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- 2021-04-29 发布
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衡阳县四中2019年下期391班10月月考
数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合A＝{x∈Z｜－2≤x＜3}，B＝{0，2，4}，则A∩B＝
A. {0，2，4} B. {0，2} C. {0，1，2} D.
【答案】B
【解析】
【分析】
化简集合，利用交集的定义求解即可.
【详解】化简，
因为，
故，故选B.
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.
2.函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．
【详解】由，解得x≥且x≠2．
∴函数的定义域为．
故选：C．
【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．
3.已知，，则使得成立的（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由f（x）＝2x+3，可得f（h（x））＝2h（x）+3，从而f（h（x））＝g（x）化为2h（x）+3＝4x﹣5，解出h（x）即可．
【详解】由f（x）＝2x+3，得f（h（x））＝2h（x）+3，
则f（h（x））＝g（x）可化为2h（x）+3＝4x﹣5，解得h（x）＝2x﹣4，
故选：C．
【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，属基础题．
4. 下列函数是奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：A中,是奇函数,B中,是偶函数,C中,是非奇非偶函数,D中,是非奇非偶函数.
考点：函数的奇偶性.
【思路点晴】奇函数的定义：如果对于函数定义域内的任意实数，都有，则叫做奇函数，若函数具有奇偶性，则与都要有意义，必须同时在定义域内，因此定义域必须关于原点对称.C选项不符合定义域对称，故可排除，而B，D满足偶函数的条件，也可排除，A满足奇函数的条件.
5.函数，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用分段函数的性质求解．
【详解】∵函数f（x），
∴f（3）＝9﹣3﹣3＝3，∴
f（）＝f（）＝1﹣（）2＝．
故选：C．
【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
6.函数f（x）=|x2﹣6x+8|的单调递增区间为（ ）
A. [3，+∞） B. （﹣∞，2），（4，+∞）
C. （2，3），（4，+∞） D. （﹣∞，2]，[3，4]
【答案】C
【解析】
【分析】
画出的图象，将图象在x轴下方的部分对称到x轴上方，即可得到的图象，根据图象可写出函数的单调递增区间.
【详解】画出的图象如图：
由图象可知，函数的增区间为，故选C.
【点睛】本题主要考查了函数的调性，函数的图象，属于中档题.
7.已知函数满足，则（ ）
A. -1 B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得该二次函数的对称轴x1，解得a的值，即可得答案．
【详解】根据题意，函数f（x）＝ax2+x+1满足f（1+x）＝f（1﹣x），
则二次函数的对称轴x1，
解可得a；
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次函数的性质，关键分析该函数的对称轴，属于基础题．
8.设集合A＝{x|1＜x≤2}，B＝{ x|x＜a}，若AB=B，则a的取值范围是( )．
A. {a|a≥1} B. {a|a≤1} C. {a|a≥2} D. {a|a＞2}
【答案】D
【解析】
【分析】
根据A∪B=B得到两集合间的关系，再由集合间的关系求得a的取值范围。
【详解】由A∪B=B，得A⊆B，已知A＝{x|1＜x≤2}，B＝{ x|x＜a}，故a>2,故选D .
【点睛】求集合中参数的取值范围的关键在于根据已知条件得出集合之间的关系，数形结合得出关于参数的不等式，解不等式即可.
9.函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用排除法能求出正确选项．
【详解】∵函数f（x），当x时，f（x）>0故D错误；
∴x>1时，f（x）<0恒成立，故B和C错误．
由排除法得正确选项是A．
故选：A．
【点睛】本题考查函数的大致图象的判断，考查函数的性质、特殊值点等基础知识，是基础题．
10.如图中的阴影部分由直径为2的半圆和底为1，高为2，3的两矩形构成，设函数S是图中阴影部分介于平行线和之间的那一部分的面积，那么函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图象依次分析[0，1]、[1，2]和[2，3]上面积增长速度变化情况，从而求得结果.
【详解】根据图象可知在[0，1]上面积增长速度越来越慢，在图形上反映出切线的斜率在变小；在[1，2]上面积增长速度恒定，在[2，3]上面积增长速度恒定，而在[1，2]上面积增长速度大于在[2，3]上面积增长速度，在图形上反映出[1，2]上的切线的斜率大于在[2，3]上的切线的斜率，因此C项符合题意.
【点睛】本题考查函数图象的应用和判断，解题的关键在于得出面积变化速度与函数图像的切线斜率的关系，属中档题.
11.已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，若f（2）=﹣2，则满足f（x﹣1）≥﹣2的x的取值范围是 （ ）
A. （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B. （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）
C. [﹣1，﹣3] D. （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得若，即有
，可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【详解】根据题意，偶函数在单调递增，且，
可得，
若，即有，
可得，
解可得： 即的取值范围是；
故选：B．
【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是利用函数的奇偶性与单调性转化原不等式．
12.已知f（x）= 则不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集是（ ）
A. [﹣2，1] B. （﹣∞，﹣2] C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
先根据分段函数的定义域，选择解析式，代入不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5求解即可．
详解】当x+2≥0，即x≥-2时．
则x+（x+2）f（x+2）≤5转化为：2x+2≤5
解得：x≤
∴-2≤x≤
当x+2＜0即x＜-2时，x+（x+2）f（x+2）≤5转化为：x+（x+2）•（-1）≤5
∴-2≤5，∴x＜-2．
综上x≤
故选D．
【点睛】本题主要考查不等式的解法，用函数来构造不等式，进而再解不等式，这是很常见的形式，不仅考查了不等式的解法，还考查了函数的相关性质和图象，综合性较强，转化要灵活，要求较高．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）
13.已知集合A={﹣1，0，1}，B={}，若A∩B={0}，则B=_______；
【答案】[0,3]
【解析】
【分析】
根据A∩B={0}可得出0∈B，进而求出m=0，解方程x2﹣3x=0即可求出集合B．
【详解】∵A∩B={0}；∴0∈B；∴m=0；
∴B={0，3}．
故答案为：{0，3}．
【点睛】考查描述法、列举法的定义，元素与集合的关系，交集的定义及运算．
14.已知函数若有最小值，则的最大值为____
【答案】2
【解析】
【分析】
根据二次函数性质可知函数在上单调递增，在 上单调递减，则函数在 上当x=0时取得最小值，即可求得a的值.
