF1|＋|MF2|＝4.‎ 所以动点 M 的轨迹是以 F1(－1,0)，F2(1,0)为焦点的椭圆，且长轴长为 2a＝4，焦距 2c＝2，‎ 所以 a＝2，c＝1，b2＝3.‎ 轨迹 E 的方程为x2‎ ‎＋y2‎ ‎＝1.‎ ‎4 分 ‎4‎ ‎3‎ ‎(2)设 A(x1，y1)，C(x2，y2)，G(x0，y0)．‎ 设直线 AC 的方程为 x＝my＋1，与椭圆方程联立，‎ 可得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，‎ 所以 y1＋y2＝－‎ ‎6m ‎，y1y2＝－‎ ‎9‎ ‎.‎ ‎4＋3m2‎ ‎4＋3m2‎ ‎12(1＋m2) 由弦长公式可得|AC|＝‎ ‎1＋m2|y1－y2|＝‎ ‎，‎ ‎4＋3m2‎ ‎3m ‎4‎ ‎，－‎ ‎3m 又 y0＝－‎ ‎，所以 G ‎4＋3m2‎ ‎4＋3m2‎ ‎.‎ ‎4＋3m2‎ 直线 OG 的方程为 y ＝－3m x ，与椭圆方程联立得 x2 ＝‎ ‎16‎ ‎，所以 ‎4＋3m2‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎3m ‎，－‎ ‎4＋3m2－1‎ B 4＋3m2‎ ‎4＋3m2 .点 B 到直线 AC 的距离 d1＝‎ ‎，‎ ‎1＋m2‎ 点 O 到直线 AC 的距离 d2＝‎ ‎1‎ ‎.‎ ‎8 分 ‎1＋m2‎ 所以 S 四边形 OABC＝1|AC|(d1＋d2)＝6‎ ‎1－‎ ‎1‎ ‎≥3，当且仅当 m＝0‎ 时 ‎3(4＋3m2) ‎2‎ ‎3‎ 取得最小值 3.‎ ‎12 分 22. 解 (1)设 P(x1，y1)、Q(x2，y2)，‎ 由 y＝－x＋1，‎ b2x2＋a2y2＝a2b2‎ ‎(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0，‎ ‎⇒ x1‎ ‎2a2‎ a2－a2b2‎ x2‎ x1x2‎ a2＋b2 .‎ a2＋b2‎ ‎∴‎ ‎＋ ＝‎ ‎，‎ ‎＝‎ ‎∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0，‎ x1x2＋(－x1＋1)(－x2＋1)＝0，‎ ‎2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.‎ ‎∴2·a2－a2b2－‎ ‎2a2‎ ‎＋1＝0.‎ a2＋b2‎ a2＋b2‎ 即 a2＋b2＝2a2b2.‎ ‎∴‎ ‎1‎ ‎＋‎ ‎1‎ ‎＝2.‎ ‎6 分 a2‎ ‎1‎ b2‎ ‎1‎ a2‎ ‎(2)由 ‎＋‎ ‎＝2，得 b2＝‎ ‎.‎ b2‎ ‎2a2－1‎ a2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ 由 ‎≤e≤‎ ‎，知3≤e2≤2.‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ a2－b2‎ ‎1 1 b2‎ ‎2‎ ‎∴3≤‎ a2‎ ‎≤2.∴2≤a2≤3.‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ 故2≤‎ ‎≤3.‎ ‎2a2－1‎ ‎5‎ ‎≤a≤‎ ‎6‎ ‎∴‎ ‎，从而 ‎5≤2a≤‎ ‎6‎ ‎，‎ ‎2‎ ‎2‎ 故所求长轴长的取值范围是[‎ ‎5‎ ‎，‎ ‎6]．‎ ‎12 分