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- 2021-04-29 发布
2018-2019学年江西省奉新县第一中学高二下学期第一次月考数学（理科）试题
命题人：张 美 荣
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．若，则（ ）
A. 2 B. C. D.
2．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )
A． B． 2 C． D． 4
3．函数的极大值是( )
A. -9 B. 0 C. D.
4．函数f(x)＝2的单调递增区间是( )
A. B.和 C. D.和
5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
6．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2＝，3＝，4＝，5＝，…，则按照以上规律，若9＝具有“穿墙术”，则n＝( )
A． 48 B． 25 C． 80 D．63
7. 若a>2，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在区间(0，2)上恰好有( )
A．0个零点 B．1个零点 C．2个零点 D．3个零点
8. 过原点O作直线交椭圆＋＝1(a>b>0)于点A、B，椭圆的右焦点为F2，离心率为e.若以AB为直径的圆过点F2，且sin∠ABF2＝e，则e＝( )
A. B. C. D.
9. 已知P是椭圆＋＝1，(00的解集为( )
A．(－4，0)∪(4，＋∞) B．(－4，0)∪(0，4)
C．(－∞，－4)∪(4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(0，4)
12. 若函数f(x)＝的最大值为f(－1)，则实数a的取值范围为( )
A．[0,2e2] B. (0,2e2] C．[0,2e3] D.(0,2e3]
二、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13. ＝________.
14. 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)……(n＋n)＝2n·1×3……(2n＋1)(n∈N)，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为
15．已知椭圆＋＝1(0 g(x2)？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．
21.（本小题满分12分）
已知动圆过定点，且与直线相切.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）过轨迹上一点作倾斜角互补的两条直线，分别与交于异于的 两点. ①求证：直线的斜率为定值；
②如果两点的横坐标均不大于，求面积的最大值.
22. （本小题满分12分）
设函数，.其中.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若存在，对任意，使得成立，求的取值范围.
2020届高二年级下学期第一次月考数学（理科）参考答案
D D B A A C B C A D B C
13.0 14.2(2k＋1). 15. 3 16. [0,2)∪
17.(1)；(2)；(3).
18. 解 (1)因为f′(x)＝2x－，所以切线的斜率k＝f′(1)＝－6.
又f(1)＝1，故所求的切线方程为y－1＝－6(x－1)．即y＝－6x＋7.…………（5分）
(2)因为f′(x)＝，
又x>0，所以当x>2时，f′(x)>0；当02时，f′(x)>0，即函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)和(2，＋∞)．
当－3g(x)max.
由(1)可得当x趋近于－∞时，f(x)趋近于0，
∴f(x)min＝f(2)＝－3e2，
∵g(x)＝tx2＋ex－4e2＝t2－－4e2，
∴g(x)max＝g＝－－4e2.
故－3e2>－－4e2，即1＞－，得到t<－，
∴存在负数t∈满足题意． …………（12分）
21. （I）设为动圆圆心，由题意知，动点到定点与定直线的距离相等，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为.…………（4分）
（II）设.
(1), .
依题意，,
于是.
直线的斜率为定值-1. …………（8分）
（2）设直线的方程：y=-x+m,
,
, ,
又，.
点M到直线AB的距离,
弦长，
，
设，
，
f(m)在上单调递增，，.…………（12分）
22、 解：（1），
当时，令，得，∴的递增区间为.
令，得，，∴的递减区间为.
当时，同理得的递增区间为；递减区间为.………（4分）
（2），
∵当时，及均为增函数，
∴在为增函数，又，
∴当时，；当时，.
从而，在上递减，在上递增，
∴在上的最小值为. ……………（8分）
∵，∴，
∴，当时，∴，∴，∴.
当时，，∴，∴，
又，∴时不合题意.
综上，. ………………（12分）