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- 2021-04-29 发布
2019-2020学年四川省绵阳市南山中学高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题）
1.已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线l的倾斜角为( )
A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150°
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意知，直线l的斜率等于，设出直线的倾斜角，由倾斜角和斜率的关系及倾斜角的范围可求直线的倾斜角.
【详解】直线l的斜率的绝对值等于，
线l的斜率等于，设直线的倾斜角为，则，
则或，
60°或120°.
故选：C.
【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，注意倾斜角的取值范围，体现了分类讨论的数学思想.
2.圆的半径为（ ）
A. 1 B. 3 C. 2 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】
配方化标准方程，即可求解.
【详解】圆的标准方程为，则半径为1，
故选：A．
【点睛】本题考查圆的一般方程与标准方程互化，属于基础题.
3.抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
抛物线的标准方程为所以准线方程为
4.直线用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
化方程为斜截式即可.
【详解】直线用斜截式表示为，
故选：B．
【点睛】本题考查直线方程的互化，属于基础题.
5.在空间直角坐标系中，点关于平面yOz对称的点的坐标是（ ）
A. 4， B.
C. 4， D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据对称关系，即可求解.
【详解】空间直角坐标系中，点关于平面yOz对称的点的坐标是．
故选：B．
【点睛】本题考查空间直角坐标的对称问题，对于常考的对称关系要熟练掌握，属于基础题.
6.经过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出两直线的交点，利用垂直关系设出所求直线方程，即可求解.
【详解】联立可得，，即交点，
设与直线垂直的直线方程是，
把点代入可得：，解得．
要求的直线方程为：．
故选：C．
【点睛】本题考查两直线的位置关系，涉及相交、垂直问题，属于基础题.
7.设村庄外围所在曲线的方程可用表示，村外一小路方程可用表示，则从村庄外围到小路的最短距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
问题转化为圆心到直线的距离，即可求解.
【详解】圆的圆心坐标为，半径，
圆心C到直线的距离，
圆上的点到直线距离的最小值为．
即从村庄外围到小路的最短距离为．
故选：B．
【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离最小值，考查数形结合思想转化为圆心到直线的距离，属于基础题.
8.椭圆与具有相同的（ ）
A. 长轴 B. 焦点 C. 离心率 D. 顶点
【答案】C
【解析】
【分析】
将化为标准方程，与按选项逐项对比，即可求解.
【详解】椭圆的离心率为：；
标准方程，
的离心率为：，
所以椭圆与具有相同的离心率．
故选：C．
【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，化标准方程是关键，属于基础题.
9.已知圆的圆心为C及点，则过M且使圆心C到它的距离最大的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据几何关系，到直线l的距离的最大值为，即可求解.
【详解】由题意可知，到直线l的距离，
当时，为所求距离的最大值，
，
所以所求直线的斜率，
直线方程为即，
故选：A．
【点睛】本题考查圆心与过定点的直线距离的最大值，利用点与直线距离的平面几何性质是解题的关键，属于中档题.
10.设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则
△OAB的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由题意可知：直线AB的方程为，代入抛物线的方程可得：，设A、B，则所求三角形的面积为=，故选D.
考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.
11.已知分别为双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：是左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点,所以
代入得:,当且仅当时取等号,即,又点是双曲线左支上任意一点,所以,即，.
考点：双曲线的几何定义及双曲线的性质和均值不等式.
12.已知抛物线：的焦点为，点，直线与抛物线交于点（在第一象限内)，与其准线交于点，若，则点到轴距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
过点作抛物线准线的垂线，垂足为．根据三角形相似可得直线的倾斜角为，从而斜率为，进而可求得，于是可求得点的纵坐标，根据点在曲线上可得其横坐标，即为所求．
【详解】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为，设准线与y轴交于点．
过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则，
∴，
∴,
∴直线的倾斜角为，
∴，解得．
又由得，即，
∴．
设，则，
∴，
∴，
又点第一象限，
∴，即点到轴距离为．
故选B．
【点睛】本题考查抛物线定义的运用和平面几何图形的性质，解题的关键是根据平面图形的性质得到直线的倾斜角，进而得到参数，然后再根据定义进行转化后可得所求距离，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题）
13.如果直线l与直线垂直，则直线l的斜率为______．
【答案】
【解析】
【分析】
求出已知直线的斜率，利用两直线垂直的关系，即可求解.
【详解】直线l与直线垂直，
且的斜率，
则直线l的斜率．
故答案为：
【点睛】本题考查两直线的位置关系，属于基础题.
14.已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则的方程是_________.
【答案】
【解析】
试题分析：由题意得，斜率存在，设为 k，则直线l的方程为 y-2=k（x-4），即 kx-y+2-4k=0，
代入椭圆的方程化简得 （1+4k2）x2+（16k-32 k2）x+64 k2-64k-20=0，
∴，解得 k=-，故直线l的方程为 x+2y-8=0
考点：直线与圆锥曲线的关系
15.从点作圆的切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用切线的性质，可得在以（为已知圆的圆心）直径的圆上，AB就为两圆的相交弦，求出两圆的相交弦方程即可求解.
