2019-2020学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二上学期期末数学（文）试题（解析版） 14页

‎2019-2020学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二上学期期末数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设，则=‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得，再求．‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，所以，故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．‎ ‎2．设aR，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．‎ 解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，‎ 两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，‎ 故前者是后者的充分条件，‎ ‎∵当两条直线平行时，得到，‎ 解得a=﹣2，a=1，‎ ‎∴后者不能推出前者，‎ ‎∴前者是后者的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎【考点】‎ 必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎3．已知是假命题，则（）‎ A．与都是假命题 B．与都是真命题 C．与中至少有一个真命题 D．与中至少有一个假命题 ‎【答案】C ‎【解析】利用复合命题的真假判断方法即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：由命题“”为假命题，则为真命题．‎ ‎∴中至少有一个为真命题．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复合命题的真假判断方法，属于基础题．‎ ‎4．渐近线方程为的双曲线的离心率是（ ）‎ A． B．1‎ C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.‎ ‎【详解】‎ 根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得，所以c 则该双曲线的离心率为 e，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.‎ ‎5．点是抛物线：上一点，若到的焦点的距离为8，则（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据抛物线的定义，到的焦点的距离等于到抛物线准线的距离，列式求解。‎ ‎【详解】‎ 解：，则.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义以及焦半径公式，是基础题。‎ ‎6．直线3x+4y-3=0与圆的位置关系是：()‎ A．相离; B．相交; C．相切; D．无法判定.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，发现d>r，故直线与圆相离．‎ ‎【详解】‎ 由圆的方程得到：圆心坐标为（2，3），半径r＝1，‎ 所以圆心到直线3x+4y﹣3＝0的距离d3>r，‎ 则直线与圆的位置关系为相离．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式．其中直线与圆的位置关系的判定方法为：当0≤d＜r时，直线与圆相交；当d＝r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离．‎ ‎7．位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为，跨径为，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为轴建立直角坐标系，则抛物线的顶点坐标是（0，0），并且过，利用待定系数法求即可．‎ ‎【详解】‎ 以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为轴建立直角坐标系，‎ 结合题意可知，该抛物线经过点，则，解得，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为.故选：A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的简单性质的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．‎ ‎8．若双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，一个焦点到渐进线的距离为1，则双曲线的方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由双曲线到渐近线的距离为1，得到，又，，解出，得到双曲线的标准方程.‎ ‎【详解】‎ 双曲线的一个焦点到渐进线的距离为1，‎ 离心率为，‎ ‎，‎ 解得，‎ 双曲线方程为：.‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离，求双曲线的标准方程，属于简单题.‎ ‎9．已知双曲线的离心率为,则椭圆的离心率为(  )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据双曲线离心率可求得，代入椭圆方程中，根据椭圆可构造出离心率，化简得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由双曲线离心率得：，解得：‎ 椭圆方程为 椭圆离心率 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆离心率的求解，涉及到双曲线离心率的应用，属于基础题.‎ ‎10．以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：椭圆右焦点,双曲线渐近线,即 ‎，故选D．‎ ‎【考点】1、圆的方程；2、直线与圆锥曲线．‎ ‎11．已知直线：是圆的对称轴.过点作圆的一条切线，切点为，则（ ）‎ A．2 B． C．6 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：直线l过圆心，所以，所以切线长，选C.‎ ‎【考点】切线长 ‎12．若直线y＝2x与双曲线 (a＞0，b＞0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为(　　)‎ A．(1，) B．(，＋∞)‎ C．(1， ] D．[，＋∞)‎ ‎【答案】B ‎【解析】求得双曲线的渐近线方程,由双曲线与直线有交点，应有渐近线的斜率 ,再由离心率可得结论.‎ ‎【详解】‎ 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为，‎ 由双曲线与直线有交点知，应有，‎ 故，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的几何性质、双曲线的离心率、渐近线以及直线与双曲线的位置关系，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．若变量x，y满足约束条件则z=3x–y的最大值是___________.‎ ‎【答案】9.‎ ‎【解析】作出可行域，平移找到目标函数取到最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数可得.‎ ‎【详解】‎ 画出不等式组表示的可行域，如图所示，‎ 阴影部分表示的三角形ABC区域，根据直线中的表示纵截距的相反数，当直线过点时，取最大值为9．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值．‎ ‎14．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为______________________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：椭圆长轴的长为18，即2a=18，得a=9，因为两个焦点恰好将长轴三等分，∴2c=•2a=6，得c=3，因此，b2=a2-c2=81-9=72，再结合椭圆焦点在y轴上，可得此椭圆方程为.