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- 2021-04-28 发布
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浙江省杭州市学军中学（学紫）2019-2020学年高一
上学期期中考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡上.）
1.已知集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意可知，所以，故选C.
2.下列选项中两个函数，表示同一个函数的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为，故与不是同一函数；A排除
对于B选项，函数与的定义域均为，且，所以与是同一函数；B正确；
对于C选项，函数的定义域为，函数,定义域为，因此与解析式不同，不是同一函数，排除C；
对于D选项，函数的定义域为，函数的定义域为，因此与不是同一函数，排除D.
故选B
3.下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于A选项，，故函数为非奇非偶函数.对于B选项，，函数为奇函数，当时，为递增函数，根据奇函数图像关于原点对称可知函数在时也是增函数，且，故函数在上为递增函数，符合题意，B选项正确.对于C选项，函数的定义域为，函数在这个区间上没有单调性，C选项不符合题意.对于D选项，由于函数定义域是，且，所以函数为偶函数，不符合题意.综上所述，本小题选B.
4.在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.
5.若函数f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则f(lgx)的定义域为（ ）
A. [－1,1] B. [1,2]
C. [10,100] D. [0，lg2]
【答案】C
【解析】因为f(x2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x≤1，故0≤x2≤1，所以1≤x2＋1≤2．
因为f(x2＋1)与f(lgx)是同一个对应法则，所以1≤lgx≤2，即10≤x≤100，所以函数f(lgx)的定义域为[10,100]．故选:C．
6.已知函数为奇函数，为偶函数，且，则
A. B. 2 C. D. 4
【答案】C
【解析】函数为奇函数，为偶函数，且，
，
，即
由得，则，
故选C．
7.已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为定义在R上的函数（为实数）为偶函数，
所以，即，因此；
所以，
因此当时，单调递减；当时，单调递增；
又，，，
而，所以 ，
即.
故选A
8.已知在区间上为减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为在区间上为减函数，
所以有在区间上为增函数，且在上恒成立；
因此，只需，解得.
故选C
9.已知，设函数的值域为，
则的值为（ ）
A. 0 B. 2019 C. 4037 D. 4039
【答案】C
【解析】因为，
所以，
因此，
所以函数关于点中心对称，
又函数的值域为则.
故选C
10.已知，函数在上的最大值是5，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为在上单调递减，因此；
若，则的最大值为，符合题意；
若时，的最大值为与中较大的，
由，即，解得，
显然时，的最大值为，时，的最大值不为定值．
综上可得：时，在上的最大值是.
故选A
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填写在答题卷中的横线上.）
11.若幂函数的图象经过点，则的值是________.
【答案】
【解析】设幂函数，因为幂函数的图象经过点，
所以，因此；所以，
因此.故答案为
12.若，则__________.
【答案】2
【解析】令，得，所以.故答案为
13.若正数，满足，则__________.
【答案】1
【解析】令，
所以，，，
因此.
故答案为
14.已知函数.若，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】因为，
所以，
因此函数是奇函数；
又当与是增函数，所以单调递增；
因此不等式可化为，即；
所以，即，解得.
故答案为.
15.设函数，若，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】作出函数的图像如图：
由，结合图像可得：，
当时，由显然满足；
当时，由，解得，所以；
综上.
故答案为
16.已知，函数 若函数恰有2个不同的零点，
则的取值范围为________．
【答案】.
【解析】由已知可得在区间上必须要有零点，
故解得：，
所以必为函数的零点，
故由已知可得：在区间上仅有一个零点.
又在上单调递减，
所以，
解得.故答案为.
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）
17.化简求值：
（1）
（2）
解：（1）
（2） lg25+lg2+-log29×log32=lg5+lg2+-2（log23×log32）
=1+-2=
18.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，m∈R，x∈R}．
(1)若A∩B＝{x|0≤x≤3}，求实数m的值；
(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．
解：由已知得：A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|m﹣2≤x≤m+2}．
（1）∵A∩B=[0，3]
∴∴，∴m=2；
（2）CRB={x|x＜m﹣2，或x＞m+2}
∵A⊆CRB，
∴m﹣2＞3，或m+2＜﹣1，
∴m＞5，或m＜﹣3．
19.已知函数，.
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围.
解：（1）因为，所以由题意可得：，即，
即，解得或；
故函数的定义域为；
（2）因为对于任意，都有成立，
所以对于任意恒成立，
即对于任意恒成立，
令，则，
令，任取，
则，
因为，所以，；
所以，
即函数在上单调递减，所以，
因此.
20.已知函数（且）.
（1）判断函数的奇偶性并说明理由；
（2）当时，判断函数在上的单调性，并利用单调性的定义证明；
（3）是否存在实数，使得当的定义域为时，值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
解：（1）由解得或，即函数的定义域为；
又，
所以，
因此，所以，
所以函数为奇函数；
（2）令，任取，
则，
因为，，，所以，
即函数在上单调递增；
又，所以单调递减，
根据同增异减的原则，可得：在上单调递减；
（3）假设存在实数，使得当的定义域为时，值域为，由，可得；
所以，
因此是方程的两根，
即在上有两个不同解，
设，则，解得.
所以存在，使得当的定义域为时，值域为.
21.已知函数
（1）若函数为偶函数，求实数的值；
（2）若，求函数的单调递减区间；
（3）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）因为函数为偶函数，
所以，即，即，因此；
（2）因为，所以，
因为函数的对称轴为，开口向上；
所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；
又函数的对称轴为，开口向上；
所以当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；
因此，函数的单调递减区间为：和；
（3）由题意，不等式可化为，
即在上恒成立，
令，则只需即可；
因为，所以，
因此，
当时，函数开口向上，对称轴为：，
所以函数在上单调递减；
当时，函数开口向上，对称轴为；
所以函数在上单调递增；
因此，
由得，解得或，
因为，所以.
即实数取值范围为.