【详解】圆的圆心为，半径为2，
以、为直径的圆的方程为
，
化为一般方程是；
将两圆的方程相减可得公共弦AB的直线方程为．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆的切线性质，两圆的位置关系，考查等价转化思想，属于中档题.
16.设，是椭圆C：的左、右焦点，过的直线l与C交于A，B两点．若，且：：3，则椭圆的离心率为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知条件设出，结合椭圆的定义，把用表示，即可求解.
【详解】设，，因，则，
由椭圆的定义得，即，，
所以，，
则椭圆的离心率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查椭圆的性质，椭圆离心率的求解，利用椭圆的定义是解题的关键，属于中等题.
三、解答题（本大题共6小题）
17.已知圆过两点，，且圆心在直线上，求此圆的标准方程．
【答案】
【解析】
【分析】
圆心为的垂直平分线与直线的交点，即可求解.
【详解】由已知得：AB的垂直平分线方程为：
代入直线得圆心：，
又半径，
则圆方程为：
【点睛】本题考查圆的标准方程，确定圆心位置是解题的关键，属于基础题.
18.已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．
(1)若l1∥l2，求b的取值范围；
(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．
【答案】（1）(－∞，－6)∪(－6,0]
（2）2
【解析】
解：(1)因为l1∥l2，
所以－b－(a2＋1)a2＝0，
即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2
＝－(a2＋)2＋．
因为a2≥0，所以b≤0．
又因为a2＋1≠3，所以b≠－6．
故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．
(2)因为l1⊥l2，
所以(a2＋1)－a2b＝0．
显然a≠0，所以ab＝a＋，
|ab|＝|a＋|≥2，
当且仅当a＝±1时等号成立，
因此|ab|的最小值为2．
19.已知抛物线C的顶点在原点，且其准线为．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）如果直线l的方程为：，且其与抛物线C交于A，B两点，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的准线方程，即可求出抛物线C的标准方程；
（2）设直线与y轴的交点为D，，，联立直线与抛物线方程，即可求解.
【详解】（1）可设抛物线的方程为，，
准线方程为，由抛物线的准线方程为，
可得，则抛物线方程为；
（2）联立得，
设，，可得，，
，
设直线与y轴的交点为D，则，
又抛物线的焦点坐标为，
则．
【点睛】本题考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的关系，属于基础题.
20.已知双曲线C：的上焦点为．
（1）若双曲线C是等轴双曲线，且，求双曲线的标准方程；
（2）若经过原点且倾斜角为的直线l与双曲线C的上支交于点A，O为坐标原点，是以线段AF为底边的等腰三角形，求双曲线C的离心率及渐近线方程．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，以及，即可求解；
（2）由已知条件求出点坐标，利用双曲线的定义求出关系，求出离心率，再由离心，进而求出渐近线方程.
【详解】（1）由双曲线为等轴双曲线，则，
又，则，，
故双曲线的标准方程为；
（2）由题意得，又OA的倾斜角为，，
则，
又，则，
则渐近线方程为：
【点睛】本题考查等轴双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，解题中要合理应用双曲线的定义，要注意双曲线焦点的位置，属于基础题.
21.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成,两相接点M,N均在直线x=5上.圆弧C1的圆心是坐标原点O,半径为13;圆弧C2过点A(29,0).
(1)求圆弧C2的方程.
(2)曲线C上是否存在点P,满足PA=PO?若存在,指出有几个这样的点;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) (x-14)2+y2=225(5≤x≤29) (2) 不存在，理由见解析
【解析】
【详解】(1)圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=169,令x=5,解得M(5,12),N(5, -12).
则线段AM中垂线的方程为y-6=2(x-17),令y=0,得圆弧C2所在圆的圆心为(14,0),
又圆弧C2所在圆的半径为r2=29-14=15,所以圆弧C2的方程为(x-14)2+y2=225(5≤x≤29).
(2)假设存在这样的点P(x,y),
则由PA=PO,得x2+y2+2x-29=0,
由
解得x=-70(舍去).
由
解得x=0(舍去),
综上知,这样的点P不存在.
【误区警示】求圆弧C2的方程时经常遗漏x的取值范围,其错误原因是将圆弧习惯认为或误认为圆.
22.已知椭圆的两个焦点分别是，，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆相交于异于的不同两点，，求的面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由焦距得，又椭圆经过点，代入求解即可；
（2）由题意，直线斜率不等于0，设直线的方程为，，，直线与椭圆联立得，，点到直线的距离为，的面积 ，利用韦达定理带入得，令，则即可的最值.
试题解析：
(1)由题意，焦距，∴，
∴椭圆.
又椭圆经过点，∴，
解得或(舍)，∴.
∴椭圆的标准方程为.
(2)由(1)，得点，
由题意，直线的斜率不等于0，设直线的方程为，，，
联立，消去，得，
∴，
，，
∵，
化简，得，
又点到直线的距离为，
∴的面积 ，
令，则，
而函数在时单调递增，
∴在时单调递减，
∴当时即时，的面积有最大值.
点睛：圆锥曲线最值与范围问题的常见求法：
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
③利用基本不等式求出参数的取值范围；
④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．