【数学】2020届一轮复习人教B版（文）第五章第2讲平面向量基本定理及坐标表示作业 7页

‎1.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则等于(　　)‎ A．b－a　　　　　　　 B．b＋a C．a＋b D．a－b 解析：选A．＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a.‎ ‎2．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x＝(　　)‎ A．－2 B．－4‎ C．－3 D．－1‎ 解析：选D.因为a－b＝(3，1)，所以a－(3，1)＝b，则b＝(－4，2)．所以2a＋b＝(－2，6)．又(2a＋b)∥c，所以－6＝6x，x＝－1.故选D.‎ ‎3.已知向量，和在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)‎ A．2 B．－2‎ C．3 D．－3‎ 解析：选A．如图所示，建立平面直角坐标系，‎ 则＝(1，0)，＝(2，－2)，＝(1，2)．‎ 因为＝λ＋μ，所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，‎ 所以解得所以λ＋μ＝2.故选A．‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝，||＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)‎ A．2 B． C．2 D．4 解析：选A．因为||＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又＝λ＋μ，所以(，)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.‎ ‎5．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(m，3m－4)，b＝(1，2)，且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则m的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，4) B．(4，＋∞)‎ C．(－∞，4)∪(4，＋∞) D．(－∞，＋∞)‎ 解析：选C．平面内的任意向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，由平面向量基本定理可知，向量a，b可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a，b是不共线向量．又因为a＝(m，3m－4)，b＝(1，2)，则m×2－(3m－4)×1≠0，即m≠4，所以m的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．‎ ‎6．设向量a＝(x，1)，b＝(4，x)，若a，b方向相反，则实数x的值为________．‎ 解析：由题意得x2－1×4＝0，解得x＝±2.当x＝2时，a＝(2，1)，b＝(4，2)，此时a，b方向相同，不符合题意，舍去；当x＝－2时，a＝(－2，1)，b＝(4，－2)，此时a，b方向相反，符合题意．‎ 答案：－2‎ ‎7．已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若＝＋λ(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为________．‎ 解析：设P(x，y)，则由＝＋λ，得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.‎ 答案：－ ‎8．(2017·太原模拟)在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ eq o(AN,sup6(→))，则实数λ＋μ＝________．‎ 解析：如图，因为＝＋＝＋＝＋，①‎ ＝＋＝＋，②‎ 由①②得＝－，＝－，‎ 所以＝＋＝＋＝－＋－＝＋，因为＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，λ＋μ＝.‎ 答案： ‎9．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.‎ ‎(1)求3a＋b－3c；‎ ‎(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(3)求M、N的坐标及向量的坐标．‎ 解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．‎ ‎(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)‎ ‎＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．‎ ‎(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，‎ 所以解得 ‎(3)设O为坐标原点，因为＝－＝3c，‎ 所以＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．‎ 所以M(0，20)．又因为＝－＝－2b，‎ 所以＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，‎ 所以N(9，2)．所以＝(9，－18)．‎ ‎10．如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上的点，∠CBA＝60°，∠ABD＝45°，＝x＋y，求x＋y的值．‎ 解：不妨设⊙O的半径为1，则A(－1，0)，B(1，0)，D(0，1)，C 所以＝，＝.‎ 又＝x＋y，‎ 所以＝x(－1，0)＋y.‎ 所以，解之得，‎ 所以x＋y＝－＝－.‎ ‎1．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为(　　)‎ A．(2，0)　　　　　　　 B．(0，－2)‎ C．(－2，0) D．(0，2)‎ 解析：选D.因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，‎ 即a＝－2p＋2q＝(2，4)，‎ 令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，‎ 所以即 所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)．‎ ‎2.如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是(　　)‎ A．(0，1) B．(1，＋∞)‎ C．(－∞，－1) D．(－1，0)‎ 解析：选D.由点D是圆O外一点，可设＝λ(λ＞1)，则＝＋λ＝λ＋(1－λ).又C，O，D三点共线，令＝－μ(μ＞1)，则＝－－·(λ＞1，μ＞1)，所以m＝－，n＝－，则m＋n＝－－＝－∈(－1，0)．‎ ‎3．设P是△ABC内一点，且＋＋＝0，＝，则＋＝________．‎ 解析：因为＝－，＝－，＋＋＝0，所以3＝＋，即＝＋.‎ 因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以＋＝＋.‎ 答案：＋ ‎4.如图，O点在△ABC的内部，E是BC边的中点，且有＋2＋3＝0，则△AEC的面积与△AOC的面积的比为________．‎ 解析：取AC的中点D，连接OE，OD.因为D，E分别是AC，BC边的中点，所以＋＝2，＋＝2，因为＋2＋3＝0，所以2＋4＝0，所以O，D，E三点共线，且＝.又因为△AEC与△AOC都以AC为底，所以△AEC的面积与△AOC的面积的比为3∶2.‎ 答案：3∶2‎ ‎5．(2017·高考江苏卷改编)如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n(m，n∈R)，求m＋n的值．‎ 解：法一：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，由tan α＝7，α∈，得sin α＝，cos α＝，设C(xC，yC)，B(xB，yB)，则xC＝||cos α＝×＝，yC＝||sin α＝×＝，即C.又cos(α＋45°)＝×－×＝－，sin (α＋45°)＝×＋×＝，则xB＝||cos(α＋45°)＝－，yB＝||sin (α＋45°)＝，即B，由＝m ＋n ，可得 解得所以m＋n＝＋＝3.‎ 法二：由tan α＝7，α∈，得sin α＝，cos α＝，则cos(α＋45°)＝×－×＝－，·＝1××＝1，·＝1××＝，·＝1×1×＝－，由＝m ＋n ，得·＝m 2＋n ·，即＝m－n　①，同理可得·＝m ·＋n 2，即1＝－m＋n　②，联立①②，解得所以m＋n＝＋＝3.‎ ‎6.如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．M为AB的中点．‎ ‎(1)设＝λ，将用λ，，表示；‎ ‎(2)设＝x，＝y，证明：＋是定值．‎ 解：(1)＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.‎ ‎(2)证明：由(1)得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；①‎ 因为G是△OAB的重心，‎ 所以＝＝×(＋)＝＋.②‎ 而，不共线，‎ 所以由①②，得解得 所以＋＝3(定值)．‎