【数学】2020届一轮复习人教A版不等式选讲作业 6页

‎2020届一轮复习人教A版 不等式选讲 作业 ‎1．(2019·合肥质量检测(一))已知函数f(x)＝|x－m|－|x＋3m|(m＞0)．‎ ‎(1)当m＝1时，求不等式f(x)≥1的解集；‎ ‎(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)＜|2＋t|＋|t－1|恒成立，求m的取值范围．‎ ‎【解析】：(1)f(x)＝|x－m|－|x＋3m|‎ ‎＝ 当m＝1时，由，或x≤－3，得x≤－，‎ 所以不等式f(x)≥1的解集为{x|x≤－}．‎ ‎2．(2019·昆明质量检测)已知函数f(x)＝|x＋2|.‎ ‎(1)解不等式2f(x)＜4－|x－1|；‎ ‎(2)已知m＋n＝1(m＞0，n＞0)，若不等式|x－a|－f(x)≤＋恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【解析】：(1)不等式2f(x)＜4－|x－1|等价于2|x＋2|＋|x－1|＜4，‎ 即或 或.‎ 解得－＜x≤－2或－2＜x＜－1或∅，‎ 所以原不等式的解集为{x|－＜x＜－1}．‎ ‎(2)因为|x－a|－f(x)＝|x－a|－|x＋2|≤|x－a－x－2|＝|a＋2|，‎ 所以|x－a|－f(x)的最大值是|a＋2|，‎ 又m＋n＝1(m＞0，n＞0)，‎ 所以＋＝(＋)(m＋n)＝＋＋2≥2＋2＝4，‎ 所以＋的最小值为4.‎ 要使|x－a|－f(x)≤＋恒成立，‎ 则|a＋2|≤4，‎ 解得－6≤a≤2.‎ 所以实数a的取值范围是[－6，2]．‎ 课时作业 ‎1．(2019·石家庄质量检测(一))已知函数f(x)＝|x－3|＋|x＋m|(x∈R)．‎ ‎(1)当m＝1时，求不等式f(x)≥6的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≤5的解集不是空集，求参数m的取值范围．‎ ‎【解析】：(1)当m＝1时，‎ f(x)≥6等价于，‎ 或，或，‎ 解得x≤－2或x≥4，‎ 所以不等式f(x)≥6的解集为{x|x≤－2或x≥4}．‎ ‎(2)法一：化简f(x)得，‎ 当－m≤3时，‎ f(x)＝，‎ 当－m＞3时，‎ f(x)＝ 根据题意得：，‎ 即－3≤m≤2，‎ 或，即－8≤m＜－3，‎ 所以参数m的取值范围为{m|－8≤m≤2}．‎ 法二：因为|x－3|＋|x＋m|≥|(x－3)－(x＋m)|＝|m＋3|，‎ 所以f(x)min＝|3＋m|，‎ 所以|m＋3|≤5，‎ 所以－8≤m≤2，‎ 所以参数m的取值范围为{m|－8≤m≤2}．‎ ‎2．(2019·贵州适应性考试)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－5|，g(x)＝.‎ ‎(1)求f(x)的最小值；‎ ‎(2)记f(x)的最小值为m，已知实数a，b满足a2＋b2＝6，求证：g(a)＋g(b)≤m.‎ ‎【解析】：(1)因为f(x)＝|x－1|＋|x－5|，‎ 所以f(x)＝|x－1|＋|x－5|＝，‎ 所以f(x)min＝4.‎ ‎(2)证明：由(1)知m＝4.由柯西不等式得 ‎[1×g(a)＋1×g(b)]2≤(12＋12)[g2(a)＋g2(b)]，‎ 即[g(a)＋g(b)]2≤2(a2＋b2＋2)，‎ 又g(x)＝＞0，a2＋b2＝6，‎ 所以g(a)＋g(b)≤4(当且仅当a＝b＝时取等号)．