【详解】二次函数 在 单调递增，当 单调递减
故在x=0时取得最小值，即a=2
【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．
15.已知，则的解析式为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据3f（x）+2f（﹣x）＝x+3，用﹣x替换x得：3f（﹣x）+2f（x）＝﹣x+3消去f（﹣x
），可得答案．
【详解】∵3f（x）+2f（﹣x）＝x+3，①，
用﹣x替换x得：
3f（﹣x）+2f（x）＝﹣x+3，②，
①×3﹣②×2得：
5f（x）＝5x+3
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查的知识点是利用方程组法，求解函数解析式，难度不大，属于中档题．
16.已知定义在上的偶函数满足以下两个条件:①在上单调递减；②，则使不等式成立的的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性与单调性及f(1)=－2，画出函数f(x)的图象，分析可得x的不等式，解之即可求得结果.
【详解】因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递减，f(1)=－2，画出函数f(x)的图象如图：
则由f(1+x)≤－2，即f(1+x)≤f(1)，可得：|x+1|≤1，解得：－2≤x≤0.
所以本题答案为.
【点睛】本题考查了抽象函数奇偶性与单调性的综合应用，考查了学生的画图能力和数形结合的思想运用，属中档题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知全集，函数的定义域为，求：
（1）集合.
（2）.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由函数的解析式可得，解可得x的取值范围，即可得答案；
（2）根据题意，由补集的定义可得∁UB，进而由交集的定义计算可得答案．
【详解】（1）已知函数，
则，解得，则.
（2）根据题意，B＝{x|2≤x≤4}，
则∁UB＝{x|x＜2或x＞4}，
则A∩（∁UB）＝[0，2）．
【点睛】本题考查集合的混合运算，涉及函数定义域的求法，属于基础题．
18.已知集合.
（1）当时，求集合；
（2）当时，若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
分析：（1）解一次不等式得集合A，（2）先根据A∩B= B得BÍA，再根据k分类解集合A，最后根据数轴确定实数的取值范围.
详解：（1）当k＝1时，A＝{x|0≤x＋1≤5}＝{x|－1≤x≤4}；
（2）因为A∩B= B，所以BÍA，
由0≤kx＋1≤5，得－1≤kx≤4，
①当k=0时，A=R，满足BÍA成立；
②当k<0时，A=，
由BÍA，得，
即，故，
综上所述：．
点睛：将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．
19.若二次函数满足，且.
（1）求的解析式.
（2）若在上是单调函数，求实数的取值范围.
【答案】(1) . (2)
【解析】
【分析】
（1）设二次函数的解析式为f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），然后利用待定系数可求a，b，c，进而可求函数解析式
（2）求出的图象的对称轴x，结合二次函数的性质判断对称轴与已知区间的关系即可求解．
【详解】（1）设二次函数的解析式为，
由得，故.
因为，
所以，即，
根据系数对应相等，所以，
所以.
（2）因为的图象关于直线对称，
又函数在上是单调函数，
所以或，解得或，
故的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了待定系数求解二次函数的解析式，及二次函数的单调性的应用，对称轴与区间关系的判断是求解的关键．
20.定义在上偶函数，当时，．
（1）求函数在上的解析式；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
【答案】（1）（2）最大值是-1，最小值是-22
【解析】
【分析】
（1）根据函数的奇偶性，合理设出变量，即可求解函数在上的解析式；
（2）由（1）可得，函数在区间上单调递增，在上单调递减，进而求解函数的最大值与最小值.
【详解】:
上单调递增，在上单调递减
【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，以及函数单调性的应用，其中根据题意，令函数的奇偶性求得函数的解析式，得出函数的单调性是解答本题的关键，着重考查了分析问题好解答问题的能力，属于基础题.
21.设函数为定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断函数的单调性，并用定义法证明在上的单调性.
【答案】(1)；(2)在上是减函数，证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）由奇函数，即可得的值；
（2）由减加减问减函数可判断函数为减函数，再利用定义证单调性即可.
试题解析：
（1）是奇函数，，
，，.
经检验为所求.
（2）的单调减区间为与，没有单调增区间，
当时，设，
则 ，
，
在上是减函数.
点睛：本题主要考查函数的单调性定义和证明方法，属于基础题；
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论，
关键是第三步变形，一定要化为几个因式乘积的形式.
22.函数是定义在上的奇函数.
⑴确定函数的解析式；
⑵用定义证明的单调性；
⑶解不等式
【答案】⑴； ⑵见解析；⑶
【解析】
【分析】
(1)根据奇函数性质列方程,解得a,b值，(2)根据单调性定义，作差变形，根据各因子符号确定差的符号，即得结果，（3）根据奇函数与单调性性质化简不等式，解得结果.
【详解】⑴因为是定义在上奇函数,所以,
,,,
⑵取，则
所以在单调递增,
⑶因为,所以,因为在单调递增,所以,.
【点睛】本题考查奇函数应用、函数单调性定义及其应用,考查等价转化思想与基本分析求解能力,属中档题.