‎ ‎【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质。‎ 点评：本题给出椭圆的长轴长和焦点的位置，求椭圆的标准方程，着重考查了椭圆的基本概念和标准方程等知识，属于基础题．但要注意焦点在x轴上与焦点在y轴上椭圆标准方程形式的不同。‎ ‎15．已知两条平行直线和之间的距离等于2，则实数的值为________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】根据两平行线之间的距离公式计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：和之间的距离等于2‎ ‎，解得或．‎ 故答案为：或 ‎【点睛】‎ 本题考查了平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎16．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】设P(x0，y0)，由数量积运算及点P在椭圆上可把表示为x0的二次函数，根据二次函数性质可求其最大值.‎ ‎【详解】‎ 由题意，得F(－1,0)，设P(x0，y0)，‎ 则有，解得，‎ 因为＝(x0＋1，y0)，＝(x0，y0)，‎ 所以·＝x0(x0＋1)＋＝＋x0＋＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2，‎ 因为－2≤x0≤2，故当x0＝2时，·取得最大值6.‎ 所以本题答案为6.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量的数量积运算、椭圆的简单性质和标准方程，注意认真计算，属中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知复数（，是虚数单位）.‎ ‎（1）若是纯虚数，求的值；‎ ‎（2）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点在第四象限，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）化简z＝1－2m＋(2m＋1)i，若z是纯虚数，只需1－2m＝0且2m＋1≠0即可；‎ ‎（2）求得1－2m－(2m＋1)i，得＋2z=3－6m＋(2m＋1)i，只需即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）z＝＝‎ ‎＝1－2m＋(2m＋1)i． ‎ 因为z是纯虚数，所以1－2m＝0且2m＋1≠0， ‎ 解得m＝． ‎ ‎（2）因为是z的共轭复数，所以＝1－2m－(2m＋1)i． ‎ 所以＋2z＝1－2m－(2m＋1)i＋2[1－2m＋(2m＋1)i]‎ ‎＝3－6m＋(2m＋1)i． ‎ 因为复数＋2z在复平面上对应的点在第一象限，‎ 所以 ‎ 解得－＜m＜，即实数m的取值范围为(－，)．‎ 点睛:形如的数叫复数,其中a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部.‎ 当时复数为实数, ‎ 当时复数为虚数,‎ 当时复数为纯虚数.‎ ‎18．从点P(4,5)向圆(x－2)2＋y2＝4引切线，求切线方程．‎ ‎【答案】x=4.‎ ‎【解析】分析：由圆的方程找出圆心坐标与半径r，分两种情况考虑：当过P的切线斜率不存在时，直线x=4满足题意；当过P的切线斜率存在时，设为k，由P坐标表示出切线方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时切线方程，综上，得到满足题意圆的切线方程．‎ 详解：‎ 把点P(4,5)代入(x－2)2＋y2＝4，得(4－2)2＋52＝29＞4，所以点P在圆(x－2)2＋y2＝4外．设切线斜率为k，则切线方程为y－5＝k(x－4)，即kx－y＋5－4k＝0.又圆心坐标为(2,0)，r＝2.因为圆心到切线的距离等于半径，即＝2，k＝.‎ 所以切线方程为21x－20y＋16＝0.当直线的斜率不存在时还有一条切线是x＝4.‎ 点睛：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，以及直线的点斜式方程，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．‎ ‎19．已知椭圆的离心率为，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线：与椭圆交于，两点，且线段的中点在圆上，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】(1)根据条件解关于a,b,c得方程组即得结果，(2)联立直线方程与椭圆方程，根据中点坐标公式以及韦达定理解得中点坐标公式,代入圆方程解得的值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意，得，解得，‎ 故椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）设，，线段AB的中点为．‎ 联立，得，‎ 所以，，‎ 即，．‎ 又因为点M在圆上，所以，‎ 解得，满足题意．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查弦中点问题以及椭圆标准方程,考查基本分析转化求解能力,属中档题.‎ ‎20．已知抛物线的顶点为,准线方程为 ‎（1）求抛物线方程；‎ ‎（2）过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，求的面积。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据抛物线的准线方程求得的值，进而求得抛物线方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，写出韦达定理，求得的长，利用三角形面积公式求得的面积.‎ ‎【详解】‎ 解（1）的准线，，‎ ‎（2）设直线方程为，则，‎ ‎，‎ ‎=‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查已知抛物线的准线求抛物线方程，考查直线和抛物线相交所得弦长的计算以及与抛物线有关的三角形面积的计算，属于中档题.‎ ‎21．已知双曲线两个焦点分别是，点在双曲线上.‎ ‎（1）求双曲线的标准方程;‎ ‎（2）过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由轴可得，结合焦点坐标可得，从而得到的值，得到所求标准方程；（2）根据双曲线渐近线倾斜角可知均在双曲线右支上，根据双曲线定义可知所求周长等于 ‎，将直线方程代入双曲线方程，利用弦长公式求得，代入得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）， 轴 且 又，即，解得： ‎ 双曲线的标准方程为：‎ ‎（2）由（1）知，双曲线渐近线为，倾斜角为 直线过且倾斜角为 均在双曲线的右支上 ‎， ‎ 设直线方程为：‎ 代入双曲线方程得： ‎ 的周长为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线标准方程的求解、双曲线中的三角形周长的求解问题；关键是能够利用双曲线的定义将问题转化为弦长的求解，利用弦长公式求得结果.‎ ‎22．设椭圆的上顶点为A，右顶点为B，离心率为，．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）不经过点A的直线与椭圆交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过点A，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析，.‎ ‎【解析】（1）由可得，再结合，可求出，即可得到椭圆的方程；（2），设，，由以MN为直径的圆经过点A，可得，即 ‎，然后联立椭圆方程与直线的方程，结合根与系数关系可求得的值，进而可求出定点.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．‎ 由从而，．‎ 所以，椭圆的方程为．‎ ‎（2），‎ ‎，即，‎ ‎，，‎ ‎，设，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 因为以MN为直径的圆经过点A，所以，‎ 则，‎ 即，整理得，‎ 解得或，‎ 又直线l不经过，所以，故，则直线l过定点．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了韦达定理的运用，属于难题.‎