‎ 即g(a)＋g(b)≤m.‎ ‎3．(2019·广州综合测试(一))已知函数f(x)＝|x＋a－1|＋|x－2a|.‎ ‎(1)若f(1)＜3，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若a≥1，x∈R，求证：f(x)≥2.‎ ‎【解析】：(1)因为f(1)＜3，‎ 所以|a|＋|1－2a|＜3.‎ ‎①当a≤0时，得－a＋(1－2a)＜3， ‎ 解得a＞－，‎ 所以－＜a≤0；‎ ‎②当0＜a＜时，得a＋(1－2a)＜3，‎ 解得a＞－2，所以0＜a＜；‎ ‎③当a≥时，得a－(1－2a)＜3，‎ 解得a＜，‎ 所以≤a＜.‎ 综上所述，实数a的取值范围是(－，)．‎ ‎(2)证明：f(x)＝|x＋a－1|＋|x－2a|≥|(x＋a－1)－(x－2a)|＝|3a－1|，‎ 因为a≥1，‎ 所以f(x)≥3a－1≥2.‎ ‎4．(2019·太原模拟)已知函数f(x)＝|x－a|＋(a≠0)．‎ ‎(1)若不等式f(x)－f(x＋m)≤1恒成立，求实数m的最大值；‎ ‎(2)当a＜时，函数g(x)＝f(x)＋|2x－1|有零点，求实数a的取值范围．‎ ‎【解析】：(1)因为f(x)＝|x－a|＋，‎ 所以f(x＋m)＝|x＋m－a|＋，‎ 所以f(x)－f(x＋m)＝|x－a|－|x＋m－a|≤|m|，‎ 所以|m|≤1，所以－1≤m≤1，‎ 所以实数m的最大值为1.‎ ‎(2)当a＜时，‎ g(x)＝f(x)＋|2x－1|＝|x－a|＋|2x－1|＋＝ 所以g(x)在(－∞，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．又函数g(x)有零点，‎ 所以g(x)min＝g()＝－a＋＝≤0，‎ 所以或，所以－≤a＜0，‎ 所以实数a的取值范围是[－，0)．‎ ‎5．(2019·云南十一校跨区调研)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|m－x|(其中m∈R)．‎ ‎(1)当m＝2时，求不等式f(x)≥6的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≥6对任意实数x恒成立，求m的取值范围．‎ ‎(2)法一：因为|x＋1|＋|m－x|≥|x＋1＋m－x|＝|m＋1|，‎ 由题意得|m＋1|≥6，即m＋1≥6或m＋1≤－6，‎ 解得m≥5或m≤－7，‎ 即m的取值范围是(－∞，－7]∪[5，＋∞)．‎ 法二：①当m＜－1时，f(x)＝ 此时，f(x)min＝－m－1，由题意知，－m－1≥6，解得m≤－7，‎ 所以m的取值范围是m≤－7.‎ ‎②当m＝－1时，f(x)＝|x＋1|＋|－1－x|＝2|x＋1|，‎ 此时f(x)min＝0，不满足题意．‎ ‎③当m＞－1时，f(x)＝，‎ 此时，f(x)min＝m＋1，由题意知，m＋1≥6，解得m≥5，‎ 所以m的取值范围是m≥5. ‎ 综上所述，m的取值范围是(－∞，－7]∪[5，＋∞)．‎ ‎6．(2019·郑州质量预测(二))已知不等式|2x－3|＜x与不等式x2－mx＋n＜0的解集相同．‎ ‎(1)求m－n；‎ ‎(2)若a，b，c∈(0，1)，且ab＋bc＋ac＝m－n.求a＋b＋c的最小值．‎ ‎【解析】：(1)|2x－3|＜x⇒x＞0且－x＜2x－3＜x⇒1＜x＜3，所以x＝1，x＝3是方程x2－mx＋n＝0的两个根． ‎ 所以，所以m－n＝1.‎